желтый, зеленый, синий… Переставляем, переставляем… Второй день переставляем. О карнавале никто уж не заикается. Сделали 527 перестановок, а до конца – далеко.
Мы было хотели бросить, но тут появилась моя мама. Пришлось рассказать, в чем дело. А она давай смеяться! А когда отсмеялась, спросила:
– Неужели вы не знаете, что такое факториал?
– Знаю! – выпалил я, вспомнив ваше письмо. – Это оркестр восклицательных знаков.
Мама стала смеяться снова. А потом сказала, что факториалы могут, конечно, играть в оркестре. Но это не мешает им оставаться математическим знаком. Его ставят после какого-нибудь числа. И тогда он показывает, сколько чисел натурального ряда надо перемножить. Вот например: если написать 3! – значит, надо перемножить все числа натурального ряда от единицы до трех включительно: 3! = 1 * 2 * 3 = 6
А записывается это так, чтобы было покороче. Задумали перемножить числа от единицы до миллиона – пожалуйста: пишем 1000000! Коротко и ясно.
А еще мама сказала, что слово «факториал» произошло от латинского слова «фактор». По-нашему это «производящий действие». Вот факториал и производит перемножение чисел натурального ряда.
Ну, это я запомнил сразу. Одного только никак не мог понять: при чем здесь разноцветные береты?
– А вот при чем, – сказала мама. – Если вы хотите узнать, сколько раз надо переставить семь Нуликов в разноцветных беретах, чтобы сделать все возможные перестановки, надо вычислить факториал числа семь, то есть перемножить все числа натурального ряда от единицы до семи. Стали перемножать и получили большущее число: 7! = l * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 = 5040.
Пять тысяч сорок! Пять тысяч сорок перестановок! А мы сделали всего 527. Ужас!…
Хорошо, что в разноцветных беретах явились всего семь Нуликов. А что если бы двадцать семь? Пришлось бы вычислять факториал двадцати семи. Нет уж, дудки! Хотите – считайте сами. А я не буду.
Всего вам хорошего. С нетерпением жду новых сообщений.
Нулик-Факториал.
Репортаж со стадиона
(Сева – Нулику)
Внимание, внимание! Говорят все радиостанции Аль-Джебры! Начинаем репортаж с Центрального стадиона. Здесь сейчас будут выступать самые юные гимнасты страны. Слышите гул приветствий? Это на поле выбегают дошкольники – латинские буковки а в зеленых костюмах, за ними буковки b, – они в красном, и, наконец, с – в светло-желтом. Они образуют несколько рядов и замирают. Теперь каждая из них не просто буква. Здесь она называется одночлен.
Сверху нам открывается чудесное зрелище: пестрый прямоугольник из букв. Но вот грянул оркестр факториалов. Звучит вальс, и прямоугольник приходит в движение. Буквы делают шаг в сторону. Одни вправо, другие влево. Потом они берутся за руки, и вот уже перед нами десятки разноцветных пар: аb, ас, bc.
Зеленое с красным, желтое с зеленым, красное с желтым…
Юные гимнасты показывают действие, которое называется перемножением одночленов. Разумеется, никаких знаков умножения при этом нет. Каждый младенец в Аль-Джебре знает, что если две буквы стали рядом, значит, они помножены друг на друга.
Не подумайте только, что от перемножения буквы превратились в двучлены. Боже упаси! Это грубая ошибка! Они как были, так и остались одночленами.
Но вот идет новая перестановка. Теперь буковки объединяются по три: abc, acb, bac, bca, cab, cba.
Легко догадаться, что это тоже произведения и каждое из них опять-таки одночлен.
Умножение одночленов закончилось. Буквы снова заняли первоначальные позиции. Оркестр играет веселую полечку. На стадионе появляются знаки сложения и вычитания. Плюсы и минусы занимают места между буковками-одночленами: а + b, b + с, a – b, b – с.
Вот когда буквы из одночленов превратились в двучлены. Но не успели зрители как следует полюбоваться этой картиной, как буквы образуют уже другие суммы: a + b – c, a + c – b, а – b – c…
Теперь это уже трехчлены. Жаль, что в упражнениях принимают участие только а, b и с. Будь здесь другие буквы, мы увидели бы еще более сложные алгебраические суммы.
Внимание! Начинается новое упражнение. Забавно! Очень забавно! Знаки плюс стали между одинаковыми буквами. Сейчас сложились семь буковок а, и… о чудо! Вместо семи осталась только одна. Остальные шесть исчезли на наших глазах, а вместо них на поле появилось число Семь. Оно стало слева от буквы а, и весь стадион хором прочитал: «семь а».
