Мы ее сразу узнали по маленькому красному зонтику.
– Здравствуйте, как поживаете?
– Отлично, – ответила она. – Автомат сказал правду: и Мнимая Единица может на что-нибудь пригодиться.
– Неужели вы нашли себе место на воздушной монорельсовой дороге?
– Конечно, но не на той ветке, где живут действительные числа. У нас, Мнимых Единиц, собственная дорога. Она пересекает воздушную монорельсовую как раз на Нулевой станции.
– Как же мы ее не заметили? – спросил Сева.
– Так ведь наша дорога мнимая и не сразу бросается в глаза.
– Жаль, что не сразу! – сердито отрезал Сева. – Теперь придется возвращаться, чтобы посмотреть на нее.
– Возвращаться к старому иногда полезно, – заметила Мнимая Единичка. – Но с небольшим кусочком мнимой дороги вы можете познакомиться и здесь. В парке построен новый аттракцион. Он называется «Мнимая карусель». Я там работаю. Хотите взглянуть?
Хотим ли мы взглянуть на карусель, да еще мнимую? Как ты думаешь?
Олег.
Мнимая карусель
(Таня – Нулику)
Вот тебе, Нулик, наши последние новости.
По дороге к аттракциону все чаще мелькали рекламные плакаты:
ПЕРВАЯ В МИРЕ МНИМАЯ КАРУСЕЛЬ!
ИСКЛЮЧИТЕЛЬНО ДЛЯ МНИМЫХ ЕДИНИЦ!
ЕДИНСТВЕННОЕ МЕСТО,
ГДЕ МНИМЫЕ ЕДИНИЦЫ МОГУТ СТАТЬ
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ!
Мнимые Единицы, кружитесь на здоровье!
Наша симпатичная подружка щебетала без умолку и рассказала кучу интересного.
Оказывается, Мнимая Единица – это просто-напросто корень квадратный из отрицательной единицы: √–1.
– А разве из минус единицы нельзя извлечь корень? – спросил Сева. – Ведь корень квадратный из единицы всегда равен единице.
– Ой-ой-ой! – ужаснулась Мнимая Единичка. – Это касается только положительной единицы. Ведь что значит извлечь корень квадратный, скажем, из девяти?
– Это значит найти такое число, которое при возведении в квадрат равнялось бы девяти, – ответил Олег. – Это число три.
– Верно. А теперь попробуйте найти число, которое при возведении в квадрат дает минус единицу!
Мнимая Единичка тоненько засмеялась.
Сева озадаченно взъерошил волосы:
– М-да! Такого числа нет. Какое число ни возводи в квадрат, положительное или отрицательное, ответ все равно получится положительный. Уж я-то знаю!
– Вот видите. Потому-то корень квадратный из минус единицы называется мнимой единицей.
– Выходит, мнимые единицы совсем особые числа. Наверное, и дорога у вас устроена как-нибудь особенно.
– Ничуть. Наша дорога очень похожа на ту, где живут действительные числа, только расположена она под прямым углом к ней. Это такая же бесконечная прямая, в центре которой находится все та же Нулевая станция.
– Раз у вас есть Нулевая станция, значит есть положительные и отрицательные числа?
– Что вы! Разве мнимые числа могут быть положительными и отрицательными? Просто на нашей дороге, так же как и на дороге действительных чисел, есть два направления от нуля. Одно из них условились обозначать знаком плюс, другое – знаком минус.
– Но как же мнимые числа отличают от действительных?
– С помощью буквы i: 2i, 5i, –8i, –12i.
– Вот как! У вас, как и у других букв в Аль-Джебре, тоже есть коэффициенты?
– Конечно.
– А где же ваш коэффициент? – ляпнул Сева.
И когда только он научится вести себя в обществе? Хорошо еще, воспитанная Единичка сделала вид, что не заметила его бестактности.
– Мой коэффициент – единица, и он, как всегда, невидимка.
Но Сева уже закусил удила. Ужасный он спорщик!
– Вот вы говорите, что мнимая монорельсовая дорога похожа на действительную. Значит, и правила движения на ней те же. Так ведь? Тогда при чем здесь карусель? Ведь на обычной монорельсовой дороге движение идет по прямой, а карусель-то кружится?
– Вы отчасти правы, – ответила Мнимая Единичка. – Правила движений у нас более разнообразны. При сложении и вычитании вагончики на мнимой дороге движутся по прямой и по тем же правилам, что и действительные числа; 2i + 3i = 5i; 8i – 15i = – 7i, или вот еще: –3i + 9i = 6i, ну и конечно: 5i – 5i = 0.
