Первая аксиома гласит, что две
прямые не имеют общей части, а вторая - что они не заключают пространства.
Архимед дал своего рода определение прямой линии, сказав, что это
кратчайшая линия между двумя точками. Но, пользуясь в своих доказательствах
такими элементами, как евклидовы, которые основаны на только что упомянутых
мной двух аксиомах, он молча предполагает, что свойства, указанные в этих
аксиомах, принадлежат определенной им линии".
Но если основания античной геометрии были столь непрочны, то как же следует
отнестись к построенному на них зданию? Что это - строгая научная система,
какой считали геометрию и в античности, и в средние века, и уж тем более в
XVII столетии, или же это просто практическое искусство, способ решения
технико-практических задач, каким с древности считали логистику? В самом
деле, если очевидность евклидовых аксиом носит не чисто логический
характер, а опирается и на воображение (что несомненно), то "Начала"
невозможно считать строго научной системой.
Однако Лейбниц столь радикального вывода не делает. Он заявляет, что все же
"лучше было ограничиться небольшим количеством истин этого рода, казавшихся
ему (Евклиду. - П.Г.) наипростейшими, и вывести из них другие истины... чем
оставить множество их недоказанными и, что еще хуже, предоставить людям
свободу допускать все, что угодно, в зависимости от настроения". Ибо даже
при помощи таких, далеко не первичных аксиом были сделаны великие открытия,
которых не было бы, "если бы древние не захотели двинуться вперед до того,
как они не докажут аксиом, которыми они вынуждены были пользоваться".
Но в таком случае возникает другой вопрос: если без предлагаемого Лейбницем
анализа возможно создание столь логически стройной и все-таки весьма
достоверной науки, как античная геометрия, то так ли уж необходим этот
анализ? На эту неувязку в рассуждениях Лейбница обратил внимание В.
Каринский в своей работе "Умозрительное знание в философской системе
Лейбница". "Может быть, - пишет Каринский, - в этом слишком энергическом
выражении мысли о совершенной достоверности геометрии в различии от
метафизики, несмотря на то, что аксиомы для общего создания оставались без
аналитического доказательства, можно видеть ослабление основного
критического значения, приписываемого Лейбницем своей теории анализа".
В. Каринский прав: складывается такое впечатление, что Лейбниц принимает,
помимо высшего рода достоверности, который может быть обеспечен лишь
анализом понятий, также и некоторый как бы промежуточный род и к нему как
раз относит аксиомы Евклида.
Древние философы, рассуждает Лейбниц, так же как и математики, именно в
Греции начали требовать строгости доказательства, стремясь таким образом
найти первичные аксиомы, и, хотя до конца выполнить это требование в
математике им и не удалось, все же достигнутое ими намного превзошло то,
что было сделано до них. Греческие математики не считали возможным
принимать за науку то, что дает чувственное представление. Этим, по
Лейбницу, "могут довольствоваться только люди, имеющие в виду практическую
геометрию как таковую, но не те, кто желает иметь науку, которая сама
служила бы усовершенствованию практики. Если бы древние придерживались
этого взгляда и не проявили строгости в этом пункте, то, думаю, они не
пошли бы далеко вперед и оставили бы нам в наследство лишь такую
эмпирическую геометрию, какой была, по-видимому, египетская геометрия и
какой является, кажется, китайская геометрия еще и теперь. В этом случае мы
оказались бы лишенными прекраснейших открытий в области физики и механики,
которые мы сделали благодаря нашей геометрии и которые неизвестны там, где
последней нет".
Как видим, Лейбниц, так же как и его предшественники Кеплер, Коперник,
Галилей и Декарт, видит прямую преемственность между механикой нового
времени и античной математикой. Их суждения мы должны принимать во
внимание, размышляя о том, возникла ли в результате научной революции XVII
столетия абсолютно новая, не имеющая ничего общего с античной и
средневековой, форма знания или же между новой и старой наукой была
существенная содержательная связь.