Это волшебное алгебраическое упражнение называется приведением подобных. Оно возможно только тогда, когда все слагаемые действительно подобны, то есть совершенно одинаковы. Какая экономия места, времени и чернил! В Аль-Джебре очень любят экономию. В самом деле, к чему писать а + а + а + а + а + а + а, если можно записать коротко и ясно: 7а.
Семерка немного важничает. Оно и понятно: ведь она одна заменила шесть одинаковых букв и ей присвоено почетное звание числового коэффициента при букве а.
Ага! Другим буквам это тоже понравилось. Они просят плюсы занять места между ними. И вот число букв стремительно уменьшается. Вместо них на поле появляются числа-коэффициенты. Вместе с оставшимися буквами они образуют одночлены: 12b, 8а, 24abc, 3bс, и так далее.
Их зорко охраняют рыцари-коэффициенты.
Упражнениям нет конца! Только что на поле образовался многочлен abc + abc + abc + abc + abc + abc, как мигом произошло приведение подобных и появился верный рыцарь – коэффициент шесть: 6abc.
Но что это? Оркестр замолкает… Понимаю: сейчас произойдет перегруппировка и начнется новое упражнение. В самом деле: минусы и плюсы покидают поле под дружные аплодисменты. Буковки снова образовали пестрый прямоугольник. Но теперь в первом ряду стоят буквы в зеленом, во втором – в красном, в третьем – в светло-желтом. Они повторяют самое первое упражнение – перемножение одночленов. Только теперь все сомножители одинаковые. И опять происходят чудеса. Как только две одинаковые буквы перемножатся, одна из них сейчас же исчезает, а на поле появляется число Два. Буква протягивает руку, и Двойка ловко вскакивает к ней на ладошку: а.
Вы думаете, число Два называется коэффициентом? Ничего подобного! Это показатель степени. Вы уже с ним знакомы. Ведь упражнение, которое сейчас проделывают буквы, – это возведение в степень!
Вот перемножились три b, и получилось Бэ в кубе: b.
Десять с, перемножившись, образовали одночлен – Цэ в десятой степени: с.
Одна комбинация сменяется другой. Перед нами возникают: a, b, c, a
И вот появляется Цэ в степени эн: с.
Это уже что-то новое. Правда, только на первый взгляд. Мы ведь уже знаем, что буквами обозначаются числа. Цэ в энной степени означает Цэ, возведенное в любую степень. Подставьте вместо эн любое число – и ответ готов.
Музыканты после небольшой паузы снова заиграли вальс. Начались самые пластичные, самые замысловатые гимнастические упражнения: умножение многочленов на одночлен. Вот уже образовались двучлены: а + b, а + с, потом трехчлены: а + b + с и много других. Сейчас они начнут умножаться на одночлены… Но в чем дело? Произошла какая-то заминка. Музыка смолкла. Ага! Теперь все ясно: оказывается, многочлены не могут ни на что умножаться, если их предварительно не заключить в скобки. Иначе может выйти ужасная путаница: никто не узнает, где тут одночлен, а где многочлен.
На поле появляются круглые скобки. Они становятся по бокам каждого многочлена. Ну вот, все в порядке, можно продолжать.
Начинается представление, под названием «Хитрый обманщик».
На поле появляется выражение: (а + b)с.
Цэ стучится в скобку, как в дверь.
Цэ. Хозяева дома?
А+Бэ (вместе). Да! А кто это?
Цэ. Это я, Цэ.
A+Бэ. А с вами никого нет?
Цэ (невинным голосом). Никого.
А+Бэ. Тогда входите.
Скобки открываются, Цэ входит и… раздваивается. Одно Цэ подходит к А, другое – к Бэ. И вот мы уже видим новую сумму: ас + bс.
Все негодуют. Свист, крики:
– Гоните обманщика!
А+Бэ (вместе). На помощь! Спасите!!
Вбегают дружинники и выносят отчаянно сопротивляющихся Цэ за скобки. Здесь обе буквы снова превращаются в одно Цэ.
Обманщик наказан. Справедливость торжествует. На поле снова красуется прежнее выражение: (а + b) с.
Пьеса имеет шумный успех. Артистов вызывают много раз, точнее, эн раз – n раз.
Сказав так, я никого не обману, и дружинникам не придется выносить меня за скобки.
Дорогие радиослушатели! Как видно, эти упражнения никогда не кончатся, а я уже устал. Очень прошу вас, возьмите карандаши и бумагу и придумайте сами пример на перемножение многочленов.
До свидания.
Репортаж с Центрального стадиона Аль-Джебры вел
Сева.