Мнимые Единички с разными знаками и одинаковыми коэффициентами взаимоуничтожаются на Нулевой станции.
Иное дело – умножение, деление, возведение в степень… Тут уж Мнимые Единицы двигаются не только по прямой, но и по кривой. Именно это вы сейчас и увидите.
Мы вошли в круглый павильон. Там было полным-полно Мнимых Единиц. Все они с нетерпением ждали своей очереди покружиться.
Павильон очень похож на цирк. Места расположены амфитеатром. В центре – арена, ее под прямым углом друг к другу пересекают две перекладины. Одна перекладина изображает монорельсовую дорогу действительных чисел. На концах ее укреплены таблички +1 и –1. Другая перекладина изображает дорогу мнимых чисел. Здесь на концах находятся таблички +i и –i. На пересечении дорог, в центре арены, – Нулевая станция. Здесь укреплена вращающаяся ось, и на нее (совсем как патефонная пластинка) надет прозрачный пластмассовый круг.
Когда мы вошли, карусель только что остановилась. С нее легко соскочила Мнимая Единица с зеленым зонтиком. Вместо нее на круг, точно против таблички +i, стала Мнимая Единица с желтым зонтиком.
Наша спутница подошла к микрофону и скомандовала:
– К возведению в степень приготовиться!
Прозвенел звонок, и под звуки плавного вальса круг тронулся. Только не по часовой стрелке, а в обратную сторону. И тут-то начались необыкновенные вещи!
Мнимая Единица с желтым зонтиком пересекла дорогу действительных чисел у таблички –1 и превратилась в действительное число – Отрицательную Единицу.
Возле таблички снова стала Мнимой Единицей, но уже со знаком минус. Вот она снова пересекла действительную дорогу, поравнялась с табличкой +1 и – невероятно! – опять превратилась из Мнимой Единицы в Действительную, да еще положительную. А потом как ни в чем не бывало возвратилась к табличке i. Тут она снова стала Мнимой.
Оркестр заиграл песню «Каким ты был, таким остался!», и все началось сначала. Карусель кружилась, а Мнимая Единица все превращалась и превращалась.
– Не понимаю, – сказал Сева. – Мнимая Единица превращается в Действительную, Действительная – опять в Мнимую… Как это?
– На то и возведение в степень! – отозвалась Мнимая Единичка. – Ведь Мнимая Единица равняется корню квадратному из минус единицы: i = √–1. Но если возвести в квадрат корень квадратный из любого числа, что получится?
– Подкоренное число, – ответил Олег.
– Так это же мы недавно видели! – вспомнил Сева. – Один карликан целый час возводил в квадрат то корень квадратный из трех, то корень квадратный из двух… И каждый раз получалось число, стоящее под радикалом.
– То же самое происходит и с Мнимой Единицей: i = i * i = (√–1) = –1.
– Ну, это понятно. А как же действительное число – минус единица превращается в мнимое?
– При этом Мнимая Единица возводится уже не в квадрат, а в куб, то есть в третью степень: i = i* i.
А это ведь все равно что умножить минус единицу на i: –1 * i = –i.
– Теперь, – сказал Олег, – нетрудно понять, как Мнимая Единица с минусом –i превращается в Действительную Единицу со знаком плюс +1. Она возводится в четвертую степень: i = i * i
А это можно представить себе и так: –1 * –1 = +1.
– Прекрасно! – воскликнула Мнимая Единичка. – Остается выяснить, как Действительная Единица снова становится Мнимой.
В самом деле, как? Тут даже Олег ни до чего не додумался. Но оказалось, что для этого Мнимую Единицу надо возвести в пятую степень.
– Не может быть! i равно i?! – растерялись мы. – Что же это такое?
– Да ничего особенного: i = 1. Чтобы получить i, умножим единицу на i. А это ведь все равно что i, взятое один раз, то есть просто i: 1 * i = i.
– Вот так история! Мнимую Единицу нельзя возвести более чем в четвертую степень? – удивился Олег.
– Отчего же! – возразила Мнимая Единичка. – Возводите себе на здоровье и в шестую, и в седьмую, и в сто двадцать первую… Словом, в любую целую степень. Но ничего, кроме того, что уже было, не получится. На то и карусель!
Тут Севе срочно понадобилось выяснить, чему равняется i?
– Ну, это совсем нетрудно, i в пятой равно i, – сказала Мнимая Единичка. – Значит, i в девятой тоже равно i…
– Понимаю! – перебил Сева. – Каждый раз надо прибавлять к показателю степени четыре: i равно i, значит, i тоже равно 1.
Вот, Нулик, хорошая задача для твоих учеников. Попробуйте вычислить, чему равно i? А чтобы вам легче было, загляните в чертеж мнимой карусели.
