– Кстати, – добавил он, – сейчас в нашем кафе начнется выступление знаменитого фокусника. Хотите посмотреть?
Не стоило и спрашивать. Кто же откажется от такого удовольствия? И можешь себе представить, на эстраде появился тот самый фокусник, который выступал в карликанском цирке! Мы обрадовались ему, как родному. Сейчас он станет делить нуль на тысячу частей, покажет Великана из Бесконечности… Но все было иначе.

Фокусник поднял руку, и в ней неизвестно откуда появилась длинная палка. Потом он выпустил палку, но она не упала, а продолжала лежать в воздухе, как на столе. Фокусник предложил публике убедиться, что палка не какая-нибудь фальшивая, а выточенная из цельного куска дерева.
Первым на эстраду выскочил Сева, за ним – еще несколько посетителей. Все они подтвердили, что никакого обмана нет.
Тогда фокусник взмахнул рукой, и вот уже на палке, как воробьи на проводах, уселись его ассистенты-числа.
– Обратите внимание, – сказал фокусник, – числа расположены на палке в определенном порядке. Каждое, начиная слева, больше предыдущего на одно и то же число.
– На два! – крикнули из зала.
– Правильно, на два.
Фокусник снова взмахнул рукой, и на палке появились другие числа:

– Попрошу уважаемую публику ответить: какой порядок в этом ряду чисел?
– Каждое число больше предыдущего на пять, – сказала я.
– Благодарю вас, – поклонился фокусник. – Так вот, должен вам сделать потрясающее сообщение: ряд чисел, где каждое последующее число больше предыдущего на постоянную величину, называется ар-р-р-ифметической пр-р-р-ро-грессией. Но это еще не все. Эта постоянная величина называется разностью прогрессии. И более того: сами числа называются членами прогрессии!
– Ага! Значит, в первом случае разность прогрессии была равна двум, а во втором – пяти, – сказал кто-то.
– Браво! – воскликнул фокусник.
Сева толкнул меня локтем:
– Все это хорошо, но когда начнутся фокусы?
Фокусник, наверное, услышал его слова. Он лукаво посмотрел на Севу и снова взмахнул рукой. И вдруг палка, толстая палка, выточенная из цельного куска дерева, согнулась посредине и концы ее сошлись. Теперь числа, сидевшие, на равном расстоянии от концов, оказались точно друг против друга: три – против сорока восьми, восемь – против сорока трех, и так далее.
– Попрошу сложить любую пару чисел, – предложил фокусник.
Мы сложили: три и сорок восемь. Получилось пятьдесят один. Затем восемь и сорок три. Снова пятьдесят один. Тринадцать плюс тридцать восемь… Что такое? Опять пятьдесят один! И восемнадцать плюс тридцать три, и двадцать три плюс двадцать восемь – все они в сумме давали одно и то же число: пятьдесят один.
– Вот это уже фокус! – закричал Сева.
– Где фокус? – развел руками фокусник. – Это вы называете фокусом? Ха-ха-ха! Обыкновеннейшее алгебраическое правило.
– Но в чем же тогда фокус? – хорохорился Сева.
Фокусник небрежно разогнул палку, словно она была из бумаги.

– Попробуйте положить палку в воздухе, согнуть ее пополам, потом снова разогнуть и вы не станете задавать мне такие вопросы!
Все засмеялись, захлопали, а фокусник продолжал: – Предлагаю сделать небольшой опыт. Кто из вас быстрее сложит все числа этой арифметической прогрессии? Раз, два, три – начали!
В зале зашептались, зашуршала бумага, задвигались карандаши. Мы тоже стали складывать:
3 + 8 + 13 + 18 + 23 + 28 + 33 + 38 + 43 + 48.
Сначала складывали в уме, потом – столбиком. От волнения все время сбивались. Нам очень хотелось сосчитать быстрее. Но почему-то получалось медленно. Под конец чуть не подрались.
Но тут фокусник поднял руку:
– Стоп! Никуда не годится, слишком долго считаете. Можно гораздо быстрее. – И он снова согнул палку пополам. – Попрошу убедиться! Перед вами пять пар чисел. Сумма каждой – пятьдесят один, а сумма пяти пар в пять раз больше. Беру пятьдесят один, умножаю на пять. И что я получаю? Я получаю двести пятьдесят пять! А теперь попробуйте сами. Желающие, проходите, проходите, не стесняйтесь!
Мне уж давно хотелось принять участие в опытах, да как-то неловко было. Но Олег подтолкнул меня, и я очутилась на эстраде.