Вернемся, однако, к обоснованию математики. Непоследовательность в
рассуждениях Лейбница об основаниях математики отнюдь не случайна. Здесь мы
имеем дело с одной из центральных проблем, унаследованной наукой нового
времени от античности: в чем состоит природа суждений геометрии, чем
обусловлена всеобщность и необходимость этих суждений?
Говоря о том, что довести до конца анализ понятий весьма трудно, Лейбниц,
как мы помним, заметил, что если в человеческом знании и есть аналитическое
понятие, то, пожалуй, это только понятие числа. Определение числа ближе
всего к совершенному, а это последнее имеет место в тех случаях, "когда...
анализ вещи простирается в нем вплоть до первичных понятий, ничего не
предполагая, что нуждалось бы в доказательстве априори своей
возможности...". Такое определение понятия вещи Лейбниц называет реальным и
сущностным, отличая от него, как мы уже выше упоминали, определение
реальное и причинное, которое "заключает в себе способ возможного
произведения вещи". В случае причинного определения доказательство
возможности, подчеркивает Лейбниц, тоже осуществляется априорно, но эта
априорность, так сказать, более низкого качества, чем первая, потому что
здесь анализ не доводится до конца - до тождественных положений.
С реальным причинным определением, т.е. с определением предмета посредством
его порождения, или конструкции, мы имеем дело в геометрии. Мы порождаем
геометрические понятия - линии, треугольники, окружности и т.д. - путем
движения точки в пространстве. Таким образом, в качестве предпосылок
геометрии, что видно на примере аксиом, постулатов и определений Евклида,
выступают пространство и движение. Именно в силу этого в геометрии мы имеем
дело не с чистым числом, а с величиной, а величина не тождественна числу, -
в этом Лейбниц убежден так же, как Платон, и не склонен к их чрезмерному
сближению, как это делал Декарт. А сближение это было основано у Декарта на
том, что он считал понятия величины, фигуры и движения ясными и отчетливыми
и в этом смысле ничем принципиально не отличающимися от понятия числа. По
этому поводу Лейбниц высказывает следующее возражение: "Можно доказать, что
понятие величины, фигуры и движения вовсе не так отчетливо, как воображают,
и что оно заключает в себе нечто мнимое и относящееся к нашим восприятиям,
хотя и не в такой степени, как цвет, теплота и тому подобные качества, в
которых можно усомниться, действительно ли они существуют в природе вещей
вне нас..."
Здесь мы уже можем четко представить себе, в чем состоит расхождение между
Лейбницем и Декартом. Для Декарта протяжение - это первичное понятие,
совершенно отчетливое и далее не разложимое, составляющее исходный принцип
его понимания природы и в то же время (поскольку природа для Декарта есть
воплощение математических законов) лежащее также и в основе математики.
Именно поэтому для Декарта математика - это прежде всего геометрия, притом
геометрия уже не вполне античная, поскольку понятия числа и величины у
Декарта, в сущности, не различаются. У Лейбница, напротив, протяжение - это
не первичное, а производное понятие, оно не обладает отчетливостью и
образовано не одним только умом, но умом и воображением, а значит, оно есть
гибрид, как это доказывал Платон. А отсюда следует, что это понятие не
может быть первым началом ни для понимания природы, ни для обоснования
математики. В этом пункте Лейбниц гораздо ближе к античной философии, чем
Галилей и Декарт.
Вот еще одно рассуждение Лейбница, проливающее свет на его понимание
математического знания, которое создается при помощи двух различных
способностей - воображения, или общего чувства, и разума. "Так как душа
наша сравнивает (например) числа и фигуры, находящиеся в цветах, с числами
и фигурами, заключающимися в осязательных ощущениях, то необходимо должно
существовать внутреннее чувство, где соединяются восприятия этих различных
внешних чувств. Это и есть то, что называют воображением, которое обнимает
как понятия отдельных чувств, ясные, но смутные, так и понятия общего
чувства, ясные и отчетливые. Эти принадлежащие воображению ясные и
отчетливые идеи составляют предмет математических наук, то есть арифметики
и геометрии, - представляющих науки чистые, и их приложений к природе,
составляющих математику прикладную... Не подлежит сомнению, что
математические науки не были бы демонстративными и состояли бы в простой
индукции или наблюдении, - которые никогда не могут обеспечить полную и
совершенную всеобщность истин, заключающихся в этих науках, - если бы на
помощь чувствам и воображению не приходило нечто более высокое, которое
может доставить только один ум".
