Теперь он уже не смеялся, – побледнел, осунулся…
Прошли сутки, и еще одни сутки, и еще одни сутки, а мудрецы все считали… Вот уже и они стали валиться от усталости, а конца все еще не было видно. Слуги вносили все новые и новые мешки…
Но вот вбежал насмерть перепуганный хранитель шахских запасов. Он доложил, что в амбарах не осталось ни одного рисового зернышка.
– Негодяй! – закричал шах страннику. – Ты разорил меня!
– Я просил тебя накормить голодных, – ответил странник, – ты не захотел этого. Тогда я изменил свою просьбу. И ты счел меня глупцом. Попробуй теперь сосчитать, сколько зерен нужно положить на последнюю, шестьдесят четвертую клетку, и ты поймешь, кто из нас глупец. Опустоши все рисовые поля на свете – тебе и этого не хватит, чтобы со мной расквитаться.
– Ах так! – в бешенстве закричал шах. – Сейчас ты узнаешь, умею ли я платить сполна. Отрубить ему голову!
– Такова шахская справедливость, – закончила свой рассказ Шестерка. – А теперь прошу вас убедиться, что задача эта очень проста, но практически невыполнима. Число рисовых зерен росло по такому правилу: 1, 2, 4, 8, 16, 32, и так далее. Каждое последующее число больше предыдущего в два раза.
Такой ряд чисел называется геометрической прогрессией. Только, пожалуйста, не путайте ее с арифметической. В арифметической прогрессии каждое последующее число больше предыдущего на одно и то же число – оно называется разностью прогрессии. В геометрической прогрессии каждое последующее число больше предыдущего в одно и то же число раз, и число это называется знаменателем прогрессии.
В нашей задаче знаменатель прогрессии равен двум. Если хотите, эту прогрессию можно записать и так:
2, 2, 2, 2, 2, 2, 2…
Нетрудно догадаться, что на шестьдесят четвертой клетке должно быть 2 – два в шестьдесят третьей степени зерен, потому что на первую клетку приходится 2 – два в нулевой степени зерен, то есть одно зерно. Но если вы попробуете сосчитать, чему равно два в шестьдесят третьей степени, вы ужаснетесь. Такого огромного количества зерен никогда не смог бы раздобыть жестокий шах. Он не смог бы даже прочитать это число. Вот оно: 9 223 372 036 854 775 808 – девять квинтиллионов двести двадцать три квадриллиона триста семьдесят два триллиона тридцать шесть миллиардов восемьсот пятьдесят четыре миллиона семьсот семьдесят пять тысяч восемьсот восемь… Уф!
Попробуйте подсчитать, сколько это килограммов риса, если каждое зернышко в среднем весит 0,0182 грамма. Знаете, что получится? Больше ста шестидесяти семи триллионов килограммов! Стоит ли доказывать, что моя задача хоть и проста, но практически невыполнима?
Шестерка поклонилась и села. Ей долго хлопали. Потом поднялась латинская буква Эн. Она сказала так:
– Уважаемая Шестерка познакомила нас с геометрической прогрессией, где все числа непрерывно растут. Такая прогрессия называется возрастающей. Я позволю себе занять ваше внимание сразу двумя геометрическими прогрессиями – возрастающей и убывающей. И сделаю это на одном и том же примере. Задача моя будет так же проста, как предыдущая, и так же невыполнима. Моя предшественница рассказала прелестную сказку об изобретателе шахмат и коварном шахе. Позвольте и мне задать вам задачу, связанную с шахматами.
Эн вынула из кармана платок, развернула его и показала публике. На платке были нарисованы шестьдесят четыре квадрата, черные и белые, – как на шахматной доске.
– Будем считать, – продолжала Эн, – что этот платок заменяет нам шахматную доску. Обратите внимание – толщина платка равна 0,1 – одной десятой миллиметра. Складываю платок пополам. Теперь его толщина стала вдвое больше: две десятых миллиметра. Зато и площадь его стала меньше в два раза. Складываю платок еще раз вдвое. Теперь его толщина в четыре раза больше первоначальной, но и площадь уменьшилась в четыре раза. Я предлагаю складывать этот платок вдвое до тех пор, пока возможно. А потом продолжайте складывать мысленно.
Эн бросила платок в зал, кто-то его подхватил и стал перегибать: раз, второй, третий… Перегнул в шестой и крикнул:
– Готово! Теперь видна только одна клетка. Толщина платка увеличилась в шестьдесят четыре раза. Ничего невозможного тут нет.