Пекари-жонглеры
(Снова Сева – Нулику)
Ну как, Нулик, здорово у меня вышло? Конечно, у того комментатора, который вел передачу со стадиона, получалось лучше. А по мне сойдет и так.
А сейчас я тебе своими словами расскажу, что было дальше.
По радио объявили: «Следующий номер нашей программы – Веселые Пекари! Высший класс жонглирования! Перемножение и деление степеней!»
На зеленое поле выбежали три буквы Цэ. Все они были в белых поварских колпаках, у каждой палка, а на палке кольца – похоже на детские пирамидки. Только там кольца разноцветные, одно другого меньше, а здесь одинаковые, золотистые, как толстенькие поджаристые бублики. У одного пекаря – два бублика, у другого – три. У третьего колец на палке не было.
Заиграла музыка.
Первый пекарь снял с палки верхнее кольцо и ловко метнул. Кольцо очертило в воздухе плавную дугу и угодило на пустую палку третьего пекаря. Вслед за первым кольцом туда же полетело второе. То же самое сделал другой пекарь, и вот уже у третьего пекаря на палке все пять колец, а первые два пекаря остались ни с чем.
Потом жонглеры перестроились. Теперь у одного на палке было три кольца, у другого – шесть, у третьего опять ничего. Снова заиграла музыка, замелькали кольца. И опять у третьего пекаря на палке – девять бубликов, а у других – ничего.
– Чистая работа, – сказал Дэ, – ни одно колечко не упало.
– Работа-то чистая, но при чем здесь умножение степеней? – спросил я. – Не понимаю.
– А я понимаю, – похвасталась Таня. – При перемножении степеней показатели надо складывать: с * с = с = с.
– Совершенно правильно, – подтвердил Дэ. – Число колец на палке обозначает показатель степени.
– Пусть, – сказал я, – а мне все равно непонятно.
– Поглядите на поле, – предложил Дэ, – тогда уж обязательно поймете.
Я поглядел и увидел, что два Цэ (у одного на палке три кольца, у другого – шесть) стали рядом и между ними появился знак умножения – точка. И тут на поле выбежали еще девять Цэ. У этих на палках было только по одному кольцу. Трое из них встали на место Цэ с тремя кольцами, а шестеро заменили Цэ с шестью кольцами. Тогда пекарь с пустой палкой отделился от них знаком равенства и стал следом за ними. А первые два пекаря отдали ему свои кольца и получилось вот что:
На этот раз и вправду все было понятно: Цэ в третьей степени, умноженное на Цэ в шестой, – это все равно, что Цэ, умноженное само на себя девять раз, или попросту Цэ в девятой степени.
Потом началось деление степеней. На поле выкатили двухэтажную тележку. На верхнюю площадку вскочил жонглер с тремя кольцами на палке – числитель, на нижнюю – жонглер с двумя кольцами – знаменатель.
Снова заиграла музыка, и, можешь себе представить, пекари стали снимать с палок кольца и с аппетитом их есть. Оказалось, это и впрямь самые настоящие бублики. И очень вкусные. С маком. Нас потом угостили.
Так вот, Цэ стали лопать свои бублики: числитель съест один, и знаменатель – один, числитель – один, и знаменатель – один… Когда Цэ-знаменатель съел все свои бублики, он исчез. На площадке осталась только его палка.
А Цэ-числитель – у него на палке еще болтался один бублик – продолжал стоять наверху как ни в чем не бывало.
– Ясно, – сказал Олег. – Деление – действие, обратное умножению. Значит, показатели степеней надо при этом не складывать, а вычитать.
– Верно! – поддержала Таня. – Из трех бубликов отняли два. В знаменателе очутилась палка-единица. А в числителе – Цэ с одним бубликом, то есть Цэ в первой степени.
– Первая степень не пишется, – вспомнил я. – Стало быть, просто Цэ:
– Вот вам и частное от деления двух степеней, – пояснил Дэ. – Посмотрим теперь, что будет, если Цэ в квадрате разделить на Цэ в кубе.
Теперь на верхней площадке стоял Цэ-числитель с двумя бубликами, а на нижней Цэ-знаменатель с тремя. Опять они принялись уплетать, но теперь уже без бубликов оказался Цэ-числитель. Он исчез, оставив на площадке свою палку. А Цэ-знаменатель, у которого оставался один бублик, продолжал стоять на площадке.
– Видите, – сказал Дэ, – частное от деления равно единице, деленной на Цэ, или одной цэтой, как у нас говорят.