Долго еще любовались мы превращениями Мнимых Единиц, а когда уже собрались уходить, Сева хлопнул себя по лбу:
– Чуть не забыл спросить! Вы сказали, что при возведении в степень Мнимые Единицы движутся по кривой. А ведь здесь они движутся по окружности!
– Окружность тоже кривая, но такая, где все точки находятся на одинаковом расстоянии от центра. При умножении и возведении в степень перемещаются по окружности только Мнимые Единицы.
– А как движутся другие мнимые числа при возведении в степень? – спросил Олег. – Два i, три i, четыре i?
– На нашей карусели вы этого не увидите, – сказала Мнимая Единичка. – Да оно и к лучшему. Это очень сложный вопрос. Нельзя же все сразу…
– Всякому овощу свое время? – подмигнул Сева.
– Пожалуй, – улыбнулась Мнимая Единичка.
Мы поблагодарили ее и распрощались. Но тут пришла очередь Олегу хлопать себя по лбу.
– Извините, пожалуйста, – сказал он, обернувшись, – а зачем вообще нужны мнимые числа?
– Это вы поймете, когда начнете решать уравнения второй и третьей степени. Там в ответе часто получаются мнимые числа.
– На что нужны уравнения с мнимыми ответами? – буркнул Сева.
– Спросите об этом у физиков, химиков, инженеров, астрономов… Мнимые числа помогают им решать вовсе не мнимые, а действительно важные практические задачи.
– Но почему же тогда вас называют мнимыми?
– По привычке, – грустно ответила буковка i. – Так нас окрестил французский ученый Рене Декарт. Это было в семнадцатом веке, когда мнимые числа ни во что не ставились. Но с тех пор многое переменилось. Если бы Декарт жил в наши дни, он непременно придумал бы для нас более подходящее название.
– Например, «необходимые числа», – сказал Олег.
– О! Это было бы чудесно! – вздохнула Мнимая Единичка.
Мы еще раз попрощались и ушли. На этот раз совсем.
Таня.
Аль-Мукабала!
(Сева – Нулику)
Селям алейкум, старина! Я теперь тоже умею говорить по-восточному. Поживешь в Аль-Джебре – не то еще узнаешь!
Сегодня мы учились решать уравнения. Правда, пока еще первой степени. Но и это не так уж мало.
Здесь есть особая площадка, где решают эти уравнения. И не как-нибудь вручную, а подъемными кранами. Механизация!
Когда подходишь к этой площадке, видишь одни только краны. Длинношеие, вроде жирафов. Жирафы то поднимают голову, то опускают, то тянутся друг другу навстречу. Только переносят они не кирпичи, не блоки, а буквы, числа, знаки сложения, вычитания. Словом, все, что понадобится.
Таня оставила в покое свой фасонистый комбинезон, пришла в школьном платье. И очки сняла. Правильно сделала: электросваркой ей здесь заниматься не пришлось.
Что нам бросилось в глаза, – это иксы. Их здесь видимо-невидимо. Ведь там, где решают уравнения, без иксов не обойтись.
Эф не отпускала нас ни на шаг. Наверное, боялась, как бы кого не ушибло краном, хотя везде и так развешаны плакаты:
ПОД КРАНОМ НЕ СТОЯТЬ!
Во время аль-джебры и аль-мукабалы к уравнениям не подходить!
Высоко-высоко, в кабинке крана, сидела молоденькая крановщица – буква Ка. Она передвигала рычаги и зорко следила за регулировщицей Эр. Та стояла внизу. В каждой руке – по флажку. Ими она указывала крановщице, куда двигать кран.
Под краном чинно стояли Икс в черной маске, Двойка и Шестерка. Они образовали такое уравнение: х – 2 = 6.
Регулировщица медленно опустила один флажок, и так же медленно наклонил свою жирафью шею кран с большим крюком на конце. Крюк осторожно подцепил Двойку, которая торопливо прихватила свой минус. Регулировщица помахала флажком, и кран замер. Потом она крикнула: «Аль-джебр!» – прямо как у нас кричат «майна» или «вира». И вот уже Двойка с минусом заболтала ножками в воздухе и поплыла к правой части уравнения.
Когда она поравнялась со знаком равенства, регулировщица скомандовала: «Переменить знак!» Двойка быстро положила минус в карман и вынула оттуда знак плюс. И вот уже она рядом с Шестеркой в правой части равенства: х = 6 + 2.
А через секунду вместо этого мы увидели: х = 8.
Черная маска упала, Икс поднял ее, низко поклонился Ка и Эр и скрылся. А мы перешли к другому крану. Там уже стояло такое уравнение: 3х + 6 = 12.