Те понятия, которые целиком разложимы и могут быть сведены к тождественным
утверждениям, или, иначе говоря, которые полностью аналитичны, Лейбниц
считает созданными самим умом - ближе всего к таким понятиям, как мы уже
знаем, стоит, по Лейбницу, понятие числа. Что же касается геометрических
понятий, то они поддаются анализу настолько, насколько в их создании
принимает участие ум, и неразложимы в той мере, в какой оказываются
основанными на общем чувстве, т.е. на воображении. Именно поэтому
доказательство возможности геометрического понятия ведется не через анализ,
а через конструкцию, т.е. путем порождения предмета, соответствующего
понятию.
4. Конструкция как принцип порождения объекта
Вопрос о достоверности геометрии служил предметом непрекращавшихся споров
на протяжении XVI-XVII вв. между представителями схоластики и защитниками
новой науки. Схоластики при этом апеллировали к Аристотелю, у которого, как
мы знаем, математика обосновывалась иначе, чем в работах Галилея, Декарта,
Гоббса и др., поскольку Аристотель не считал ее "первой наукой" и по ее
онтологическому статусу ставил после метафизики и физики. В схоластике в
качестве аргумента приводилось соображение Аристотеля о том, что, в отличие
от метафизики и физики, дающих причинное объяснение явлений, математика не
может объяснять из причин.
Критикуя схоластику, создатели науки нового времени пытались показать, что
геометрия, на базе которой создавалась механика как основная наука о
природе, является самой достоверной и позволяет постигнуть основные законы
природы как раз потому, что она дает причинное объяснение. К этой
аргументации полностью присоединился и молодой Лейбниц. В письме к Я.
Томмазиусу (1669) он пишет: "...если мы рассмотрим дело ближе, то окажется,
что геометрия доказывает именно из причин. В самом деле, она выясняет
фигуры из движения: из движения точки происходит линия, из движения линии -
поверхность, из движения поверхности - тело, из движения прямой по прямой
происходит плоскость, из движения прямой вокруг неподвижной точки
происходит круг и т.п. Таким образом, построение фигур есть движение;
свойства же фигур доказываются из построений, т.е. из движения,
следовательно, априори и из причин. Значит, геометрия есть настоящая наука".
Такое заключение, однако, возможно при условии признания пространства
субстанцией, как это сделал Декарт, - условие, которое не принял бы
Аристотель и которое сам Лейбниц впоследствии поставил под сомнение, что и
вызвало у него потребность дать иное обоснование геометрии. Уже отсюда
ясно, что Лейбниц отнюдь не был первым, кто рассматривал геометрические
понятия как результат конструкции. Такой способ понимания геометрических
образований был широко распространен в XVII столетии. Так, например, Томас
Гоббс, определяя науку как самый достоверный вид знания, пишет: "Наука
начинается лишь с того знания, благодаря которому мы постигаем истину,
содержащуюся в каком-нибудь утверждении; она есть познание какого-нибудь
предмета на основании его причины или познание его возникновения
посредством правильной дедукции. Знание есть также правильное понимание
возможной истинности какого-нибудь положения: такое понимание мы получаем
путем правильного умозаключения из установленных опытом следствий. Оба
указанных вида дедукции мы называем обычно доказательствами. Однако первый
вид дедукции считают более ценным, чем второй, и для этого есть вполне
достойное основание". Гоббс, таким образом, считает самым достоверным видом
научного знания тот, который получают на основании знания причины, т.е.