– Позвольте, – вмешался Олег, – при делении степеней показатели вычитаются. Значит, это можно изобразить так: с/с = с = с
– Ой! – испугалась Таня. – У тебя получилась отрицательная степень!
– Вполне законно, – возразил Дэ. – Одна цэтая – это то же самое, что Цэ в минус первой степени.
Вон оно что! Выходит, если целое число возвести в отрицательную степень, оно превращается в дробь:
с = (1/с) = 1/с
с = (1/с) = 1/с
с = (1/с) = 1/с
и так далее.
Слышишь, Нулик? Ты, помнится, хотел знать, отчего гирька твоего силомера не желала подниматься выше единицы? Вот тебе и ответ. Возвести пять в минус вторую степень – все равно что возвести одну пятую в плюс вторую степень:
5 = (1/5) = 1/25
Иначе и быть не может. Ведь у отрицательных чисел все наоборот! И чем большее число возводишь в отрицательную степень, тем меньше получается дробь. Потому-то тысяча, возведенная в минус третью степень, оказалась равной одной миллиардной:
(1000) = (1/1000) = 1/1 000 000 000 = 0,000 000 001
А теперь слушай дальше. В числителе и знаменателе очутились Цэ с тремя бубликами.
Каждый Цэ съел свои бублики и скрылся. На площадках остались только их палки.
– Вот так фокус! – не удержался я.
– Ну, что вы! – скромно сказал Дэ. – Это просто деление двух одинаковых степеней с равными основаниями. И получается при этом единица, деленная на единицу.
– Или просто единица, – добавила Таня.
– Уж конечно! – ввернул я. – Подумаешь, открытие! Всякое число, деленное само на себя, равно единице. Двадцать, деленное на двадцать, равно единице; тридцать, деленное на тридцать, равно единице; Цэ в третьей степени, деленное на Цэ в третьей степени, равно единице. Об этом и говорить не стоит.
– Ты думаешь? – возразил Олег. – А по-моему, стоит.
– Отчего же?
– Оттого, что теперь я знаю, почему любое число в нулевой степени равно единице.
– Да ну?! Как это ты догадался?
– Очень просто: c: c = 1, но с: с = c = с.
Следовательно: с = 1.
Ну и голова у этого Олега! Жаль только, что он до этого не додумался раньше. Не пришлось бы мне срамиться там, у силомера. Впрочем, жалеть об этом не время. Письмо у меня и так получилось очень длинное. Но ты уж потерпи. Осталось немного.
Пекари – жонглеры убежали. А вместо них на поле вышли… Нет, нипочем тебе не догадаться кто! На поле вышли Черные Маски. Мы-то думали, что Черная Маска одна, а появилась целая армия. Во всяком случае, никак не меньше ста. И тут меня что-то кольнуло. Это проснулся в кармане талисман, о котором мы, сказать по чести, совсем забыли. Уж не хочет ли он намекнуть, что и наша Черная Маска тоже здесь? Но как ее найдешь? Ведь все они похожи друг на друга как две капли воды… вернее, как две капли чернил. Добро бы еще здесь был Пончик. Но он, как назло, куда-то запропал.
Только я это подумал, как по рядам вихрем пронеслось что-то белое, мохнатое. Зрители шарахнулись. Секунда – и Пончик врезался в самую гущу растерявшихся артистов. Тут один из них как побежит! А Пончик – за ним!
– Держите, держите! – заорал я и помчался следом. Таня и Олег – за мной.
Что было! Все перепугались, вскочили. У выходов началась давка. Не знаю, что бы мы делали без стручка. Он снова выскользнул из моего кармана и полетел впереди, указывая дорогу. Скоро мы очутились у совершенно свободного запасного выхода, а там и на улице.
Я хотел спрятать стручок, а он все летел, летел, пока не привел нас к какому-то красивому зданию.
У широких стеклянных дверей сидел Пончик. Он тяжело дышал и смотрел на нас виноватыми мокрыми глазами. А над дверьми поблескивала большая треугольная вывеска: «Абракадабра». Чувствуешь?
Сева.
Лично Севе от Нулика
Уважаемый радиокомментатор! Большое Вам спасибо за репортаж. Если бы не подпись в конце, я бы ни за что не догадался, что он невзаправдашний.
А сейчас послушайте мой радиорепортаж.
Наша школа выросла. Теперь в ней учатся не только Нулики, но и другие карликанские малыши-цифры. Им очень понравилась алгебраическая гимнастика. Но так как букв у нас нет, решили проделать ее с цифрами.
Пять Двоек взяли четыре знака сложения и поставили их между собой: 2 + 2 + 2 + 2 + 2.
Потом четыре Двойки убежали. Осталась одна, а около нее встал коэффициент Пять: 52.
