Бултых!
Проблема в Акуле.
Немцы зовут ее «Тритон». Это новая шифросистема, используемая исключите
льно на флоте. «Энигма», но не обычная, трехдисковая. Ту поляки научились в
зламывать два года назад, а в Блетчли-парке процесс поставили на поток. Од
нако меньше года назад у южного берега Исландии села на мель немецкая по
дводная лодка. Сотрудники Блетчли-парка хорошенько ее прочесали и нашли
«Энигму» с выемками для четырех , а не для трех дисков!
Когда первого февраля заработали четырехдисковые «Энигмы», вся Атлант
ика почернела. С тех самых пор Алан и другие не покладая рук бились над это
й задачей. Загвоздка была в том, что они не знали, как подсоединен четверты
й диск.
По счастью, несколько дней назад захватили еще одну немецкую подводную л
одку, в восточной части Средиземного моря. Полковник Чаттан, оказавшийся
поблизости, и еще несколько сотрудников Блетчли рванули туда сломя голо
ву. Они нашли четырехдисковую «Энигму», а это хоть не сам код, но по крайне
й мере ключ к его взлому.
Гитлер, видать, совершенно в себе уверен Ч собрался отдохнуть в Альпах. Ч
то не помешало ему прибрать к рукам последние остатки Франции Ч похоже,
операция «Факел» задела его за живое, и он окончательно оккупировал виши
стскую Францию. Одновременно он отправил еще десять тысяч солдат и соотв
етствующее количество припасов через Средиземное море в Тунис. Уотерха
уз воображает, что сейчас можно добраться от Сицилии до Африки, просто пр
ыгая с одного немецкого транспорта на другой.
Разумеется, будь это так, его работа была бы куда легче. Союзники топили бы
суда сколько душе угодно, и ни один голубоглазый тевтон на фронте информ
ационной войны не повел бы арийской бровью. Однако на самом деле судов ма
ло и расположены они редко. Насколько именно мало и редко Ч это параметр
ы уравнений, которые они с Аланом Матисоном Тьюрингом всю ночь пишут на д
оске.
Часов через десять Ч двенадцать этого занятия, когда наконец снова вста
ет солнце, остается разве что сесть на велосипеды и прокатиться с ветерк
ом.
Они въезжают на холм, и перед ними открывается лес, расцвеченный всеми цв
етами пламени. Полусферические кроны кленов словно вспучиваются в огне,
добавляя впечатлению реализма. У Лоуренса возникает нелепое желание вы
пустить руль и зажать уши! Однако воздух под деревьями приятно прохладен
, синее небо не пятнают столбы черного дыма, спокойствие и тишина леса сам
ым разительным образом отличаются от того, что вспомнилось Лоуренсу.
Ч Кудах-тах-тах! Ч Алан Тьюринг изображает квохтание рассерженной кур
ицы. Странные звуки кажутся еще чуднее из-за того, что он в противогазе, ко
торый, впрочем, почти сразу сдвигает на лоб. Ч Как же они любят себя слуша
ть! Ч (Речь об Уинстоне Черчилле и Франклине Рузвельте.) Ч Да и друг друга
тоже, до определенного момента. Однако голос по сравнению с печатным тек
стом Ч жутко избыточный канал информации. Если взять текст и пропустить
его через «Энигму» Ч которая, в сущности, довольна проста, Ч то привычны
е закономерности вроде преобладания буквы «Е» практически исчезают. Ч
Тут он снова натягивает противогаз, чтобы подчеркнуть следующее утверж
дение. Ч А вот голос можно искажать самым чудовищным образом, и он все рав
но будет понятен слушателю.
Тут на Алана нападает приступ чихания, да такой, что чуть не лопаются защи
тного цвета ремешки на затылке.
Ч Наше ухо привыкло отыскивать знакомые сочетания, Ч предполагает Лоу
ренс. Он без противогаза, потому что (а) немцы не проводят здесь газовую ат
аку, (б) в отличие от Алана он не страдает сенной лихорадкой.
Ч Прости. Ч Алан резко тормозит и спрыгивает с велосипеда. Он отрывает з
аднее колесо от дороги, раскручивает его свободной рукой и быстрым движе
нием дергает цепь. Потом внимательно созерцает механизм, прерываясь тол
ько для того, чтобы несколько раз чихнуть.
В цепи у велосипеда Тьюринга дефектное звено. В заднем колесе погнута од
на спица. Когда звено задевает спицу, цепь сваливается и падает на дорогу.
Это происходит не при каждом обороте колеса Ч иначе велосипед проще был
о бы выкинуть. Это происходит при определенном взаимном расположении це
пи и колеса.