– Вы сложили платок только шесть раз, – возразила Эн самонадеянному зрителю, – а надо было шестьдесят четыре! Понимаете разницу? Если бы вам удалось это сделать, толщина платка стала бы такой большой, что он перерос бы горы, миновал солнце и уперся бы в какую-нибудь отдаленную звезду.
– А вы докажите! – крикнули в зале.
Тогда Эн стала решать задачу на доске.
– Неужели вы не догадались, что я почти повторила предыдущую задачу? После каждого перегибания толщина платка увеличивается вдвое и возрастает по закону геометрической прогрессии: 2, 4, 8, 16, 32, 64 и так далее. Разница только в том, что после шестидесяти четырех перегибаний толщина платка станет больше не в 263, а в 264 раз. Оно и понятно: ведь эта прогрессия начинается не с 2 – двух в нулевой, а с 2 – двух в первой степени. Толщина развернутого платка 0,1 миллиметра. Чтобы вычислить толщину сложенного платка, надо 0,1 умножить на 264. Получается 1 844 674 407 371 километр.
Один триллион восемьсот сорок четыре миллиарда шестьсот семьдесят четыре миллиона четыреста семь тысяч триста семьдесят один километр.
А ведь расстояние от Земли до Солнца всего-навсего около ста пятидесяти миллионов километров!
Кажется, условие состязания выполнено: задача проста и практически невыполнима.
– А где же обещанная убывающая прогрессия? – спросил Сева.
– Да здесь же, – ответила Эн. – Ведь в то время как толщина платка увеличивается, площадь его все время уменьшается: 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, и так далее. Это и есть убывающая геометрическая прогрессия. После шестидесяти четырех перегибаний площадь станет в 1/2 раз – в одну вторую, взятую в шестьдесят четвертой степени раз, меньше первоначальной. И если бы мы складывали платок дальше, то она все время приближалась бы к нулю, а толщина (или высота) стремилась бы к Великанам в Бесконечность. Вы согласны? Тогда благодарю за внимание.
В зале снова зашумели, захлопали. Барон Мюнхгаузен позвонил в колокольчик и сказал:
– Жюри одинаково восхищено и той и другой задачей. Обеим участницам вручается первый приз.
Он передал победительницам шахматные доски с красивыми фигурами из слоновой кости и добавил:
– Меня так заинтересовали оба выступления, что следующее путешествие я совершу в Бесконечность. А потом – кто знает? – может быть, доберусь и до Нуля!
Барон поклонился. Соревнования кончились, и мы отправились спать. Ведь завтра нам идти на строительство! А перед этим не мешает хорошенько отдохнуть.
Олег.
Новые открытия Нулика
(Нулик – отряду РВТ)
Здравствуйте, ребята! Ну и работу вы нам задали! Теперь мы только и делаем, что играем в шахматы. Каждый сам смастерил себе доску и фигуры. Играем с утра до вечера – то друг с другом, а то и каждый сам с собой. Но я все-таки успел сделать открытие: по шахматной доске сразу видно, что Карликания и Аль-Джебра друзья. Ведь каждая шахматная клетка имеет свое обозначение, которое состоит из цифр и букв. Например, е5, а4, d8. Разве это не доказательство дружбы?
Задачу с зернами все-таки решили проверить. Конечно, без риса. Просто все стали писать на своих досках, сколько надо положить рисинок на каждую клетку: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128… Когда заполнили первый ряд, выяснилось, что одни пишут слева направо, а другие справа налево.
Стали спорить, как надо писать. Положили две доски одну под другой. На одной числа написаны внизу, слева направо, на другой – вверху, справа налево. Числа, одинаково отстоящие от края, оказались друг против друга. Прямо как на палке у фокусника!
Я попробовал сложить каждую пару, но одинаковых чисел не получилось. Понятно: ведь прогрессия-то не арифметическая, а геометрическая! Тогда я их перемножил и сделал второе открытие: все произведения оказались совершенно одинаковые:
1 Х 128 = 128;
2 X 64 = 128;
4 X 32 = 128;
8 X 16 = 128.
Да, теперь я уже не тот Нулик, что прежде. Меня и вправду не узнать. А все ваши письма!
Дальше считать зерна никто не захотел – кому же охота писать такие огромные числа? Но один Нулик задал интересный вопрос: если на шестьдесят четвертую клетку надо положить девять с лишним квинтиллионов зерен, то сколько всего зерен будет на доске, если, конечно, заполнить все клетки?
– Что тут думать! – сказал другой Нулик. – Всего на доске будет зерен два в шестьдесят третьей степени. То есть вот эти девять квинтиллионов.