Снова крановщица нажимала на рычаги, снова регулировщица махала флажками, кричала: «Аль-джебр!» – и скоро под краном появилось вот что: 3х = 12 – 6.
Мы переглянулись.
– В чем дело? – спросила Эф. – Что-нибудь непонятно?
– Непонятно, – признался Олег. – До сих пор нам показывали только такие задачи, где отрицательное число переносится из левой части равенства в правую и превращается в положительное. Действие это называется «аль-джебр», по-нашему – восстановление. На этот раз в левой части равенства было положительное число шесть, и его перенесли в правую часть со знаком минус. При чем же здесь восстановление?
– Законный вопрос, – развела руками Эф. – Но вспомните, что «аль-джебр» – слово, пришедшее к нам из далекой древности. А древние слова по дороге часто теряют свое первоначальное значение. Взять хоть слово «чернила». Поначалу чернила были только черные. Сейчас есть и красные, и зеленые, и синие, и фиолетовые. Но никто же не называет их ни краснилами, ни синилами!
– Как интересно! – сказала Таня. – Таких слов, наверное, много.
– Перочинный ножик! – вспомнил я. – Раньше им перья чинили, а теперь карандаши.
– Правильно! – сказала Эф. – То же самое случилось и со словом «аль-джебр». Мухаммед ибн Муса применил его тогда, когда отрицательные числа были бесправными. Перенося их в правую часть равенства с положительным знаком, он восстанавливал их в правах. Но отношение к отрицательным числам давно уже переменилось. И теперь понятие «аль-джебр» расширилось. Оно означает не только перенос отрицательного числа из одной части равенства в другую с положительным знаком, но и вообще перенос любого числа с обратным знаком. Но вернемся все-таки к нашему уравнению, – закончила свою речь Эф.
Мы посмотрели на площадку. Там теперь вместо 3х = 12 – 6 стояло: 3х = 6.
Странное дело: уравнение решено, а на Иксе по-прежнему черная маска.
– Ошибаетесь, – сказала Эф. – Решить уравнение – значит вычислить, чему равен один икс. Мы же пока знаем, чему равны три икса.
– Ну, это нетрудно, – сказал Олег. – Чтобы вычислить икс, надо шесть разделить на три.
И словно в ответ на его слова, кран приподнял число Шесть над землей и плавно опустил на двухэтажную тележку. Потом крюк подцепил коэффициент при Иксе – Тройку, перенес ее в правую часть равенства и поставил под числом Шесть: х = 6/3
Тележку быстро откатили, и на месте дроби 6/3 появилась Двойка: х = 2.
– Э-э, нет, – запротестовал я, – так не годится. Ведь числа переносятся в правую часть равенства с обратным знаком. Почему же это Тройку перенесли с тем же?
– Да потому, что в этом уравнении Тройка не слагаемое, а коэффициент при Иксе. А коэффициент – это множитель, не так ли? Коли три в левой части множитель, так в правой оно превращается в делитель. Стало быть, правило сохранилось, потому что деление и умножение такие же обратные действия, как сложение и вычитание.
Не удается мне их подловить на ошибке. Пришлось прикусить язык и вместе со всеми перейти к следующему уравнению. Его решал уже не один, а два крана. В каждом сидела крановщица. А регулировщица, как и прежде, была всего одна. Наверное, многостаночница. Уравнение было такое: 6х – 7 = 2х + 8 – x.
На этот раз регулировщица дала команду подлиннее: «Аль-джебр! Аль-мукабала!». И сейчас же один кран подцепил все иксы справа вместе с коэффициентами и перенес с обратными знаками в левую часть уравнения. В то же время второй кран подхватил Семерку с минусом и перенес в правую часть. При этом Семерка тоже переменила знак минус на плюс: 6х – 2х + х = 8 + 7.
Потом регулировщица (точь-в-точь как Главный Весовщик) скомандовала: «Подобные, приведитесь!» – и вместо прежнего выражения перед нами очутилось новое: 5х = 15.
Что было дальше, ты, уж наверное, сам догадался. Под краном появилось: х = 3, и черная маска упала.
– Скажите, – спросила Таня, – почему это в первый раз регулировщица кричала только «аль-джебр», а теперь прибавила какую-то алькула… альбума…
– Аль-мукабалу, – подсказала Эф.
– Да, да, аль-мукабалу!
– Так ведь это и есть противопоставление. То самое действие, о котором не успел рассказать Главный Весовщик.
– Что же здесь противопоставляется?
– Неизвестные – известным. Все иксы переносятся в левую часть уравнения, все свободные числа – в правую.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
– Здравствуйте, как поживаете?