Исходя из разумного предположения, что доктор Тьюринг находится в хорош
ей спортивной форме и развивает скорость примерно 25 км/час, а радиус колес
а Ч примерно треть метра, если бы дефектное звено задевало гнутую спицу
при каждом обороте колеса, то цепь сваливалась бы каждую третью долю сек
унды.
На самом деле цепь не сваливается, пока гнутая спица не заденет дефектно
е звено. Теперь допустим, что вы описываете положение заднего колеса тра
диционной буквой Q . Ради простоты договоримся: если колесо н
ачинает вращаться из положения, в котором гнутая спица может задеть дефе
ктное звено (разумеется, только если дефектное звено находится там, где е
го можно задеть), то Q = 0. Если в качестве единицы измерения ис
пользуются градусы, то за один поворот колеса Q принимает вс
е значения вплоть до 359, прежде чем вернуться к нулю, когда гнутая спица вно
вь может сбросить цепь. Теперь предположим, что положение цепи вы описыв
аете переменной С по очень простому принципу: нумеруя все з
венья цепи. Дефектному звену ставится в соответствие число 0, следующему 1
и так далее до l Ц 1, где l Ч общее число звеньев
в цепи. Опять-таки ради простоты примем, что в положении, в котором дефектн
ое звено может задеть гнутую спицу (при условии, что спица Ч там, где ее мо
жно задеть), С = 0.
Чтобы вычислить, когда с велосипеда доктора Тьюринга свалится цепь, все,
что нам надо знать про велосипед, Ч это значения Q и С
. Эти два числа определяют состояние велосипеда. У велосипеда стол
ько возможных состояний, сколько существует возможных значений ( Q
, С ), но только в одном из этих состояний, а именно (0, 0), цеп
ь свалится на дорогу.
Предположим, мы начинаем с этого состояния, т. е. ( Q = 0, С
= 0), но цепь не свалилась, потому что доктор Тьюринг (прекрасно зная с
остояние своего велосипеда в каждый конкретный момент времени) останов
ился посреди дороги и едва избежал столкновения со своим другом и коллег
ой Лоуренсом Притчардом Уотерхаузом, поскольку противогаз блокирует е
го периферическое зрение. Доктор Тьюринг немного прокрутил цепь вперед,
одновременно оттягивая ее вбок, чтобы не задела за гнутую спицу. Теперь о
н снова садится на велосипед и начинает крутить педали. Окружность его к
олеса примерно два метра, значит, когда он проехал два метра по дороге, кол
есо совершило полный оборот и вернулось в состояние Q = 0, в ко
тором, как мы помним, гнутая спица может задеть дефектное звено.
Что с цепью? Ее положение, определяемое как С , начинается с 0,
достигает единицы, когда в фатальную позицию перемещается следующее зв
ено, потом двойки и так далее. Цепь движется синхронно с зубцами звездочк
и в центре заднего колеса. У звездочки п зубцов, так что посл
е второго полного оборота заднего колеса Q снова = 0, но
С теперь = 2 n . В следующий раз С = 3
п и так далее. Однако не забывайте, что цепь Ч не бесконечная
прямая линия, а замкнутая петля, имеющая всего l позиций; при
С = l , она возвращается к началу цикла, и
С снова принимает нулевое значение. Так что при вычислении
С следует прибегнуть к арифметике остатков: то есть если в цепи сто
звеньев ( l = 100), а общее число перемещенных звеньев Ч 135, то знач
ение С не 135, а 35. Как только вы получаете число, больше или равн
ое l , вы просто последовательно вычитаете l , пок
а результат не станет меньше l . Математики обозначают эту оп
ерацию mod l . Так что последовательные значения С
, всякий раз как заднее колесо возвращается в положение Q
= 0, равны:
С i = п mod
l , 2 n mod
l , 3 n mod
l , ..., in mod
l
где i = (1, 2, 3, ... 8 ?),
меньше или больше в зависимости от того, насколько близкое к бесконечнос
ти время Тьюринг намерен ехать на велосипеде. Через некоторое время Уоте
рхаузу начинает казаться, что они и впрямь едут бесконечно.
Цепь сваливается, когда велосипед достигает состояния ( Q = 0,
C = 0). В свете вышесказанного это происходит, когда l
(которое просто означает число оборотов, совершенных задним колес
ом) достигает некоего гипотетического значения, при котором in
mod l = 0, или, говоря по-человечески, когда некое число, кра
тное п (такое, как, например, 2 n , 3 n , 395
n или 109 948 368 443 n ), оказывается в то же время кратным
l . Вообще-то это может быть любое из так называемых общих крат
ных, но с практической точки зрения важно только первое Ч наименьшее об
щее кратное, или НОК, поскольку именно оно будет достигнуто первым и вызо
вет падение цепи.