Тогда взрослые карликане подняли нас на смех.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Мы было хотели бросить, но тут появилась моя мама. Пришлось рассказать, в чем дело. А она давай смеяться! А когда отсмеялась, спросила:
– Неужели вы не знаете, что такое факториал?
– Знаю! – выпалил я, вспомнив ваше письмо. – Это оркестр восклицательных знаков.
Мама стала смеяться снова. А потом сказала, что факториалы могут, конечно, играть в оркестре. Но это не мешает им оставаться математическим знаком. Его ставят после какого-нибудь числа. И тогда он показывает, сколько чисел натурального ряда надо перемножить. Вот например: если написать 3! – значит, надо перемножить все числа натурального ряда от единицы до трех включительно: 3! = 1 * 2 * 3 = 6
А записывается это так, чтобы было покороче. Задумали перемножить числа от единицы до миллиона – пожалуйста: пишем 1000000! Коротко и ясно.
А еще мама сказала, что слово «факториал» произошло от латинского слова «фактор». По-нашему это «производящий действие». Вот факториал и производит перемножение чисел натурального ряда.
Ну, это я запомнил сразу. Одного только никак не мог понять: при чем здесь разноцветные береты?
– А вот при чем, – сказала мама. – Если вы хотите узнать, сколько раз надо переставить семь Нуликов в разноцветных беретах, чтобы сделать все возможные перестановки, надо вычислить факториал числа семь, то есть перемножить все числа натурального ряда от единицы до семи. Стали перемножать и получили большущее число: 7! = l * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 = 5040.
Пять тысяч сорок! Пять тысяч сорок перестановок! А мы сделали всего 527. Ужас!…
Хорошо, что в разноцветных беретах явились всего семь Нуликов. А что если бы двадцать семь? Пришлось бы вычислять факториал двадцати семи. Нет уж, дудки! Хотите – считайте сами. А я не буду.
Всего вам хорошего. С нетерпением жду новых сообщений.
Нулик-Факториал.
Репортаж со стадиона
(Сева – Нулику)
Внимание, внимание! Говорят все радиостанции Аль-Джебры! Начинаем репортаж с Центрального стадиона. Здесь сейчас будут выступать самые юные гимнасты страны. Слышите гул приветствий? Это на поле выбегают дошкольники – латинские буковки а в зеленых костюмах, за ними буковки b, – они в красном, и, наконец, с – в светло-желтом. Они образуют несколько рядов и замирают. Теперь каждая из них не просто буква. Здесь она называется одночлен.
Сверху нам открывается чудесное зрелище: пестрый прямоугольник из букв. Но вот грянул оркестр факториалов. Звучит вальс, и прямоугольник приходит в движение. Буквы делают шаг в сторону. Одни вправо, другие влево. Потом они берутся за руки, и вот уже перед нами десятки разноцветных пар: аb, ас, bc.
Зеленое с красным, желтое с зеленым, красное с желтым…
Юные гимнасты показывают действие, которое называется перемножением одночленов. Разумеется, никаких знаков умножения при этом нет. Каждый младенец в Аль-Джебре знает, что если две буквы стали рядом, значит, они помножены друг на друга.
Не подумайте только, что от перемножения буквы превратились в двучлены. Боже упаси! Это грубая ошибка! Они как были, так и остались одночленами.
Но вот идет новая перестановка. Теперь буковки объединяются по три: abc, acb, bac, bca, cab, cba.
Легко догадаться, что это тоже произведения и каждое из них опять-таки одночлен.
Умножение одночленов закончилось. Буквы снова заняли первоначальные позиции. Оркестр играет веселую полечку. На стадионе появляются знаки сложения и вычитания. Плюсы и минусы занимают места между буковками-одночленами: а + b, b + с, a – b, b – с.
Вот когда буквы из одночленов превратились в двучлены. Но не успели зрители как следует полюбоваться этой картиной, как буквы образуют уже другие суммы: a + b – c, a + c – b, а – b – c…
Теперь это уже трехчлены. Жаль, что в упражнениях принимают участие только а, b и с. Будь здесь другие буквы, мы увидели бы еще более сложные алгебраические суммы.
Внимание! Начинается новое упражнение. Забавно! Очень забавно! Знаки плюс стали между одинаковыми буквами. Сейчас сложились семь буковок а, и… о чудо! Вместо семи осталась только одна. Остальные шесть исчезли на наших глазах, а вместо них на поле появилось число Семь. Оно стало слева от буквы а, и весь стадион хором прочитал: «семь а».