– Отлично, – ответила она. – Автомат сказал правду: и Мнимая Единица может на что-нибудь пригодиться.
– Неужели вы нашли себе место на воздушной монорельсовой дороге?
– Конечно, но не на той ветке, где живут действительные числа. У нас, Мнимых Единиц, собственная дорога. Она пересекает воздушную монорельсовую как раз на Нулевой станции.
– Как же мы ее не заметили? – спросил Сева.
– Так ведь наша дорога мнимая и не сразу бросается в глаза.
– Жаль, что не сразу! – сердито отрезал Сева. – Теперь придется возвращаться, чтобы посмотреть на нее.
– Возвращаться к старому иногда полезно, – заметила Мнимая Единичка. – Но с небольшим кусочком мнимой дороги вы можете познакомиться и здесь. В парке построен новый аттракцион. Он называется «Мнимая карусель». Я там работаю. Хотите взглянуть?
Хотим ли мы взглянуть на карусель, да еще мнимую? Как ты думаешь?
Олег.
Мнимая карусель
(Таня – Нулику)
Вот тебе, Нулик, наши последние новости.
По дороге к аттракциону все чаще мелькали рекламные плакаты:
ПЕРВАЯ В МИРЕ МНИМАЯ КАРУСЕЛЬ!
ИСКЛЮЧИТЕЛЬНО ДЛЯ МНИМЫХ ЕДИНИЦ!
ЕДИНСТВЕННОЕ МЕСТО,
ГДЕ МНИМЫЕ ЕДИНИЦЫ МОГУТ СТАТЬ
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ!
Мнимые Единицы, кружитесь на здоровье!
Наша симпатичная подружка щебетала без умолку и рассказала кучу интересного.
Оказывается, Мнимая Единица – это просто-напросто корень квадратный из отрицательной единицы: √–1.
– А разве из минус единицы нельзя извлечь корень? – спросил Сева. – Ведь корень квадратный из единицы всегда равен единице.
– Ой-ой-ой! – ужаснулась Мнимая Единичка. – Это касается только положительной единицы. Ведь что значит извлечь корень квадратный, скажем, из девяти?
– Это значит найти такое число, которое при возведении в квадрат равнялось бы девяти, – ответил Олег. – Это число три.
– Верно. А теперь попробуйте найти число, которое при возведении в квадрат дает минус единицу!
Мнимая Единичка тоненько засмеялась.
Сева озадаченно взъерошил волосы:
– М-да! Такого числа нет. Какое число ни возводи в квадрат, положительное или отрицательное, ответ все равно получится положительный. Уж я-то знаю!
– Вот видите. Потому-то корень квадратный из минус единицы называется мнимой единицей.
– Выходит, мнимые единицы совсем особые числа. Наверное, и дорога у вас устроена как-нибудь особенно.
– Ничуть. Наша дорога очень похожа на ту, где живут действительные числа, только расположена она под прямым углом к ней. Это такая же бесконечная прямая, в центре которой находится все та же Нулевая станция.
– Раз у вас есть Нулевая станция, значит есть положительные и отрицательные числа?
– Что вы! Разве мнимые числа могут быть положительными и отрицательными? Просто на нашей дороге, так же как и на дороге действительных чисел, есть два направления от нуля. Одно из них условились обозначать знаком плюс, другое – знаком минус.
– Но как же мнимые числа отличают от действительных?
– С помощью буквы i: 2i, 5i, –8i, –12i.
– Вот как! У вас, как и у других букв в Аль-Джебре, тоже есть коэффициенты?
– Конечно.
– А где же ваш коэффициент? – ляпнул Сева.
И когда только он научится вести себя в обществе? Хорошо еще, воспитанная Единичка сделала вид, что не заметила его бестактности.
– Мой коэффициент – единица, и он, как всегда, невидимка.
Но Сева уже закусил удила. Ужасный он спорщик!
– Вот вы говорите, что мнимая монорельсовая дорога похожа на действительную. Значит, и правила движения на ней те же. Так ведь? Тогда при чем здесь карусель? Ведь на обычной монорельсовой дороге движение идет по прямой, а карусель-то кружится?
– Вы отчасти правы, – ответила Мнимая Единичка. – Правила движений у нас более разнообразны. При сложении и вычитании вагончики на мнимой дороге движутся по прямой и по тем же правилам, что и действительные числа; 2i + 3i = 5i; 8i – 15i = – 7i, или вот еще: –3i + 9i = 6i, ну и конечно: 5i – 5i = 0.
Мнимые Единички с разными знаками и одинаковыми коэффициентами взаимоуничтожаются на Нулевой станции.