Если, скажем, у звездочки двадцать зубцов ( n = 20), а в цепи сто зв
еньев ( l = 100), то после первого поворота колеса мы имеем
С = 20, после двух поворотов С = 40, потом 60, 80 и 100. Однако поско
льку мы ищем остаток от деления на 100, значение надо изменить на ноль. Таким
образом, после пяти оборотов колеса мы достигли состояния ( Q
= 0, С = 0) и цепь Тьюринга сваливается. За пять оборотов колеса
он проезжает всего десять метров, поэтому при таких значениях l
и n велосипед практически бесполезен. Разумеется, все
это верно лишь в том случае, если Тьюринг такой дурак, чтобы начать движен
ие из состояния спадения цепи. Если же он начинает крутить педали, когда в
елосипед находится в состоянии ( Q = 0, С = 1), то
С принимает значения 21, 41, 61, 81, 1, 21, ... и так до бесконечности, и цепь н
е свалится никогда. Однако это вырожденное состояние, где «вырожденное»
для математика означает «невыносимо скучное». В теории, если Тьюринг буд
ет всякий раз выставлять нужное состояние, прежде чем бросить велосипед
на улице, никто не сможет его украсть Ч цепь свалится через первые же дес
ять метров.
Если же в цепи Тьюринга сто одно звено ( l = 101), то после пяти обо
ротов мы имеем С = 100, а после шести С = 19, тогда
С = 39, 59,
79, 99, 18, 38, 58, 78, 98, 17, 37, 57, 77, 97, 16, 36, 56, 76, 96, 15, 35, 55, 75, 95, 14, 34, 54, 74, 94, 13, 33, 53, 73, 93, 12, 32, 52, 72, 92, 11, 31, 51, 71, 91, 10, 30, 50, 70, 90, 9, 29, 49, 69, 89, 8, 28, 48, 68, 88, 7, 27, 47, 67, 87, 6, 26, 46,
66, 86, 5, 25, 45, 65, 85, 4, 24, 44, 64, 84, 3, 23, 43, 63, 83, 2, 22, 42, 62, 82, 1, 21, 41, 61, 81, 0.
Так что состояние ( Q = 0, С = 0) не будет достигнуто
и цепь не свалится, пока колесо не совершит сто один оборот. За сто один об
орот велосипед Тьюринга успевает проехать по дороге пятую часть киломе
тра, что совсем не так плохо. Значит, велосипед работающий. Однако в отличи
е от вырожденного случая его нельзя привести в такое состо
яние, чтобы цепь не спадала совсем. Это легко доказать, просмотрев привед
енный список значений С и убедившись, что все возможные зна
чения Ч все числа от одного до ста Ч в нем присутствуют. Это означает, чт
о с какого бы значения С Тьюринг ни начал крутить педали, ра
но или поздно он придет к фатальному С = 0 и цепь свалится.
Разница между вырожденным и невырожденным случаем заключена в свойств
ах использованных чисел. Комбинация ( п = 20, l = 101) п
ринципиально отличается от комбинации ( п = 20, l =
100). Главная разница в том, что 20 и 101 Ч «взаимно простые», т. е. у них нет общих д
елителей. Это означает, что их наименьшее общее кратное, их НОК Ч большое
число и равняется собственно l x n , т. е. 20 x 101 = 2020. А в
от НОК ста и двадцати Ч всего 100. У велосипеда с l = 101 длинный
период Ч он проходит через множество различных состояний,
прежде чем вернуться к исходному, а у велосипеда с l = 100 Ч кор
откий, всего из нескольких состояний. Предположим, что велосипед Тьюринг
а Ч шифромашина, основанная на алфавитной замене, т. е. заменяет каждую и
з двадцати шести букв английского алфавита какой-то другой буквой. А отк
рытого текста может стать Т шифртекста, В Ч F, С Ч М и так дальше до Z. Сам по
себе такой шифр до смешного прост, взломать его Ч детская забава. Однако
предположим, что схема замены меняется от буквы к букве. Пер
вая буква открытого текста шифруется с помощью одного алфавита замены, в
торая Ч с помощью другого, третья Ч с помощью третьего и так далее. Это н
азывается полиалфавитный шифр.