Теперь на палке были уже другие числа:
– Прошу найти сумму этих чисел, – сказал фокусник. – Быстренько, быстренько!
– В прогрессии восемь членов, – сказала я, – значит, четыре пары. Сумма крайних членов – сорок два. Умножаю сорок два на четыре. Получается сто шестьдесят восемь. Правильно?
– Абсолютно правильно! – подтвердил фокусник. – Сто шестьдесят восемь!
– Но позвольте, – вмешался Сева, – почему вы в Аль-Джебре решаете карликанские задачи? Это же простая арифметика!
– Вот именно простая. Применяя такой способ, мы упрощаем решение. Обратите внимание: упрощение – один из главных девизов Аль-Джебры. Другой ее девиз – обобщение. Правило, которое я сейчас вам показал, справедливо для любой арифметической прогрессии. И следовательно…
– Следовательно, его можно выразить буквами, – перебил Олег.
– Великолепно! – воскликнул фокусник. – Вы попали в самую точку. Итак, размещаю на палке не числа, а буквы. Каждый член прогрессии обозначаю буквой а и снабжаю ее порядковым числом, чтобы не было никакой путаницы. Такое число называется индексом и ставится чуть ниже и справа от буквы.
Фокусник подал знак, и буквы а в сопровождении индексов быстро расселись на палке:
– Внимание! Приступаю к выводу формулы. В этом ряду под а и а можно подразумевать любые числа.
– Ну конечно, – сказал Сева, – так же как и под всеми остальными.

– Думайте, думайте, молодой человек! – возразил фокусник. – Ведь все эти а – члены одной арифметической прогрессии. Поэтому произвольно могут быть взяты только первые два а. Величины остальных зависят от разности между двумя первыми. Итак, обозначаю разность буквой d. Ведь разность прогрессии постоянна. Тогда a = а + d; а = а + d; a = a + d.
И так до конца прогрессии. Понятно?
– Понятно, понятно! – закричали все.
– Продолжаю! Надеюсь, все заметили, что в этой прогрессии восемь членов. Или четыре пары. Сумму крайних членов записываю так: а + а.
Обозначаю сумму всех членов большой латинской буквой Эс – S. Ведь слово «сумма» начинается с этой буквы! Значит, S = 4(а + a).
Кто-то спросил:
– А если в прогрессии десять членов? Как тогда вычислить сумму?
– Точно так же, – ответил фокусник. – Только пар станет уже не четыре, а пять, и последний член прогрессии будет a: S = 5 (a + a).
– Стало быть, это справедливо для любого числа членов? – не унимался дотошный зритель.
– Какое число членов вам угодно сложить?
– Пять! Двадцать! Сто семьдесят пять! Двести сорок! Миллион семьсот тысяч! – неслось со всех сторон.
Фокусник закрыл уши руками:
– Тише, тише! Сейчас все ваши просьбы будут исполнены.
Он подождал, когда все успокоятся, и снова заговорил:
– Обозначаю число членов буквой Эн – n. Тогда последний член прогрессии будет а энное – a, а сумма крайних членов a + a.
Нетрудно догадаться, что число пар будет в два раза меньше числа n, то есть n/2. Вот и выходит, что сумма членов запишется так: S = (a + a) * n/2.
– Разрешите спросить, – сказал Олег, – если число членов прогрессии нечетное, как вы его разобьете на пары?
– А уж над этим вы подумайте сами. Но поверьте честному слову фокусника – формула нисколько не изменится.
Он еще раз сложил свою палку, и она тут же исчезла. Все захлопали, засмеялись. Фокусник тоже сложился пополам и исчез так же неожиданно, как его палка.
Вот какие фокусы показывают в Аль-Джебре.
Таня.

Последняя калитка
(Нулик – отряду РВТ)

Здравствуйте, ребята! Письмо Тани нам ужасно понравилось. И все мои ученики сразу захотели стать фокусниками. Но я сказал, что фокусником буду я, а они – моими ассистентами. Их дело – сидеть на палке.
Сначала на палке никто сидеть не хотел. А когда я их уговорил, оказалось, что сидеть не на чем. Потому что мы нигде не могли найти палку, которая складывается. Я очень расстроился, а все, наоборот, обрадовались и побежали кататься на калитке. Это у нас игра такая. В Арабелле давно уже нет никаких заборов. Случайно остался один по дороге в Римскую провинцию. Там еще такая скрипучая калитка. Сядешь на нее и ездишь. Вперед-назад, вперед-назад!