– Ничего подобного, – возразил третий, – девять квинтиллионов будет только на последней клетке, а на всей доске во много раз больше.
Они заспорили, а я снова посмотрел на свою шахматную доску, где в первом ряду написана геометрическая прогрессия: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128. После треугольника Паскаля я вообще стал очень внимательно рассматривать числа – все время ищу закономерности! Вот и сейчас сложил первый член прогрессии со вторым: 1 + 2 = 3. Сумма их оказалась на единицу меньше третьего члена – четверки. Потом я сложил 1 + 2 + 4. Получилось семь. А это на единицу меньше восьми. 1 + 2 + 4 + 8 = 15. И это тоже меньше шестнадцати на единицу. Выходит, сумма всех предыдущих членов этой геометрической прогрессии меньше последующего всегда на единицу. А это значит, что на шестидесяти трех клетках шахматной доски будет столько же зерен, сколько на последней, шестьдесят четвертой, только на одно зернышко меньше. А всего на доске зерен будет в два раза больше, чем на последней клетке, минус единица: 2 * 2 – 1. А это ведь все равно что 2 – 1.
Так я сделал третье открытие. И для этого мне не понадобилось ни писать всю прогрессию до конца, ни умножать девять квинтиллионов с хвостиком на два. Хорошая штука алгебра!
Нулик-Шахматист.
Волшебная практика
(Сева – Нулику)
Мы чуть не опоздали к началу рабочего дня. И все из-за Тани. На стройках, говорит, всегда пыль и грязь. Как бы мне, говорит, там не испортить любимого платья в оборочках. Наконец она появилась в комбинезоне и сапогах, на голове косынка, защитные очки. Прямо хоть снимай для газеты: «Знатная электросварщица Татьяна Н.».
Девчонок хлебом не корми – дай надеть какую-нибудь обновку. Я-то знаю, что не платья ей жалко, – просто захотелось покрасоваться в комбинезоне.
Ну и лицо у нее было, когда она увидела, что строительство больше похоже на ухоженную детскую площадку, где ребята заняты разными техническими играми – пилят, вырезают, конструируют… Только «игрушки» здесь были гораздо крупнее. Кружевные стрельчатые краны легко передвигали в воздухе разноцветные пластикатные детали.
К нам подошла нарядная латинская буква Эф. Она удивленно покосилась на Танин костюм:
– Хотите познакомиться с нашим экспериментальным строительством? Я вас провожу.
Первым долгом поинтересовались, что здесь строят.
– Да все, что угодно, – ответила Эф. – Дома, машины, бассейны…
Мы залюбовались высоким домом из разноцветных кубиков… Он вырос прямо на наших глазах – ни дать ни взять воздушный замок. И как же мне жалко стало, когда этот замок вдруг рассыпался, а на его месте возникло длинное двухэтажное здание с плоской крышей.
– Охота была строить, а потом разрушать! – подосадовал я.
Но Эф объяснила, что здесь не просто строят, а делают расчеты, которые тут же проверяют на практике. Я подумал, что если это и практика, то, во всяком случае, волшебная.
К нам подошел солидный карликан, Девятка.
– Здравствуйте, – обратился он к Эф. – Мы строим дом. Нам надо вырыть котлован для фундамента. Имеются три экскаватора. Первый может вырыть котлован за четыре часа, второй – за три, третий – за двенадцать. Через сколько часов будет готов котлован, если все три экскаватора работают одновременно? Это очень важно! Без этого я не смогу составить график строительства.
– Обратитесь к Главному Составителю, – ответила Эф.
Мы переглянулись.
– Нельзя ли и нам повидать Главного Составителя? – спросила Таня.
– А вы разве умеете решать уравнения? – поинтересовалась Эф.
Таня только покраснела. А я сказал напрямки, что мы об этом понятия не имеем.
– В таком случае вам придется начать с азов! Чтобы решить уравнение, следует прежде всего познакомиться с отрицательными числами.
Ну, это-то мы знали!
Эф облегченно вздохнула:
– Тогда я могу зачислить вас на строительство в качестве практикантов.
– И мы сейчас же начнем составлять уравнения? – брякнул я.
– О, до этого далеко. Сперва придется поработать в весовой.
Что ты скажешь? Опять отсрочка! В кармане лежит готовая задача, а ты, изволь радоваться, работай весовщиком!
Эф заметила, как мне досадно.
– В нашем деле лучше не торопиться, – сказала она, – это верный способ сэкономить время.