Предположим, что велосипед Тьюринга генерирует свой алфавит для каждог
о из состояний. Тогда состоянию ( Q = 0, С = 0) будет с
оответствовать, например, такой алфавит замены:
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Q G U W В I Y T F K V N D O H E P X L Z R C A S J M
а состоянию ( Q = 180, С = 15) Ч такой:
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
B O R I X V G Y P F J M T C Q N H A Z U K L D S E W
Никакие две буквы не будут зашифрованы одним и тем же алфавитом за
мены, пока велосипед не вернется в исходное состояние (
Q = 0, С = 0) и цикл не пойдет с начала. То есть это
периодическая полиалфавитная система. Теперь, если период
у машины короткий, она часто повторяет саму себя и в качестве шифровальн
ой системы тоже годится исключительно для детской забавы. Чем длиннее пе
риод (чем больше взаимно простых чисел в него встроено), тем реже использу
ется один и тот же алфавит замены и тем выше устойчивость шифра.
Трехдисковая «Энигма» Ч система именно такого типа (то есть периодичес
кая полиалфавитная). Ее барабаны подобно приводу в велосипеде Тьюринга з
аключают в себе циклы в циклах. Ее период равен 17 576, то есть алфавит замены,
которым зашифрована первая буква сообщения, не повторится до 17 577-й буквы.
Однако в «Акуле» немцы добавили четвертый барабан, увеличив период до 456
976. В начале каждого сообщения диски ставятся в различные, случайным образ
ом выбранные исходные положения. Поскольку ни в одном немецком сообщени
и нет 450 000 знаков, «Энигма» никогда не повторяет один и тот же алфавит замен
ы в пределах отдельного сообщения. Вот почему немцы считают ее неуязвимо
й.
Над головами пролетает звено транспортных самолетов, направляясь, по вс
ей видимости, к аэропорту в Бедфорде. Самолеты издают странно музыкальны
й диатонический гул, словно волынки, играющие две мелодии разом. Это напо
минает Лоуренсу об еще одном феномене, связанном с велосипедным колесом
и шифрмашиной «Энигма».
Ч Ты знаешь, почему самолеты так гудят? Ч спрашивает он.
Ч Нет, если задуматься. Ч Тьюринг снова сдвигает противогаз на лоб. Челю
сть у него немного отвисла, глаза смотрят в разные стороны. Уотерхауз его
зацепил.
Ч Я заметил в Перл-Харборе. У самолета Ч звездообразный двигатель, Ч го
ворит Лоуренс. Ч Соответственно, в нем должно быть нечетное число цилин
дров.
Ч Как одно из другого следует?
Ч Если число будет четным, цилиндры окажутся один напротив другого, раз
вернутые на сто восемьдесят градусов, а это не работает механически.
Ч Почему?
Ч Не помню. Не работает, и все.
Алан поднимает брови. Он явно не убежден.
Ч Это как-то связано с кривошипами, Ч защищается Уотерхауз.
Ч Не уверен, что соглашусь.
Ч Просто допусти. Считай это граничным условием, Ч говорит Уотерхауз. О
днако Алан уже ушел в свои мысли Ч наверное, изобретает звездообразный
двигатель с четным числом цилиндров.
Ч В любом случае, если посмотришь, у них у всех цилиндров нечетное число,
Ч продолжает Лоуренс. Ч Поэтому шум выхлопа накладывается на гудение в
инта и получается двухтоновой звук.
Алан снова садится на велосипед. Некоторое время они едут молча. Собстве
нно, они и до этого не столько разговаривали, сколько подкидывали друг др
угу идеи и давали время подумать. Это очень производительный способ обще
ния; он устраняет значительную часть избыточности, на которую жаловался
Алан в случае Рузвельта и Черчилля.
Уотерхауз думает о вложенных циклах. Он уже решил, что человеческое обще
ство действует по этому самому принципу* [У него нет никаких определенны
х фактов на этот счет, просто идейка кажется занятной.], и теперь пытается
понять, похоже оно на велосипед Тьюринга (некоторое время работает безот
казно, потом внезапно цепь сваливается, отсюда Ч мировая война), как «Эни
гма» (долго непонятно скрипит, потом вращающиеся диски выстраиваются, ка
к в игровом автомате, и наступает всеобщее счастье, или, если предпочитае
те, Апокалипсис), или просто как самолетный мотор (крутится себе и крутитс
я, ничего особенно не происходит, кроме шума).
Ч Смотри, сзади! Вон там! Ч Алан резко тормозит. Это просто шутка, чтобы Ло
уренсу пришлось сделать крутой поворот на узкой дороге.
Они прислоняют велосипеды к дереву и снимают с багажников оборудование:
сухие батареи, макетные платы, палки, саперный инструмент, мотки провода.
Ч Я скоро в Америку, работать над проблемой шифрования голоса в лаборат
ориях компании «Белл», Ч говорит Алан.
Лоуренс невесело смеется.
Ч Мы с тобой как те корабли у Лонгфелло, которые встретились в ночи, поми
гали сигнальными огнями и снова разошлись.
Ч Мы пассажиры на этих кораблях, Ч поправляет Алан.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57
Проблема в Акуле.