порождения предмета, возникновения его. Такое знание из непосредственно
очевидных для нас причин более ценно, чем знание на основании заключения из
причин прошлых. Это наиболее ценное знание Гоббс называет "демонстративным
познанием а priori", и оно, согласно Гоббсу, возможно "лишь относительно
тех вещей, возникновение которых зависит от воли самого человека".
Гоббс высказал соображение, которое позднее становится центральным
принципом критической философии Канта: мы с достоверностью можем знать
только то, что произвели сами. Только при этом Гоббс дает номиналистическое
истолкование этому "мы сами", считая, что порождающие причины находятся в
воле самого человека. Именно таким путем создаются, как показывает Гоббс,
линии и фигуры, составляющие предмет геометрии. "В этом смысле строго
доказательной, - пишет Гоббс, - является большая часть положений о
величине; наука о них называется геометрией. Так как причина тех свойств,
которыми обладают отдельные фигуры, заключается в линиях, которые мы сами
проводим, и так как начертание фигур зависит от нашей воли, то для познания
любого свойства фигуры требуется лишь, чтобы мы сделали все выводы из той
конструкции, которую сами построили при начертании фигуры. То, что
геометрия считается демонстративной наукой и действительно является строго
доказательной, обусловливается тем обстоятельством, что мы сами рисуем
фигуры".
Гоббс, таким образом, объясняет априорность (а тем самым и доказательность,
демонстративность) геометрии произвольностью геометрических построений:
начертание фигуры зависит от нашей воли.
Но не только Гоббс обосновывает достоверность математического знания
указанием на конструированность геометрических понятий; такой же способ
рассуждения мы обнаруживаем и у Спинозы, хотя в других отношениях эти два
философа и существенно расходятся. Так же как и Гоббс, Спиноза считает, что
истинное познание есть познание предмета из его причин. Поэтому адекватным
определением геометрического понятия, согласно Спинозе, тоже будет
определение его через порождение. Если определить круг "как фигуру, у
которой линии, проведенные от центра к окружности, равны, то всякий, -
говорит Спиноза, - видит, что такое определение совсем не выражает сущности
круга, а только некоторое его свойство". Определение, приведенное Спинозой,
дано не кем иным, как Евклидом, у которого мы читаем: "Круг есть плоская
фигура, содержащаяся внутри одной линии, на которой все из одной точки
внутри фигуры падающие прямые равны между собой".
Точно так же, как и Гоббс, Спиноза видит в действии, с помощью которого
строится фигура, причину, позволяющую раскрыть саму сущность данной фигуры,
а уже из сущности ее можно вывести и ее свойства. "Если данная вещь -
сотворенная (а несотворенной является только субстанция. - П.Г.), то
определение должно будет... содержать ближайшую причину. Например, круг по
этому правилу нужно будет определить так: это фигура, описываемая
какой-либо линией, один конец которой закреплен, а другой подвижен; это
определение ясно охватит ближайшую причину". Именно из определения через
конструкцию можно, согласно Спинозе, вывести и такое свойство круга, как
одинаковое расстояние всех точек окружности от центра.
Гоббс, Спиноза и Лейбниц, так же как и их античные и средневековые
предшественники, видят задачу науки в познании предмета на основании его
причины, однако само понимание причины, как видим, меняется. В математике
такая причина усматривается в способе порождения математического объекта и
- соответственно - его понятия. Представление о том, что в основе
достоверного знания о предмете лежит деятельность, производящая этот
предмет, возникает, как видим, задолго до Канта. И Спиноза, и Гоббс,
несомненно, согласились бы с Кантом в том, что задача геометра "состоит не
в исследовании того, что он усматривал в фигуре или в одном лишь ее
понятии, как бы прочитывая в ней ее свойства, а в том, чтобы создать фигуру
посредством того, что он сам, а priori, сообразно понятиям мысленно вложил
в нее и показал (путем построения).
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63