Это волшебное алгебраическое упражнение называется приведением подобных. Оно возможно только тогда, когда все слагаемые действительно подобны, то есть совершенно одинаковы. Какая экономия места, времени и чернил! В Аль-Джебре очень любят экономию. В самом деле, к чему писать а + а + а + а + а + а + а, если можно записать коротко и ясно: 7а.
Семерка немного важничает. Оно и понятно: ведь она одна заменила шесть одинаковых букв и ей присвоено почетное звание числового коэффициента при букве а.
Ага! Другим буквам это тоже понравилось. Они просят плюсы занять места между ними. И вот число букв стремительно уменьшается. Вместо них на поле появляются числа-коэффициенты. Вместе с оставшимися буквами они образуют одночлены: 12b, 8а, 24abc, 3bс, и так далее.
Их зорко охраняют рыцари-коэффициенты.
Упражнениям нет конца! Только что на поле образовался многочлен abc + abc + abc + abc + abc + abc, как мигом произошло приведение подобных и появился верный рыцарь – коэффициент шесть: 6abc.
Но что это? Оркестр замолкает… Понимаю: сейчас произойдет перегруппировка и начнется новое упражнение. В самом деле: минусы и плюсы покидают поле под дружные аплодисменты. Буковки снова образовали пестрый прямоугольник. Но теперь в первом ряду стоят буквы в зеленом, во втором – в красном, в третьем – в светло-желтом. Они повторяют самое первое упражнение – перемножение одночленов. Только теперь все сомножители одинаковые. И опять происходят чудеса. Как только две одинаковые буквы перемножатся, одна из них сейчас же исчезает, а на поле появляется число Два. Буква протягивает руку, и Двойка ловко вскакивает к ней на ладошку: а.
Вы думаете, число Два называется коэффициентом? Ничего подобного! Это показатель степени. Вы уже с ним знакомы. Ведь упражнение, которое сейчас проделывают буквы, – это возведение в степень!
Вот перемножились три b, и получилось Бэ в кубе: b.
Десять с, перемножившись, образовали одночлен – Цэ в десятой степени: с.
Одна комбинация сменяется другой. Перед нами возникают: a, b, c, a
И вот появляется Цэ в степени эн: с.
Это уже что-то новое. Правда, только на первый взгляд. Мы ведь уже знаем, что буквами обозначаются числа. Цэ в энной степени означает Цэ, возведенное в любую степень. Подставьте вместо эн любое число – и ответ готов.
Музыканты после небольшой паузы снова заиграли вальс. Начались самые пластичные, самые замысловатые гимнастические упражнения: умножение многочленов на одночлен. Вот уже образовались двучлены: а + b, а + с, потом трехчлены: а + b + с и много других. Сейчас они начнут умножаться на одночлены… Но в чем дело? Произошла какая-то заминка. Музыка смолкла. Ага! Теперь все ясно: оказывается, многочлены не могут ни на что умножаться, если их предварительно не заключить в скобки. Иначе может выйти ужасная путаница: никто не узнает, где тут одночлен, а где многочлен.
На поле появляются круглые скобки. Они становятся по бокам каждого многочлена. Ну вот, все в порядке, можно продолжать.
Начинается представление, под названием «Хитрый обманщик».
На поле появляется выражение: (а + b)с.
Цэ стучится в скобку, как в дверь.
Цэ. Хозяева дома?
А+Бэ (вместе). Да! А кто это?
Цэ. Это я, Цэ.
A+Бэ. А с вами никого нет?
Цэ (невинным голосом). Никого.
А+Бэ. Тогда входите.
Скобки открываются, Цэ входит и… раздваивается. Одно Цэ подходит к А, другое – к Бэ. И вот мы уже видим новую сумму: ас + bс.
Все негодуют. Свист, крики:
– Гоните обманщика!
А+Бэ (вместе). На помощь! Спасите!!
Вбегают дружинники и выносят отчаянно сопротивляющихся Цэ за скобки. Здесь обе буквы снова превращаются в одно Цэ.
Обманщик наказан. Справедливость торжествует. На поле снова красуется прежнее выражение: (а + b) с.
Пьеса имеет шумный успех. Артистов вызывают много раз, точнее, эн раз – n раз.
Сказав так, я никого не обману, и дружинникам не придется выносить меня за скобки.
Дорогие радиослушатели! Как видно, эти упражнения никогда не кончатся, а я уже устал. Очень прошу вас, возьмите карандаши и бумагу и придумайте сами пример на перемножение многочленов.
До свидания.
Репортаж с Центрального стадиона Аль-Джебры вел
Сева.