Немцы зовут ее «Тритон». Это новая шифросистема, используемая исключите
льно на флоте. «Энигма», но не обычная, трехдисковая. Ту поляки научились в
зламывать два года назад, а в Блетчли-парке процесс поставили на поток. Од
нако меньше года назад у южного берега Исландии села на мель немецкая по
дводная лодка. Сотрудники Блетчли-парка хорошенько ее прочесали и нашли
«Энигму» с выемками для четырех , а не для трех дисков!
Когда первого февраля заработали четырехдисковые «Энигмы», вся Атлант
ика почернела. С тех самых пор Алан и другие не покладая рук бились над это
й задачей. Загвоздка была в том, что они не знали, как подсоединен четверты
й диск.
По счастью, несколько дней назад захватили еще одну немецкую подводную л
одку, в восточной части Средиземного моря. Полковник Чаттан, оказавшийся
поблизости, и еще несколько сотрудников Блетчли рванули туда сломя голо
ву. Они нашли четырехдисковую «Энигму», а это хоть не сам код, но по крайне
й мере ключ к его взлому.
Гитлер, видать, совершенно в себе уверен Ч собрался отдохнуть в Альпах. Ч
то не помешало ему прибрать к рукам последние остатки Франции Ч похоже,
операция «Факел» задела его за живое, и он окончательно оккупировал виши
стскую Францию. Одновременно он отправил еще десять тысяч солдат и соотв
етствующее количество припасов через Средиземное море в Тунис. Уотерха
уз воображает, что сейчас можно добраться от Сицилии до Африки, просто пр
ыгая с одного немецкого транспорта на другой.
Разумеется, будь это так, его работа была бы куда легче. Союзники топили бы
суда сколько душе угодно, и ни один голубоглазый тевтон на фронте информ
ационной войны не повел бы арийской бровью. Однако на самом деле судов ма
ло и расположены они редко. Насколько именно мало и редко Ч это параметр
ы уравнений, которые они с Аланом Матисоном Тьюрингом всю ночь пишут на д
оске.
Часов через десять Ч двенадцать этого занятия, когда наконец снова вста
ет солнце, остается разве что сесть на велосипеды и прокатиться с ветерк
ом.
Они въезжают на холм, и перед ними открывается лес, расцвеченный всеми цв
етами пламени. Полусферические кроны кленов словно вспучиваются в огне,
добавляя впечатлению реализма. У Лоуренса возникает нелепое желание вы
пустить руль и зажать уши! Однако воздух под деревьями приятно прохладен
, синее небо не пятнают столбы черного дыма, спокойствие и тишина леса сам
ым разительным образом отличаются от того, что вспомнилось Лоуренсу.
Ч Кудах-тах-тах! Ч Алан Тьюринг изображает квохтание рассерженной кур
ицы. Странные звуки кажутся еще чуднее из-за того, что он в противогазе, ко
торый, впрочем, почти сразу сдвигает на лоб. Ч Как же они любят себя слуша
ть! Ч (Речь об Уинстоне Черчилле и Франклине Рузвельте.) Ч Да и друг друга
тоже, до определенного момента. Однако голос по сравнению с печатным тек
стом Ч жутко избыточный канал информации. Если взять текст и пропустить
его через «Энигму» Ч которая, в сущности, довольна проста, Ч то привычны
е закономерности вроде преобладания буквы «Е» практически исчезают. Ч
Тут он снова натягивает противогаз, чтобы подчеркнуть следующее утверж
дение. Ч А вот голос можно искажать самым чудовищным образом, и он все рав
но будет понятен слушателю.
Тут на Алана нападает приступ чихания, да такой, что чуть не лопаются защи
тного цвета ремешки на затылке.
Ч Наше ухо привыкло отыскивать знакомые сочетания, Ч предполагает Лоу
ренс. Он без противогаза, потому что (а) немцы не проводят здесь газовую ат
аку, (б) в отличие от Алана он не страдает сенной лихорадкой.
Ч Прости. Ч Алан резко тормозит и спрыгивает с велосипеда. Он отрывает з
аднее колесо от дороги, раскручивает его свободной рукой и быстрым движе
нием дергает цепь. Потом внимательно созерцает механизм, прерываясь тол
ько для того, чтобы несколько раз чихнуть.
В цепи у велосипеда Тьюринга дефектное звено. В заднем колесе погнута од
на спица. Когда звено задевает спицу, цепь сваливается и падает на дорогу.
Это происходит не при каждом обороте колеса Ч иначе велосипед проще был
о бы выкинуть. Это происходит при определенном взаимном расположении це
пи и колеса.