Ну, я тоже поплелся. Все стали кататься, а я стоял в сторонке и смотрел. А потом догадался: вот она, палка, которая складывается! То есть не палка, а забор с калиткой. Ведь калитка, если ее открыть, доходит до самого забора! А забор сделан из редких поперечных планок. В калитке четыре поперечные планки. Отсчитать еще четыре на заборе. Выбрать восемь ассистентов – на каждой планке по одному – и открыть калитку до самого конца. Мое предложение понравилось. На палке не хотел сидеть никто, зато на заборе захотели сидеть все. Чтобы не было скандала, я отобрал восемь ассистентов по порядку: Единицу, Двойку, Тройку, Четверку, Пятерку, Шестерку, Семерку и Восьмерку.
Сказать по правде, я думал, что это никакая не прогрессия, а натуральный ряд чисел, но у меня другого выхода не было, иначе все бы передрались.
Числа стали на планки. Несколько других ассистентов ухватились за калитку. Я взмахнул рукой, калитка со страшным скрипом поехала к забору… И вот уже у нас получились четыре пары чисел:
4 и 5; 3 и 6; 2 и 7; 1 и 8.

Сложили каждую пару – получилось девять. Вот так штука! Выходит, я сделал открытие: натуральный ряд чисел тоже прогрессия. И разность ее равна единице.
Я сложил все числа натурального ряда от единицы до двухсот. Прямо в уме! Вот где мне пригодилась формула фокусника.
Первый член прогрессии a = l, а последний a = 200. Значит, сумма прогрессии равна:
S = (1 + 200) * 200/2 = 201 * 100 = 20100.
Двадцать тысяч сто! Вот здорово! От радости я изо всех сил ухватился за калитку и стал ее раскачивать вместе с ассистентами. И тут ржавые петли не выдержали, калитка отвалилась, и все попадали на землю. Настроение сразу испортилось. Еще бы! У кого синяк под глазом, у кого штаны порваны… И мы пошли домой.
По дороге я придумал еще одну прогрессию: 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + …
И так до тысячи. В этой прогрессии разность равна нулю. Ведь нуль все-таки число! Подставил числа в формулу, и получилось: S = (1 + 1) * 1000/2 = 2 * 500 = 1000.
А дома мне здорово влетело от мамы – ей уже успели на меня нажаловаться.
– Это еще что за фокусы? – сказала она. – Никаких калиток! Чтобы больше этого не было!
Больше и не будет. Потому что кататься все равно не на чем. Калитка-то отвалилась, а она ведь была последняя!
Привет.
Нулик-Фокусник.

Простота и невероятность
(Олег – Нулику)

Вот мы и расстались с «Абракадаброй». Директор подробно объяснил, как нам завтра пройти на строительство. Мы поблагодарили его за угощение и пошли побродить.
Был уже вечер. Ярко светились огни домов, вспыхивали и гасли разноцветные вывески. Из раскрытых окон доносилась музыка. Там за накрытыми столами собрались жители Аль-Джебры, чтобы отметить свой праздник.