Пекари-жонглеры
(Снова Сева – Нулику)
Ну как, Нулик, здорово у меня вышло? Конечно, у того комментатора, который вел передачу со стадиона, получалось лучше. А по мне сойдет и так.
А сейчас я тебе своими словами расскажу, что было дальше.
По радио объявили: «Следующий номер нашей программы – Веселые Пекари! Высший класс жонглирования! Перемножение и деление степеней!»
На зеленое поле выбежали три буквы Цэ. Все они были в белых поварских колпаках, у каждой палка, а на палке кольца – похоже на детские пирамидки. Только там кольца разноцветные, одно другого меньше, а здесь одинаковые, золотистые, как толстенькие поджаристые бублики. У одного пекаря – два бублика, у другого – три. У третьего колец на палке не было.
Заиграла музыка.
Первый пекарь снял с палки верхнее кольцо и ловко метнул. Кольцо очертило в воздухе плавную дугу и угодило на пустую палку третьего пекаря. Вслед за первым кольцом туда же полетело второе. То же самое сделал другой пекарь, и вот уже у третьего пекаря на палке все пять колец, а первые два пекаря остались ни с чем.
Потом жонглеры перестроились. Теперь у одного на палке было три кольца, у другого – шесть, у третьего опять ничего. Снова заиграла музыка, замелькали кольца. И опять у третьего пекаря на палке – девять бубликов, а у других – ничего.
– Чистая работа, – сказал Дэ, – ни одно колечко не упало.
– Работа-то чистая, но при чем здесь умножение степеней? – спросил я. – Не понимаю.
– А я понимаю, – похвасталась Таня. – При перемножении степеней показатели надо складывать: с * с = с = с.
– Совершенно правильно, – подтвердил Дэ. – Число колец на палке обозначает показатель степени.
– Пусть, – сказал я, – а мне все равно непонятно.
– Поглядите на поле, – предложил Дэ, – тогда уж обязательно поймете.
Я поглядел и увидел, что два Цэ (у одного на палке три кольца, у другого – шесть) стали рядом и между ними появился знак умножения – точка. И тут на поле выбежали еще девять Цэ. У этих на палках было только по одному кольцу. Трое из них встали на место Цэ с тремя кольцами, а шестеро заменили Цэ с шестью кольцами. Тогда пекарь с пустой палкой отделился от них знаком равенства и стал следом за ними. А первые два пекаря отдали ему свои кольца и получилось вот что:
На этот раз и вправду все было понятно: Цэ в третьей степени, умноженное на Цэ в шестой, – это все равно, что Цэ, умноженное само на себя девять раз, или попросту Цэ в девятой степени.
Потом началось деление степеней. На поле выкатили двухэтажную тележку. На верхнюю площадку вскочил жонглер с тремя кольцами на палке – числитель, на нижнюю – жонглер с двумя кольцами – знаменатель.
Снова заиграла музыка, и, можешь себе представить, пекари стали снимать с палок кольца и с аппетитом их есть. Оказалось, это и впрямь самые настоящие бублики. И очень вкусные. С маком. Нас потом угостили.
Так вот, Цэ стали лопать свои бублики: числитель съест один, и знаменатель – один, числитель – один, и знаменатель – один… Когда Цэ-знаменатель съел все свои бублики, он исчез. На площадке осталась только его палка.
А Цэ-числитель – у него на палке еще болтался один бублик – продолжал стоять наверху как ни в чем не бывало.
– Ясно, – сказал Олег. – Деление – действие, обратное умножению. Значит, показатели степеней надо при этом не складывать, а вычитать.
– Верно! – поддержала Таня. – Из трех бубликов отняли два. В знаменателе очутилась палка-единица. А в числителе – Цэ с одним бубликом, то есть Цэ в первой степени.
– Первая степень не пишется, – вспомнил я. – Стало быть, просто Цэ:
– Вот вам и частное от деления двух степеней, – пояснил Дэ. – Посмотрим теперь, что будет, если Цэ в квадрате разделить на Цэ в кубе.
Теперь на верхней площадке стоял Цэ-числитель с двумя бубликами, а на нижней Цэ-знаменатель с тремя. Опять они принялись уплетать, но теперь уже без бубликов оказался Цэ-числитель. Он исчез, оставив на площадке свою палку. А Цэ-знаменатель, у которого оставался один бублик, продолжал стоять на площадке.
– Видите, – сказал Дэ, – частное от деления равно единице, деленной на Цэ, или одной цэтой, как у нас говорят.
– Позвольте, – вмешался Олег, – при делении степеней показатели вычитаются. Значит, это можно изобразить так: с/с = с = с
– Ой! – испугалась Таня. – У тебя получилась отрицательная степень!