Исходя из разумного предположения, что доктор Тьюринг находится в хорош
ей спортивной форме и развивает скорость примерно 25 км/час, а радиус колес
а Ч примерно треть метра, если бы дефектное звено задевало гнутую спицу
при каждом обороте колеса, то цепь сваливалась бы каждую третью долю сек
унды.
На самом деле цепь не сваливается, пока гнутая спица не заденет дефектно
е звено. Теперь допустим, что вы описываете положение заднего колеса тра
диционной буквой Q . Ради простоты договоримся: если колесо н
ачинает вращаться из положения, в котором гнутая спица может задеть дефе
ктное звено (разумеется, только если дефектное звено находится там, где е
го можно задеть), то Q = 0. Если в качестве единицы измерения ис
пользуются градусы, то за один поворот колеса Q принимает вс
е значения вплоть до 359, прежде чем вернуться к нулю, когда гнутая спица вно
вь может сбросить цепь. Теперь предположим, что положение цепи вы описыв
аете переменной С по очень простому принципу: нумеруя все з
венья цепи. Дефектному звену ставится в соответствие число 0, следующему 1
и так далее до l Ц 1, где l Ч общее число звеньев
в цепи. Опять-таки ради простоты примем, что в положении, в котором дефектн
ое звено может задеть гнутую спицу (при условии, что спица Ч там, где ее мо
жно задеть), С = 0.
Чтобы вычислить, когда с велосипеда доктора Тьюринга свалится цепь, все,
что нам надо знать про велосипед, Ч это значения Q и С
. Эти два числа определяют состояние велосипеда. У велосипеда стол
ько возможных состояний, сколько существует возможных значений ( Q
, С ), но только в одном из этих состояний, а именно (0, 0), цеп
ь свалится на дорогу.
Предположим, мы начинаем с этого состояния, т. е. ( Q = 0, С
= 0), но цепь не свалилась, потому что доктор Тьюринг (прекрасно зная с
остояние своего велосипеда в каждый конкретный момент времени) останов
ился посреди дороги и едва избежал столкновения со своим другом и коллег
ой Лоуренсом Притчардом Уотерхаузом, поскольку противогаз блокирует е
го периферическое зрение. Доктор Тьюринг немного прокрутил цепь вперед,
одновременно оттягивая ее вбок, чтобы не задела за гнутую спицу. Теперь о
н снова садится на велосипед и начинает крутить педали. Окружность его к
олеса примерно два метра, значит, когда он проехал два метра по дороге, кол
есо совершило полный оборот и вернулось в состояние Q = 0, в ко
тором, как мы помним, гнутая спица может задеть дефектное звено.
Что с цепью? Ее положение, определяемое как С , начинается с 0,
достигает единицы, когда в фатальную позицию перемещается следующее зв
ено, потом двойки и так далее. Цепь движется синхронно с зубцами звездочк
и в центре заднего колеса. У звездочки п зубцов, так что посл
е второго полного оборота заднего колеса Q снова = 0, но
С теперь = 2 n . В следующий раз С = 3
п и так далее. Однако не забывайте, что цепь Ч не бесконечная
прямая линия, а замкнутая петля, имеющая всего l позиций; при
С = l , она возвращается к началу цикла, и
С снова принимает нулевое значение. Так что при вычислении
С следует прибегнуть к арифметике остатков: то есть если в цепи сто
звеньев ( l = 100), а общее число перемещенных звеньев Ч 135, то знач
ение С не 135, а 35. Как только вы получаете число, больше или равн
ое l , вы просто последовательно вычитаете l , пок
а результат не станет меньше l . Математики обозначают эту оп
ерацию mod l . Так что последовательные значения С
, всякий раз как заднее колесо возвращается в положение Q
= 0, равны:
С i = п mod
l , 2 n mod
l , 3 n mod
l , ..., in mod
l
где i = (1, 2, 3, ... 8 ?),
меньше или больше в зависимости от того, насколько близкое к бесконечнос
ти время Тьюринг намерен ехать на велосипеде. Через некоторое время Уоте
рхаузу начинает казаться, что они и впрямь едут бесконечно.
Цепь сваливается, когда велосипед достигает состояния ( Q = 0,
C = 0). В свете вышесказанного это происходит, когда l
(которое просто означает число оборотов, совершенных задним колес
ом) достигает некоего гипотетического значения, при котором in
mod l = 0, или, говоря по-человечески, когда некое число, кра
тное п (такое, как, например, 2 n , 3 n , 395
n или 109 948 368 443 n ), оказывается в то же время кратным
l . Вообще-то это может быть любое из так называемых общих крат
ных, но с практической точки зрения важно только первое Ч наименьшее об
щее кратное, или НОК, поскольку именно оно будет достигнуто первым и вызо
вет падение цепи.