Иное дело – умножение, деление, возведение в степень… Тут уж Мнимые Единицы двигаются не только по прямой, но и по кривой. Именно это вы сейчас и увидите.
Мы вошли в круглый павильон. Там было полным-полно Мнимых Единиц. Все они с нетерпением ждали своей очереди покружиться.
Павильон очень похож на цирк. Места расположены амфитеатром. В центре – арена, ее под прямым углом друг к другу пересекают две перекладины. Одна перекладина изображает монорельсовую дорогу действительных чисел. На концах ее укреплены таблички +1 и –1. Другая перекладина изображает дорогу мнимых чисел. Здесь на концах находятся таблички +i и –i. На пересечении дорог, в центре арены, – Нулевая станция. Здесь укреплена вращающаяся ось, и на нее (совсем как патефонная пластинка) надет прозрачный пластмассовый круг.
Когда мы вошли, карусель только что остановилась. С нее легко соскочила Мнимая Единица с зеленым зонтиком. Вместо нее на круг, точно против таблички +i, стала Мнимая Единица с желтым зонтиком.
Наша спутница подошла к микрофону и скомандовала:
– К возведению в степень приготовиться!
Прозвенел звонок, и под звуки плавного вальса круг тронулся. Только не по часовой стрелке, а в обратную сторону. И тут-то начались необыкновенные вещи!
Мнимая Единица с желтым зонтиком пересекла дорогу действительных чисел у таблички –1 и превратилась в действительное число – Отрицательную Единицу.
Возле таблички снова стала Мнимой Единицей, но уже со знаком минус. Вот она снова пересекла действительную дорогу, поравнялась с табличкой +1 и – невероятно! – опять превратилась из Мнимой Единицы в Действительную, да еще положительную. А потом как ни в чем не бывало возвратилась к табличке i. Тут она снова стала Мнимой.
Оркестр заиграл песню «Каким ты был, таким остался!», и все началось сначала. Карусель кружилась, а Мнимая Единица все превращалась и превращалась.
– Не понимаю, – сказал Сева. – Мнимая Единица превращается в Действительную, Действительная – опять в Мнимую… Как это?
– На то и возведение в степень! – отозвалась Мнимая Единичка. – Ведь Мнимая Единица равняется корню квадратному из минус единицы: i = √–1. Но если возвести в квадрат корень квадратный из любого числа, что получится?
– Подкоренное число, – ответил Олег.
– Так это же мы недавно видели! – вспомнил Сева. – Один карликан целый час возводил в квадрат то корень квадратный из трех, то корень квадратный из двух… И каждый раз получалось число, стоящее под радикалом.
– То же самое происходит и с Мнимой Единицей: i = i * i = (√–1) = –1.
– Ну, это понятно. А как же действительное число – минус единица превращается в мнимое?
– При этом Мнимая Единица возводится уже не в квадрат, а в куб, то есть в третью степень: i = i* i.
А это ведь все равно что умножить минус единицу на i: –1 * i = –i.
– Теперь, – сказал Олег, – нетрудно понять, как Мнимая Единица с минусом –i превращается в Действительную Единицу со знаком плюс +1. Она возводится в четвертую степень: i = i * i
А это можно представить себе и так: –1 * –1 = +1.
– Прекрасно! – воскликнула Мнимая Единичка. – Остается выяснить, как Действительная Единица снова становится Мнимой.
В самом деле, как? Тут даже Олег ни до чего не додумался. Но оказалось, что для этого Мнимую Единицу надо возвести в пятую степень.
– Не может быть! i равно i?! – растерялись мы. – Что же это такое?
– Да ничего особенного: i = 1. Чтобы получить i, умножим единицу на i. А это ведь все равно что i, взятое один раз, то есть просто i: 1 * i = i.
– Вот так история! Мнимую Единицу нельзя возвести более чем в четвертую степень? – удивился Олег.
– Отчего же! – возразила Мнимая Единичка. – Возводите себе на здоровье и в шестую, и в седьмую, и в сто двадцать первую… Словом, в любую целую степень. Но ничего, кроме того, что уже было, не получится. На то и карусель!
Тут Севе срочно понадобилось выяснить, чему равняется i?
– Ну, это совсем нетрудно, i в пятой равно i, – сказала Мнимая Единичка. – Значит, i в девятой тоже равно i…
– Понимаю! – перебил Сева. – Каждый раз надо прибавлять к показателю степени четыре: i равно i, значит, i тоже равно 1.
Вот, Нулик, хорошая задача для твоих учеников. Попробуйте вычислить, чему равно i? А чтобы вам легче было, загляните в чертеж мнимой карусели.