Ничего не поделаешь, пошли в весовую. Кстати, я давно не взвешивался. А в этой Аль-Джебре похудеешь!
Сева.
Весовая
(Таня – Нулику)
Что ни говори, Нулик, Аль-Джебра – удивительное государство! Вчера были в современном кафе, сегодня на сверхскоростном строительстве, и вот, не успели опомниться, как попали в гости к древнему восточному кудеснику.
Как ты себе представляешь весовую? Большой амбар, тяжелые неуклюжие весы. У весов – дюжий весовщик в брезентовом фартуке и рукавицах. А вокруг – мешки, ящики, корзины…
Так вот, ничего подобного не было. Нас ввели в полутемный сводчатый зал с тонкими витыми колоннами, такой высоченный, что потолка не видно. Будто над тобой ночное небо, только без луны и звезд. Вместо них в полумраке светятся какие-то закорючки и загогулины. Должно быть, восточные письмена. Посреди зала – большие старинные весы: тяжелые медные чашки, подвешенные на цепях к концам металлического коромысла. Весы тоже сплошь в закорючках и загогулинах. Они парят в воздухе, как большая диковинная птица. А между чашками, словно глазок радиоприемника, сверкает зеленый кошачий глаз.
– Садитесь, – шепнула Эф.
Мы оглянулись: ни стульев, ни кресел. Только несколько пестрых ковриков на полу. Эф уселась на одном из них, скрестив ноги. Мы сделали то же самое.
Бам! Что-то зазвенело – будто стукнулись два медных подноса, – и из темноты вынырнула фигура в длинном черном балахоне с желтыми разводами. На голове – белая шелковая башня. Называется «тюрбан». И борода у него тоже белая и шелковистая.
– Главный Весовщик, – шепнула Эф. – Следите за ним внимательно.
Весовщик приложил руку к сердцу и поклонился. Мы тоже приложили руки к сердцу и поклонились. Потом он взмахнул палочкой, и на каждой чашке весов появилось по Семерке. – обе в светящихся костюмах. Я так на них загляделась – даже не заметила, что в кошачьем глазке засветились две черточки. Эф легонько толкнула меня локтем:
– Это знак равенства. Семь равно семи, – негромко сказала она.
– Уж конечно, не восьми, – фыркнул Сева.
Но тут Весовщик снова взмахнул палочкой, и на правой чашке весов вместо Семерки оказалась Восьмерка. Чашка сразу опустилась. Мы взглянули на зеленый глазок: черточки знака равенства соединились слева и образовали уголок: 7 « 8.
– А вот знак неравенства. Он обозначает, что семь меньше восьми, – пояснила Эф.
Тут Восьмерка и Семерка поменялись местами. Теперь уже опустилась левая чашка. Черточки в кошачьем глазке снова задвигались и соединились правыми концами: 8 » 7.
– Понятно, – сказал Олег, – этот знак показывает, что восемь больше семи. Выходит, там, где палочки сходятся, стоит меньшее число, а там, где они расходятся, – большее.
– Детские игрушки, – проворчал Сева.
Весовщик не обратил внимания на его дерзость. Он взмахнул палочкой, и вот уже вместо чисел на весах засветились буквы: слева а + b, справа с. Между ними загорелся знак равенства: а + b = с.
Но в Севу точно бес вселился! Все ему не нравилось.
– Почему это, – придрался он, – Весовщик думает, что а + b равно с?
– А он вовсе и не думает – он требует этого, – ответила Эф. – Наверное, ему для какой-то задачи понадобилось, чтобы левая часть непременно была равна правой.
– А может быть, он все-таки ошибается? – заупрямился Сева. – Ведь под буквой можно подразумевать любое число! Вот я сейчас попрошу заменить все три буквы числами.
Он встал и подошел к Весовщику. Признаться, я очень испугалась: вдруг Весовщик рассердится и превратит Севу в какое-нибудь неравенство? Но он вовсе не рассердился. Наоборот, прижал руку к сердцу, и вот уже на левой чашке весов вместо буквы а стоит число Четыре, вместо b – Пять, а на другой чашке вместо с – Девятка: 4 + 5 = 9.
Но Сева не унимался.
– Нет, так не пойдет, уважаемый Главный Весовщик! Вы просто поставили те числа, которые вам выгодно. Позвольте, я сам!
Он назвал другие числа. Весовщик улыбнулся и снова пустил в ход свою палочку. Коромысло закачалось, в глазке зажегся знак неравенства. И мы увидели вот что: 6 + 7 « 20.