Если, скажем, у звездочки двадцать зубцов ( n = 20), а в цепи сто зв
еньев ( l = 100), то после первого поворота колеса мы имеем
С = 20, после двух поворотов С = 40, потом 60, 80 и 100. Однако поско
льку мы ищем остаток от деления на 100, значение надо изменить на ноль. Таким
образом, после пяти оборотов колеса мы достигли состояния ( Q
= 0, С = 0) и цепь Тьюринга сваливается. За пять оборотов колеса
он проезжает всего десять метров, поэтому при таких значениях l
и n велосипед практически бесполезен. Разумеется, все
это верно лишь в том случае, если Тьюринг такой дурак, чтобы начать движен
ие из состояния спадения цепи. Если же он начинает крутить педали, когда в
елосипед находится в состоянии ( Q = 0, С = 1), то
С принимает значения 21, 41, 61, 81, 1, 21, ... и так до бесконечности, и цепь н
е свалится никогда. Однако это вырожденное состояние, где «вырожденное»
для математика означает «невыносимо скучное». В теории, если Тьюринг буд
ет всякий раз выставлять нужное состояние, прежде чем бросить велосипед
на улице, никто не сможет его украсть Ч цепь свалится через первые же дес
ять метров.
Если же в цепи Тьюринга сто одно звено ( l = 101), то после пяти обо
ротов мы имеем С = 100, а после шести С = 19, тогда
С = 39, 59,
79, 99, 18, 38, 58, 78, 98, 17, 37, 57, 77, 97, 16, 36, 56, 76, 96, 15, 35, 55, 75, 95, 14, 34, 54, 74, 94, 13, 33, 53, 73, 93, 12, 32, 52, 72, 92, 11, 31, 51, 71, 91, 10, 30, 50, 70, 90, 9, 29, 49, 69, 89, 8, 28, 48, 68, 88, 7, 27, 47, 67, 87, 6, 26, 46,
66, 86, 5, 25, 45, 65, 85, 4, 24, 44, 64, 84, 3, 23, 43, 63, 83, 2, 22, 42, 62, 82, 1, 21, 41, 61, 81, 0.
Так что состояние ( Q = 0, С = 0) не будет достигнуто
и цепь не свалится, пока колесо не совершит сто один оборот. За сто один об
орот велосипед Тьюринга успевает проехать по дороге пятую часть киломе
тра, что совсем не так плохо. Значит, велосипед работающий. Однако в отличи
е от вырожденного случая его нельзя привести в такое состо
яние, чтобы цепь не спадала совсем. Это легко доказать, просмотрев привед
енный список значений С и убедившись, что все возможные зна
чения Ч все числа от одного до ста Ч в нем присутствуют. Это означает, чт
о с какого бы значения С Тьюринг ни начал крутить педали, ра
но или поздно он придет к фатальному С = 0 и цепь свалится.
Разница между вырожденным и невырожденным случаем заключена в свойств
ах использованных чисел. Комбинация ( п = 20, l = 101) п
ринципиально отличается от комбинации ( п = 20, l =
100). Главная разница в том, что 20 и 101 Ч «взаимно простые», т. е. у них нет общих д
елителей. Это означает, что их наименьшее общее кратное, их НОК Ч большое
число и равняется собственно l x n , т. е. 20 x 101 = 2020. А в
от НОК ста и двадцати Ч всего 100. У велосипеда с l = 101 длинный
период Ч он проходит через множество различных состояний,
прежде чем вернуться к исходному, а у велосипеда с l = 100 Ч кор
откий, всего из нескольких состояний. Предположим, что велосипед Тьюринг
а Ч шифромашина, основанная на алфавитной замене, т. е. заменяет каждую и
з двадцати шести букв английского алфавита какой-то другой буквой. А отк
рытого текста может стать Т шифртекста, В Ч F, С Ч М и так дальше до Z. Сам по
себе такой шифр до смешного прост, взломать его Ч детская забава. Однако
предположим, что схема замены меняется от буквы к букве. Пер
вая буква открытого текста шифруется с помощью одного алфавита замены, в
торая Ч с помощью другого, третья Ч с помощью третьего и так далее. Это н
азывается полиалфавитный шифр.