Долго еще любовались мы превращениями Мнимых Единиц, а когда уже собрались уходить, Сева хлопнул себя по лбу:
– Чуть не забыл спросить! Вы сказали, что при возведении в степень Мнимые Единицы движутся по кривой. А ведь здесь они движутся по окружности!
– Окружность тоже кривая, но такая, где все точки находятся на одинаковом расстоянии от центра. При умножении и возведении в степень перемещаются по окружности только Мнимые Единицы.
– А как движутся другие мнимые числа при возведении в степень? – спросил Олег. – Два i, три i, четыре i?
– На нашей карусели вы этого не увидите, – сказала Мнимая Единичка. – Да оно и к лучшему. Это очень сложный вопрос. Нельзя же все сразу…
– Всякому овощу свое время? – подмигнул Сева.
– Пожалуй, – улыбнулась Мнимая Единичка.
Мы поблагодарили ее и распрощались. Но тут пришла очередь Олегу хлопать себя по лбу.
– Извините, пожалуйста, – сказал он, обернувшись, – а зачем вообще нужны мнимые числа?
– Это вы поймете, когда начнете решать уравнения второй и третьей степени. Там в ответе часто получаются мнимые числа.
– На что нужны уравнения с мнимыми ответами? – буркнул Сева.
– Спросите об этом у физиков, химиков, инженеров, астрономов… Мнимые числа помогают им решать вовсе не мнимые, а действительно важные практические задачи.
– Но почему же тогда вас называют мнимыми?
– По привычке, – грустно ответила буковка i. – Так нас окрестил французский ученый Рене Декарт. Это было в семнадцатом веке, когда мнимые числа ни во что не ставились. Но с тех пор многое переменилось. Если бы Декарт жил в наши дни, он непременно придумал бы для нас более подходящее название.
– Например, «необходимые числа», – сказал Олег.
– О! Это было бы чудесно! – вздохнула Мнимая Единичка.
Мы еще раз попрощались и ушли. На этот раз совсем.
Таня.
Аль-Мукабала!
(Сева – Нулику)
Селям алейкум, старина! Я теперь тоже умею говорить по-восточному. Поживешь в Аль-Джебре – не то еще узнаешь!
Сегодня мы учились решать уравнения. Правда, пока еще первой степени. Но и это не так уж мало.
Здесь есть особая площадка, где решают эти уравнения. И не как-нибудь вручную, а подъемными кранами. Механизация!
Когда подходишь к этой площадке, видишь одни только краны. Длинношеие, вроде жирафов. Жирафы то поднимают голову, то опускают, то тянутся друг другу навстречу. Только переносят они не кирпичи, не блоки, а буквы, числа, знаки сложения, вычитания. Словом, все, что понадобится.
Таня оставила в покое свой фасонистый комбинезон, пришла в школьном платье. И очки сняла. Правильно сделала: электросваркой ей здесь заниматься не пришлось.
Что нам бросилось в глаза, – это иксы. Их здесь видимо-невидимо. Ведь там, где решают уравнения, без иксов не обойтись.
Эф не отпускала нас ни на шаг. Наверное, боялась, как бы кого не ушибло краном, хотя везде и так развешаны плакаты:
ПОД КРАНОМ НЕ СТОЯТЬ!
Во время аль-джебры и аль-мукабалы к уравнениям не подходить!
Высоко-высоко, в кабинке крана, сидела молоденькая крановщица – буква Ка. Она передвигала рычаги и зорко следила за регулировщицей Эр. Та стояла внизу. В каждой руке – по флажку. Ими она указывала крановщице, куда двигать кран.
Под краном чинно стояли Икс в черной маске, Двойка и Шестерка. Они образовали такое уравнение: х – 2 = 6.
Регулировщица медленно опустила один флажок, и так же медленно наклонил свою жирафью шею кран с большим крюком на конце. Крюк осторожно подцепил Двойку, которая торопливо прихватила свой минус. Регулировщица помахала флажком, и кран замер. Потом она крикнула: «Аль-джебр!» – прямо как у нас кричат «майна» или «вира». И вот уже Двойка с минусом заболтала ножками в воздухе и поплыла к правой части уравнения.
Когда она поравнялась со знаком равенства, регулировщица скомандовала: «Переменить знак!» Двойка быстро положила минус в карман и вынула оттуда знак плюс. И вот уже она рядом с Шестеркой в правой части равенства: х = 6 + 2.
А через секунду вместо этого мы увидели: х = 8.
Черная маска упала, Икс поднял ее, низко поклонился Ка и Эр и скрылся. А мы перешли к другому крану. Там уже стояло такое уравнение: 3х + 6 = 12.