– Что я говорил! – закричал Сева.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Прошли сутки, и еще одни сутки, и еще одни сутки, а мудрецы все считали… Вот уже и они стали валиться от усталости, а конца все еще не было видно. Слуги вносили все новые и новые мешки…
Но вот вбежал насмерть перепуганный хранитель шахских запасов. Он доложил, что в амбарах не осталось ни одного рисового зернышка.
– Негодяй! – закричал шах страннику. – Ты разорил меня!
– Я просил тебя накормить голодных, – ответил странник, – ты не захотел этого. Тогда я изменил свою просьбу. И ты счел меня глупцом. Попробуй теперь сосчитать, сколько зерен нужно положить на последнюю, шестьдесят четвертую клетку, и ты поймешь, кто из нас глупец. Опустоши все рисовые поля на свете – тебе и этого не хватит, чтобы со мной расквитаться.
– Ах так! – в бешенстве закричал шах. – Сейчас ты узнаешь, умею ли я платить сполна. Отрубить ему голову!
– Такова шахская справедливость, – закончила свой рассказ Шестерка. – А теперь прошу вас убедиться, что задача эта очень проста, но практически невыполнима. Число рисовых зерен росло по такому правилу: 1, 2, 4, 8, 16, 32, и так далее. Каждое последующее число больше предыдущего в два раза.
Такой ряд чисел называется геометрической прогрессией. Только, пожалуйста, не путайте ее с арифметической. В арифметической прогрессии каждое последующее число больше предыдущего на одно и то же число – оно называется разностью прогрессии. В геометрической прогрессии каждое последующее число больше предыдущего в одно и то же число раз, и число это называется знаменателем прогрессии.
В нашей задаче знаменатель прогрессии равен двум. Если хотите, эту прогрессию можно записать и так:
2, 2, 2, 2, 2, 2, 2…
Нетрудно догадаться, что на шестьдесят четвертой клетке должно быть 2 – два в шестьдесят третьей степени зерен, потому что на первую клетку приходится 2 – два в нулевой степени зерен, то есть одно зерно. Но если вы попробуете сосчитать, чему равно два в шестьдесят третьей степени, вы ужаснетесь. Такого огромного количества зерен никогда не смог бы раздобыть жестокий шах. Он не смог бы даже прочитать это число. Вот оно: 9 223 372 036 854 775 808 – девять квинтиллионов двести двадцать три квадриллиона триста семьдесят два триллиона тридцать шесть миллиардов восемьсот пятьдесят четыре миллиона семьсот семьдесят пять тысяч восемьсот восемь… Уф!
Попробуйте подсчитать, сколько это килограммов риса, если каждое зернышко в среднем весит 0,0182 грамма. Знаете, что получится? Больше ста шестидесяти семи триллионов килограммов! Стоит ли доказывать, что моя задача хоть и проста, но практически невыполнима?
Шестерка поклонилась и села. Ей долго хлопали. Потом поднялась латинская буква Эн. Она сказала так:
– Уважаемая Шестерка познакомила нас с геометрической прогрессией, где все числа непрерывно растут. Такая прогрессия называется возрастающей. Я позволю себе занять ваше внимание сразу двумя геометрическими прогрессиями – возрастающей и убывающей. И сделаю это на одном и том же примере. Задача моя будет так же проста, как предыдущая, и так же невыполнима. Моя предшественница рассказала прелестную сказку об изобретателе шахмат и коварном шахе. Позвольте и мне задать вам задачу, связанную с шахматами.
Эн вынула из кармана платок, развернула его и показала публике. На платке были нарисованы шестьдесят четыре квадрата, черные и белые, – как на шахматной доске.
– Будем считать, – продолжала Эн, – что этот платок заменяет нам шахматную доску. Обратите внимание – толщина платка равна 0,1 – одной десятой миллиметра. Складываю платок пополам. Теперь его толщина стала вдвое больше: две десятых миллиметра. Зато и площадь его стала меньше в два раза. Складываю платок еще раз вдвое. Теперь его толщина в четыре раза больше первоначальной, но и площадь уменьшилась в четыре раза. Я предлагаю складывать этот платок вдвое до тех пор, пока возможно. А потом продолжайте складывать мысленно.
Эн бросила платок в зал, кто-то его подхватил и стал перегибать: раз, второй, третий… Перегнул в шестой и крикнул:
– Готово! Теперь видна только одна клетка. Толщина платка увеличилась в шестьдесят четыре раза. Ничего невозможного тут нет.