Нам вдруг стало не по себе. Почему-то захотелось домой. Но тут совсем близко раздался голос из репродуктора: «Внимание! Внимание! Через пять минут в Павильоне невероятных задач начнется праздничное состязание. Председателем жюри единогласно избран всемирно известный барон Мюнхгаузен. Желающих принять участие просят поторопиться!»
Ты, уж наверное, догадался: мы снова очутились рядом с Парком Науки и Отдыха. Можно подумать, ноги несли нас туда сами!
Вот и Павильон невероятных задач. С трудом отыскали свободные места. На эстраду вышли судьи. Мюнхгаузена встретили громкими аплодисментами. Кстати, роль его исполняла буква Ка. Барон учтиво раскланялся и начал:
– Уважаемая публика! Разрешите мне объяснить правила предстоящего состязания. Каждый участник должен придумать задачу. На первый взгляд она должна быть очень простой – такой простой, чтобы всем показалось, что решить ее легче легкого. Это – первое условие. Второе… О, второе условие – невероятность решения! Разумеется, я не говорю о решении на бумаге. Наоборот, задача должна быть решена в числах, но практически она должна быть невыполнима.
Итак, повторяю: условие состязания – простота и невероятность. Я мог бы для примера рассказать вам что-нибудь из своей практики. Но, к сожалению, все истории, которые со мной случались, были не только просты, но и вполне вероятны. Почему высмеетесь? Все знают, что барон Мюнхгаузен самый правдивый человек на свете. Разве не правда, что я верхом на пушечном ядре влетел в неприятельский город? Разве не правда, что я нанизал на бечевку целую стаю живых уток и вместе с ними взлетел в воздух? Таких правдоподобных историй у меня сколько угодно. Ваше же дело – придумать задачу, не выполнимую на практике. Не подумайте только, что она должна быть бессмысленной. За бессмысленные задачи участники платят штраф и вызывают из состязания. Ну что ж, начнем? Попрошу желающих. На сцену поднялись пухлая Шестерка и латинская буква Эн. Барон Мюнхгаузен предложил им тянуть жребий. Первой получила слово Шестерка. Вот что она рассказала:
– В давние времена, на Востоке, жил могущественный и грозный шах. Он был несметно богат. Все трепетали перед ним. Приближенные не только исполняли, но и предупреждали любое его желание. Сначала это нравилось шаху. Но настал день, когда все ему наскучило. Не радовали его больше ни наряды, ни яства, привезенные со всех концов света…
День ото дня становился он все угрюмее. Напрасно поэты слагали в его честь стихи. Напрасно пели для него самые искусные певцы, танцевали самые прославленные красавицы. Ничто не могло развлечь скучающего владыку. Целыми часами сидел он в своих роскошных покоях, бессмысленно глядя в одну точку. Дошло до того, что он заболел.
Врачи сменялись у его ложа чародеями и предсказателями. Но все их старания ни к чему не приводили. От шаха осталась одна тень. И все поняли, что дни его сочтены.
И вот у решетки шахского дворца появился странник. Босые ноги его были изранены, сквозь грязные лохмотья просвечивало тело. Странник сказался искусным врачом и потребовал, чтобы его пустили к шаху. Стража грубо оттолкнула оборванца. Тот поднял отчаянный крик. Услыхал его вопли шах и пожелал видеть безумца, который осмелился нарушить его покой. Нищего впустили.
– О великий шах, – сказал он, – я пришел, чтобы излечить тебя от тяжкого недуга.
– Чтобы излечить, надо знать причину болезни, – возразил шах. – Откуда знать тебе то, чего я и сам не знаю?
– Ошибаешься, – сказал странник, – причина твоей болезни – скука. Скука – бич богатых. Им нечего желать, потому что желания их тут же исполняются. Им не о чем думать, потому что за них думают другие. Я принес тебе лекарство, которое заставит тебя думать.
Странник достал из-под рваного плаща небольшую доску, расчерченную черными и белыми квадратами. Он положил ее на низенький столик рядом с шахским ложем и выстроил на ней черные и белые фигурки.
– Эту игру, – сказал он, – я назвал шахматами: ведь ей предстоит излечить шаха.
С этой минуты шах ни о чем, кроме шахмат, и знать не хотел. Целые дни проводил он вместе со странником за шахматной доской и подолгу размышлял над каждым ходом. Здоровье его заметно улучшилось. А когда ему удалось впервые выиграть партию, он почувствовал себя совершенно исцеленным.
– Требуй у меня всего, чего пожелаешь, – сказал он своему спасителю. – Захочешь, подарю тебе гору золота, захочешь – табун чистокровных арабских скакунов…
– О шах, – перебил его странник, – не надо мне ни золота, ни скакунов. В твоей стране столько голодных! Накорми их, – это будет для меня лучшим подарком.
– Какое мне дело до других! – воскликнул разгневанный шах. – Я обещал одарить тебя.
– Для себя мне немного нужно, – улыбнулся странник. – Видишь эту шахматную доску? На ней шестьдесят четыре клетки. Положи на первую клетку одно зернышко риса, на вторую – два зернышка, на третью – четыре, на четвертую – восемь. И так удваивай число зерен на каждой следующей клетке, до тех пор, пока не заполнишь последнюю. Вот и все.
– Только-то?! – облегченно вздохнул шах. – Мало же ты просишь! Я бы потребовал больше.
Принесли мешок риса, и шах сам начал выкладывать зерна. На первую клетку положил одно, на вторую – два, на третью – четыре…
Уже на седьмой клетке для шестидесяти четырех зерен не хватило места.
– Что же, – сказал странник, – вели ссыпать зерна в мешок.
Но шаху быстро наскучило считать. Он кликнул слуг. Теперь стали отсчитывать зерна они: шестьдесят четыре, сто двадцать восемь, двести пятьдесят шесть, пятьсот двенадцать, тысяча двадцать четыре…
Но это была еще только одиннадцатая клетка!
Стемнело. Зажгли светильники. Слуги чуть не падали от усталости. Когда они дошли до семнадцатой клетки, им нужно было отсчитать шестьдесят пять тысяч пятьсот тридцать шесть зерен. Но тут они сбились со счета. Несмотря на то что была уже глубокая ночь, шах велел разбудить мудрецов.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13