Снова крановщица нажимала на рычаги, снова регулировщица махала флажками, кричала: «Аль-джебр!» – и скоро под краном появилось вот что: 3х = 12 – 6.
Мы переглянулись.
– В чем дело? – спросила Эф. – Что-нибудь непонятно?
– Непонятно, – признался Олег. – До сих пор нам показывали только такие задачи, где отрицательное число переносится из левой части равенства в правую и превращается в положительное. Действие это называется «аль-джебр», по-нашему – восстановление. На этот раз в левой части равенства было положительное число шесть, и его перенесли в правую часть со знаком минус. При чем же здесь восстановление?
– Законный вопрос, – развела руками Эф. – Но вспомните, что «аль-джебр» – слово, пришедшее к нам из далекой древности. А древние слова по дороге часто теряют свое первоначальное значение. Взять хоть слово «чернила». Поначалу чернила были только черные. Сейчас есть и красные, и зеленые, и синие, и фиолетовые. Но никто же не называет их ни краснилами, ни синилами!
– Как интересно! – сказала Таня. – Таких слов, наверное, много.
– Перочинный ножик! – вспомнил я. – Раньше им перья чинили, а теперь карандаши.
– Правильно! – сказала Эф. – То же самое случилось и со словом «аль-джебр». Мухаммед ибн Муса применил его тогда, когда отрицательные числа были бесправными. Перенося их в правую часть равенства с положительным знаком, он восстанавливал их в правах. Но отношение к отрицательным числам давно уже переменилось. И теперь понятие «аль-джебр» расширилось. Оно означает не только перенос отрицательного числа из одной части равенства в другую с положительным знаком, но и вообще перенос любого числа с обратным знаком. Но вернемся все-таки к нашему уравнению, – закончила свою речь Эф.
Мы посмотрели на площадку. Там теперь вместо 3х = 12 – 6 стояло: 3х = 6.
Странное дело: уравнение решено, а на Иксе по-прежнему черная маска.
– Ошибаетесь, – сказала Эф. – Решить уравнение – значит вычислить, чему равен один икс. Мы же пока знаем, чему равны три икса.
– Ну, это нетрудно, – сказал Олег. – Чтобы вычислить икс, надо шесть разделить на три.
И словно в ответ на его слова, кран приподнял число Шесть над землей и плавно опустил на двухэтажную тележку. Потом крюк подцепил коэффициент при Иксе – Тройку, перенес ее в правую часть равенства и поставил под числом Шесть: х = 6/3
Тележку быстро откатили, и на месте дроби 6/3 появилась Двойка: х = 2.
– Э-э, нет, – запротестовал я, – так не годится. Ведь числа переносятся в правую часть равенства с обратным знаком. Почему же это Тройку перенесли с тем же?
– Да потому, что в этом уравнении Тройка не слагаемое, а коэффициент при Иксе. А коэффициент – это множитель, не так ли? Коли три в левой части множитель, так в правой оно превращается в делитель. Стало быть, правило сохранилось, потому что деление и умножение такие же обратные действия, как сложение и вычитание.
Не удается мне их подловить на ошибке. Пришлось прикусить язык и вместе со всеми перейти к следующему уравнению. Его решал уже не один, а два крана. В каждом сидела крановщица. А регулировщица, как и прежде, была всего одна. Наверное, многостаночница. Уравнение было такое: 6х – 7 = 2х + 8 – x.
На этот раз регулировщица дала команду подлиннее: «Аль-джебр! Аль-мукабала!». И сейчас же один кран подцепил все иксы справа вместе с коэффициентами и перенес с обратными знаками в левую часть уравнения. В то же время второй кран подхватил Семерку с минусом и перенес в правую часть. При этом Семерка тоже переменила знак минус на плюс: 6х – 2х + х = 8 + 7.
Потом регулировщица (точь-в-точь как Главный Весовщик) скомандовала: «Подобные, приведитесь!» – и вместо прежнего выражения перед нами очутилось новое: 5х = 15.
Что было дальше, ты, уж наверное, сам догадался. Под краном появилось: х = 3, и черная маска упала.
– Скажите, – спросила Таня, – почему это в первый раз регулировщица кричала только «аль-джебр», а теперь прибавила какую-то алькула… альбума…
– Аль-мукабалу, – подсказала Эф.
– Да, да, аль-мукабалу!
– Так ведь это и есть противопоставление. То самое действие, о котором не успел рассказать Главный Весовщик.
– Что же здесь противопоставляется?
– Неизвестные – известным. Все иксы переносятся в левую часть уравнения, все свободные числа – в правую.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13