– Вы сложили платок только шесть раз, – возразила Эн самонадеянному зрителю, – а надо было шестьдесят четыре! Понимаете разницу? Если бы вам удалось это сделать, толщина платка стала бы такой большой, что он перерос бы горы, миновал солнце и уперся бы в какую-нибудь отдаленную звезду.
– А вы докажите! – крикнули в зале.
Тогда Эн стала решать задачу на доске.
– Неужели вы не догадались, что я почти повторила предыдущую задачу? После каждого перегибания толщина платка увеличивается вдвое и возрастает по закону геометрической прогрессии: 2, 4, 8, 16, 32, 64 и так далее. Разница только в том, что после шестидесяти четырех перегибаний толщина платка станет больше не в 263, а в 264 раз. Оно и понятно: ведь эта прогрессия начинается не с 2 – двух в нулевой, а с 2 – двух в первой степени. Толщина развернутого платка 0,1 миллиметра. Чтобы вычислить толщину сложенного платка, надо 0,1 умножить на 264. Получается 1 844 674 407 371 километр.
Один триллион восемьсот сорок четыре миллиарда шестьсот семьдесят четыре миллиона четыреста семь тысяч триста семьдесят один километр.
А ведь расстояние от Земли до Солнца всего-навсего около ста пятидесяти миллионов километров!
Кажется, условие состязания выполнено: задача проста и практически невыполнима.
– А где же обещанная убывающая прогрессия? – спросил Сева.
– Да здесь же, – ответила Эн. – Ведь в то время как толщина платка увеличивается, площадь его все время уменьшается: 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, и так далее. Это и есть убывающая геометрическая прогрессия. После шестидесяти четырех перегибаний площадь станет в 1/2 раз – в одну вторую, взятую в шестьдесят четвертой степени раз, меньше первоначальной. И если бы мы складывали платок дальше, то она все время приближалась бы к нулю, а толщина (или высота) стремилась бы к Великанам в Бесконечность. Вы согласны? Тогда благодарю за внимание.
В зале снова зашумели, захлопали. Барон Мюнхгаузен позвонил в колокольчик и сказал:
– Жюри одинаково восхищено и той и другой задачей. Обеим участницам вручается первый приз.
Он передал победительницам шахматные доски с красивыми фигурами из слоновой кости и добавил:
– Меня так заинтересовали оба выступления, что следующее путешествие я совершу в Бесконечность. А потом – кто знает? – может быть, доберусь и до Нуля!
Барон поклонился. Соревнования кончились, и мы отправились спать. Ведь завтра нам идти на строительство! А перед этим не мешает хорошенько отдохнуть.
Олег.
Новые открытия Нулика
(Нулик – отряду РВТ)
Здравствуйте, ребята! Ну и работу вы нам задали! Теперь мы только и делаем, что играем в шахматы. Каждый сам смастерил себе доску и фигуры. Играем с утра до вечера – то друг с другом, а то и каждый сам с собой. Но я все-таки успел сделать открытие: по шахматной доске сразу видно, что Карликания и Аль-Джебра друзья. Ведь каждая шахматная клетка имеет свое обозначение, которое состоит из цифр и букв. Например, е5, а4, d8. Разве это не доказательство дружбы?
Задачу с зернами все-таки решили проверить. Конечно, без риса. Просто все стали писать на своих досках, сколько надо положить рисинок на каждую клетку: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128… Когда заполнили первый ряд, выяснилось, что одни пишут слева направо, а другие справа налево.
Стали спорить, как надо писать. Положили две доски одну под другой. На одной числа написаны внизу, слева направо, на другой – вверху, справа налево. Числа, одинаково отстоящие от края, оказались друг против друга. Прямо как на палке у фокусника!
Я попробовал сложить каждую пару, но одинаковых чисел не получилось. Понятно: ведь прогрессия-то не арифметическая, а геометрическая! Тогда я их перемножил и сделал второе открытие: все произведения оказались совершенно одинаковые:
1 Х 128 = 128;
2 X 64 = 128;
4 X 32 = 128;
8 X 16 = 128.
Да, теперь я уже не тот Нулик, что прежде. Меня и вправду не узнать. А все ваши письма!
Дальше считать зерна никто не захотел – кому же охота писать такие огромные числа? Но один Нулик задал интересный вопрос: если на шестьдесят четвертую клетку надо положить девять с лишним квинтиллионов зерен, то сколько всего зерен будет на доске, если, конечно, заполнить все клетки?
– Что тут думать! – сказал другой Нулик. – Всего на доске будет зерен два в шестьдесят третьей степени. То есть вот эти девять квинтиллионов.