Предположим, что велосипед Тьюринга генерирует свой алфавит для каждог
о из состояний. Тогда состоянию ( Q = 0, С = 0) будет с
оответствовать, например, такой алфавит замены:
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Q G U W В I Y T F K V N D O H E P X L Z R C A S J M
а состоянию ( Q = 180, С = 15) Ч такой:
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
B O R I X V G Y P F J M T C Q N H A Z U K L D S E W
Никакие две буквы не будут зашифрованы одним и тем же алфавитом за
мены, пока велосипед не вернется в исходное состояние (
Q = 0, С = 0) и цикл не пойдет с начала. То есть это
периодическая полиалфавитная система. Теперь, если период
у машины короткий, она часто повторяет саму себя и в качестве шифровальн
ой системы тоже годится исключительно для детской забавы. Чем длиннее пе
риод (чем больше взаимно простых чисел в него встроено), тем реже использу
ется один и тот же алфавит замены и тем выше устойчивость шифра.
Трехдисковая «Энигма» Ч система именно такого типа (то есть периодичес
кая полиалфавитная). Ее барабаны подобно приводу в велосипеде Тьюринга з
аключают в себе циклы в циклах. Ее период равен 17 576, то есть алфавит замены,
которым зашифрована первая буква сообщения, не повторится до 17 577-й буквы.
Однако в «Акуле» немцы добавили четвертый барабан, увеличив период до 456
976. В начале каждого сообщения диски ставятся в различные, случайным образ
ом выбранные исходные положения. Поскольку ни в одном немецком сообщени
и нет 450 000 знаков, «Энигма» никогда не повторяет один и тот же алфавит замен
ы в пределах отдельного сообщения. Вот почему немцы считают ее неуязвимо
й.
Над головами пролетает звено транспортных самолетов, направляясь, по вс
ей видимости, к аэропорту в Бедфорде. Самолеты издают странно музыкальны
й диатонический гул, словно волынки, играющие две мелодии разом. Это напо
минает Лоуренсу об еще одном феномене, связанном с велосипедным колесом
и шифрмашиной «Энигма».
Ч Ты знаешь, почему самолеты так гудят? Ч спрашивает он.
Ч Нет, если задуматься. Ч Тьюринг снова сдвигает противогаз на лоб. Челю
сть у него немного отвисла, глаза смотрят в разные стороны. Уотерхауз его
зацепил.
Ч Я заметил в Перл-Харборе. У самолета Ч звездообразный двигатель, Ч го
ворит Лоуренс. Ч Соответственно, в нем должно быть нечетное число цилин
дров.
Ч Как одно из другого следует?
Ч Если число будет четным, цилиндры окажутся один напротив другого, раз
вернутые на сто восемьдесят градусов, а это не работает механически.
Ч Почему?
Ч Не помню. Не работает, и все.
Алан поднимает брови. Он явно не убежден.
Ч Это как-то связано с кривошипами, Ч защищается Уотерхауз.
Ч Не уверен, что соглашусь.
Ч Просто допусти. Считай это граничным условием, Ч говорит Уотерхауз. О
днако Алан уже ушел в свои мысли Ч наверное, изобретает звездообразный
двигатель с четным числом цилиндров.
Ч В любом случае, если посмотришь, у них у всех цилиндров нечетное число,
Ч продолжает Лоуренс. Ч Поэтому шум выхлопа накладывается на гудение в
инта и получается двухтоновой звук.
Алан снова садится на велосипед. Некоторое время они едут молча. Собстве
нно, они и до этого не столько разговаривали, сколько подкидывали друг др
угу идеи и давали время подумать. Это очень производительный способ обще
ния; он устраняет значительную часть избыточности, на которую жаловался
Алан в случае Рузвельта и Черчилля.
Уотерхауз думает о вложенных циклах. Он уже решил, что человеческое обще
ство действует по этому самому принципу* [У него нет никаких определенны
х фактов на этот счет, просто идейка кажется занятной.], и теперь пытается
понять, похоже оно на велосипед Тьюринга (некоторое время работает безот
казно, потом внезапно цепь сваливается, отсюда Ч мировая война), как «Эни
гма» (долго непонятно скрипит, потом вращающиеся диски выстраиваются, ка
к в игровом автомате, и наступает всеобщее счастье, или, если предпочитае
те, Апокалипсис), или просто как самолетный мотор (крутится себе и крутитс
я, ничего особенно не происходит, кроме шума).
Ч Смотри, сзади! Вон там! Ч Алан резко тормозит. Это просто шутка, чтобы Ло
уренсу пришлось сделать крутой поворот на узкой дороге.
Они прислоняют велосипеды к дереву и снимают с багажников оборудование:
сухие батареи, макетные платы, палки, саперный инструмент, мотки провода.
Ч Я скоро в Америку, работать над проблемой шифрования голоса в лаборат
ориях компании «Белл», Ч говорит Алан.
Лоуренс невесело смеется.
Ч Мы с тобой как те корабли у Лонгфелло, которые встретились в ночи, поми
гали сигнальными огнями и снова разошлись.
Ч Мы пассажиры на этих кораблях, Ч поправляет Алан.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57