– Вполне законно, – возразил Дэ. – Одна цэтая – это то же самое, что Цэ в минус первой степени.
Вон оно что! Выходит, если целое число возвести в отрицательную степень, оно превращается в дробь:
с = (1/с) = 1/с
с = (1/с) = 1/с
с = (1/с) = 1/с
и так далее.
Слышишь, Нулик? Ты, помнится, хотел знать, отчего гирька твоего силомера не желала подниматься выше единицы? Вот тебе и ответ. Возвести пять в минус вторую степень – все равно что возвести одну пятую в плюс вторую степень:
5 = (1/5) = 1/25
Иначе и быть не может. Ведь у отрицательных чисел все наоборот! И чем большее число возводишь в отрицательную степень, тем меньше получается дробь. Потому-то тысяча, возведенная в минус третью степень, оказалась равной одной миллиардной:
(1000) = (1/1000) = 1/1 000 000 000 = 0,000 000 001
А теперь слушай дальше. В числителе и знаменателе очутились Цэ с тремя бубликами.
Каждый Цэ съел свои бублики и скрылся. На площадках остались только их палки.
– Вот так фокус! – не удержался я.
– Ну, что вы! – скромно сказал Дэ. – Это просто деление двух одинаковых степеней с равными основаниями. И получается при этом единица, деленная на единицу.
– Или просто единица, – добавила Таня.
– Уж конечно! – ввернул я. – Подумаешь, открытие! Всякое число, деленное само на себя, равно единице. Двадцать, деленное на двадцать, равно единице; тридцать, деленное на тридцать, равно единице; Цэ в третьей степени, деленное на Цэ в третьей степени, равно единице. Об этом и говорить не стоит.
– Ты думаешь? – возразил Олег. – А по-моему, стоит.
– Отчего же?
– Оттого, что теперь я знаю, почему любое число в нулевой степени равно единице.
– Да ну?! Как это ты догадался?
– Очень просто: c: c = 1, но с: с = c = с.
Следовательно: с = 1.
Ну и голова у этого Олега! Жаль только, что он до этого не додумался раньше. Не пришлось бы мне срамиться там, у силомера. Впрочем, жалеть об этом не время. Письмо у меня и так получилось очень длинное. Но ты уж потерпи. Осталось немного.
Пекари – жонглеры убежали. А вместо них на поле вышли… Нет, нипочем тебе не догадаться кто! На поле вышли Черные Маски. Мы-то думали, что Черная Маска одна, а появилась целая армия. Во всяком случае, никак не меньше ста. И тут меня что-то кольнуло. Это проснулся в кармане талисман, о котором мы, сказать по чести, совсем забыли. Уж не хочет ли он намекнуть, что и наша Черная Маска тоже здесь? Но как ее найдешь? Ведь все они похожи друг на друга как две капли воды… вернее, как две капли чернил. Добро бы еще здесь был Пончик. Но он, как назло, куда-то запропал.
Только я это подумал, как по рядам вихрем пронеслось что-то белое, мохнатое. Зрители шарахнулись. Секунда – и Пончик врезался в самую гущу растерявшихся артистов. Тут один из них как побежит! А Пончик – за ним!
– Держите, держите! – заорал я и помчался следом. Таня и Олег – за мной.
Что было! Все перепугались, вскочили. У выходов началась давка. Не знаю, что бы мы делали без стручка. Он снова выскользнул из моего кармана и полетел впереди, указывая дорогу. Скоро мы очутились у совершенно свободного запасного выхода, а там и на улице.
Я хотел спрятать стручок, а он все летел, летел, пока не привел нас к какому-то красивому зданию.
У широких стеклянных дверей сидел Пончик. Он тяжело дышал и смотрел на нас виноватыми мокрыми глазами. А над дверьми поблескивала большая треугольная вывеска: «Абракадабра». Чувствуешь?
Сева.
Лично Севе от Нулика
Уважаемый радиокомментатор! Большое Вам спасибо за репортаж. Если бы не подпись в конце, я бы ни за что не догадался, что он невзаправдашний.
А сейчас послушайте мой радиорепортаж.
Наша школа выросла. Теперь в ней учатся не только Нулики, но и другие карликанские малыши-цифры. Им очень понравилась алгебраическая гимнастика. Но так как букв у нас нет, решили проделать ее с цифрами.
Пять Двоек взяли четыре знака сложения и поставили их между собой: 2 + 2 + 2 + 2 + 2.
Потом четыре Двойки убежали. Осталась одна, а около нее встал коэффициент Пять: 52.
Тогда взрослые карликане подняли нас на смех.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13