– Ничего подобного, – возразил третий, – девять квинтиллионов будет только на последней клетке, а на всей доске во много раз больше.
Они заспорили, а я снова посмотрел на свою шахматную доску, где в первом ряду написана геометрическая прогрессия: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128. После треугольника Паскаля я вообще стал очень внимательно рассматривать числа – все время ищу закономерности! Вот и сейчас сложил первый член прогрессии со вторым: 1 + 2 = 3. Сумма их оказалась на единицу меньше третьего члена – четверки. Потом я сложил 1 + 2 + 4. Получилось семь. А это на единицу меньше восьми. 1 + 2 + 4 + 8 = 15. И это тоже меньше шестнадцати на единицу. Выходит, сумма всех предыдущих членов этой геометрической прогрессии меньше последующего всегда на единицу. А это значит, что на шестидесяти трех клетках шахматной доски будет столько же зерен, сколько на последней, шестьдесят четвертой, только на одно зернышко меньше. А всего на доске зерен будет в два раза больше, чем на последней клетке, минус единица: 2 * 2 – 1. А это ведь все равно что 2 – 1.
Так я сделал третье открытие. И для этого мне не понадобилось ни писать всю прогрессию до конца, ни умножать девять квинтиллионов с хвостиком на два. Хорошая штука алгебра!
Нулик-Шахматист.
Волшебная практика
(Сева – Нулику)
Мы чуть не опоздали к началу рабочего дня. И все из-за Тани. На стройках, говорит, всегда пыль и грязь. Как бы мне, говорит, там не испортить любимого платья в оборочках. Наконец она появилась в комбинезоне и сапогах, на голове косынка, защитные очки. Прямо хоть снимай для газеты: «Знатная электросварщица Татьяна Н.».
Девчонок хлебом не корми – дай надеть какую-нибудь обновку. Я-то знаю, что не платья ей жалко, – просто захотелось покрасоваться в комбинезоне.
Ну и лицо у нее было, когда она увидела, что строительство больше похоже на ухоженную детскую площадку, где ребята заняты разными техническими играми – пилят, вырезают, конструируют… Только «игрушки» здесь были гораздо крупнее. Кружевные стрельчатые краны легко передвигали в воздухе разноцветные пластикатные детали.
К нам подошла нарядная латинская буква Эф. Она удивленно покосилась на Танин костюм:
– Хотите познакомиться с нашим экспериментальным строительством? Я вас провожу.
Первым долгом поинтересовались, что здесь строят.
– Да все, что угодно, – ответила Эф. – Дома, машины, бассейны…
Мы залюбовались высоким домом из разноцветных кубиков… Он вырос прямо на наших глазах – ни дать ни взять воздушный замок. И как же мне жалко стало, когда этот замок вдруг рассыпался, а на его месте возникло длинное двухэтажное здание с плоской крышей.
– Охота была строить, а потом разрушать! – подосадовал я.
Но Эф объяснила, что здесь не просто строят, а делают расчеты, которые тут же проверяют на практике. Я подумал, что если это и практика, то, во всяком случае, волшебная.
К нам подошел солидный карликан, Девятка.
– Здравствуйте, – обратился он к Эф. – Мы строим дом. Нам надо вырыть котлован для фундамента. Имеются три экскаватора. Первый может вырыть котлован за четыре часа, второй – за три, третий – за двенадцать. Через сколько часов будет готов котлован, если все три экскаватора работают одновременно? Это очень важно! Без этого я не смогу составить график строительства.
– Обратитесь к Главному Составителю, – ответила Эф.
Мы переглянулись.
– Нельзя ли и нам повидать Главного Составителя? – спросила Таня.
– А вы разве умеете решать уравнения? – поинтересовалась Эф.
Таня только покраснела. А я сказал напрямки, что мы об этом понятия не имеем.
– В таком случае вам придется начать с азов! Чтобы решить уравнение, следует прежде всего познакомиться с отрицательными числами.
Ну, это-то мы знали!
Эф облегченно вздохнула:
– Тогда я могу зачислить вас на строительство в качестве практикантов.
– И мы сейчас же начнем составлять уравнения? – брякнул я.
– О, до этого далеко. Сперва придется поработать в весовой.
Что ты скажешь? Опять отсрочка! В кармане лежит готовая задача, а ты, изволь радоваться, работай весовщиком!
Эф заметила, как мне досадно.
– В нашем деле лучше не торопиться, – сказала она, – это верный способ сэкономить время.
Ничего не поделаешь, пошли в весовую. Кстати, я давно не взвешивался. А в этой Аль-Джебре похудеешь!
Сева.
Весовая
(Таня – Нулику)
Что ни говори, Нулик, Аль-Джебра – удивительное государство! Вчера были в современном кафе, сегодня на сверхскоростном строительстве, и вот, не успели опомниться, как попали в гости к древнему восточному кудеснику.
Как ты себе представляешь весовую? Большой амбар, тяжелые неуклюжие весы. У весов – дюжий весовщик в брезентовом фартуке и рукавицах. А вокруг – мешки, ящики, корзины…
Так вот, ничего подобного не было. Нас ввели в полутемный сводчатый зал с тонкими витыми колоннами, такой высоченный, что потолка не видно. Будто над тобой ночное небо, только без луны и звезд. Вместо них в полумраке светятся какие-то закорючки и загогулины. Должно быть, восточные письмена. Посреди зала – большие старинные весы: тяжелые медные чашки, подвешенные на цепях к концам металлического коромысла. Весы тоже сплошь в закорючках и загогулинах. Они парят в воздухе, как большая диковинная птица. А между чашками, словно глазок радиоприемника, сверкает зеленый кошачий глаз.
– Садитесь, – шепнула Эф.
Мы оглянулись: ни стульев, ни кресел. Только несколько пестрых ковриков на полу. Эф уселась на одном из них, скрестив ноги. Мы сделали то же самое.
Бам! Что-то зазвенело – будто стукнулись два медных подноса, – и из темноты вынырнула фигура в длинном черном балахоне с желтыми разводами. На голове – белая шелковая башня. Называется «тюрбан». И борода у него тоже белая и шелковистая.
– Главный Весовщик, – шепнула Эф. – Следите за ним внимательно.
Весовщик приложил руку к сердцу и поклонился. Мы тоже приложили руки к сердцу и поклонились. Потом он взмахнул палочкой, и на каждой чашке весов появилось по Семерке. – обе в светящихся костюмах. Я так на них загляделась – даже не заметила, что в кошачьем глазке засветились две черточки. Эф легонько толкнула меня локтем:
– Это знак равенства. Семь равно семи, – негромко сказала она.
– Уж конечно, не восьми, – фыркнул Сева.
Но тут Весовщик снова взмахнул палочкой, и на правой чашке весов вместо Семерки оказалась Восьмерка. Чашка сразу опустилась. Мы взглянули на зеленый глазок: черточки знака равенства соединились слева и образовали уголок: 7 « 8.
– А вот знак неравенства. Он обозначает, что семь меньше восьми, – пояснила Эф.
Тут Восьмерка и Семерка поменялись местами. Теперь уже опустилась левая чашка. Черточки в кошачьем глазке снова задвигались и соединились правыми концами: 8 » 7.
– Понятно, – сказал Олег, – этот знак показывает, что восемь больше семи. Выходит, там, где палочки сходятся, стоит меньшее число, а там, где они расходятся, – большее.
– Детские игрушки, – проворчал Сева.
Весовщик не обратил внимания на его дерзость. Он взмахнул палочкой, и вот уже вместо чисел на весах засветились буквы: слева а + b, справа с. Между ними загорелся знак равенства: а + b = с.
Но в Севу точно бес вселился! Все ему не нравилось.
– Почему это, – придрался он, – Весовщик думает, что а + b равно с?
– А он вовсе и не думает – он требует этого, – ответила Эф. – Наверное, ему для какой-то задачи понадобилось, чтобы левая часть непременно была равна правой.
– А может быть, он все-таки ошибается? – заупрямился Сева. – Ведь под буквой можно подразумевать любое число! Вот я сейчас попрошу заменить все три буквы числами.
Он встал и подошел к Весовщику. Признаться, я очень испугалась: вдруг Весовщик рассердится и превратит Севу в какое-нибудь неравенство? Но он вовсе не рассердился. Наоборот, прижал руку к сердцу, и вот уже на левой чашке весов вместо буквы а стоит число Четыре, вместо b – Пять, а на другой чашке вместо с – Девятка: 4 + 5 = 9.
Но Сева не унимался.
– Нет, так не пойдет, уважаемый Главный Весовщик! Вы просто поставили те числа, которые вам выгодно. Позвольте, я сам!
Он назвал другие числа. Весовщик улыбнулся и снова пустил в ход свою палочку. Коромысло закачалось, в глазке зажегся знак неравенства. И мы увидели вот что: 6 + 7 « 20.
– Что я говорил! – закричал Сева.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13