У вас, говорят, получилось пятьдесят два, а вовсе не пять Двоек. Чтобы правильно сделать приведение подобных, надо между Пятеркой и Двойкой поставить знак умножения. Тут вам, говорят, не Аль-Джебра, да и вы, говорят, не буквы, а числа.
Выходит: если рядом стоят две цифры – это двузначное число; если же рядом стоят две буквы – это их произведение. Я решил все проверить на практике.
Потом я спросил, как написать буквами двузначное число? Оказывается, очень просто: 10а + b.
Здесь а показывает число десятков, b – число единиц. Я сейчас же записал 52 алгебраическим способом: 10 * 5 + 2 = 52.
Тут нам пришлось прекратить занятия, потому что прибежала одна Единичка. Она горько плакала. Ей ужасно хотелось стать коэффициентом при какой-нибудь букве. А мама ей сказала, что коэффициент Единица никогда не пишется, а только подразумевается. А эта Единичка подразумеваться не хотела.
Ну, мы как могли ее утешили и заодно сделали другое великое открытие: при любой букве всегда имеется коэффициент, только его не всегда видно. Коэффициент, равный Единице, превращается в невидимку. Как только Единичка об этом узнала, она сразу развеселилась. Еще бы! Это ведь не всякий может – стать невидимкой. Ну вот и все.
С горячим приветом.
Нулик-Комментатор.
P.S. А почему это в вашем репортаже алгебраической суммой называется а + b – с? До сих пор мы знали, что сумма получается только при сложении, а здесь ведь не только складывают, но и вычитают?!
«Абракадабра»
(Олег – Нулику)
Уф! Вот мы и в «Абракадабре»!
Это очень красивое кафе. Оно все прозрачное, вроде фонаря. Такие у нас встречаются на каждом шагу. Только все в нем из треугольников: стены, двери, окна. Даже вывеска, где слово «абракадабра» можно читать по-всякому – и сверху вниз, и ступеньками – как вздумается.
Когда-то это загадочное слово было магическим заклинанием. Теперь так называют всякую бессмыслицу.
Уж не потому ли нам советовали сюда зайти? Нам ведь тоже нужно расшифровать абракадабрскую записку!
Кроме вывески, за зеркальными витринами висят и другие треугольные таблички:
А одна табличка круглая – не то солнце, не то циферблат башенных часов, только без стрелок. Вместо цифр по кругу написаны русские буквы. Все они перенумерованы. А что это значит, мы так и не поняли. Абракадабра!
Нам повезло: все столики были свободны. Мы ведь намного опередили зрителей, покидавших стадион. Из-за стойки, уставленной всякими вкусными вещами, навстречу нам поднялся директор, дородный Пэ из латинского алфавита.
– Очень рад познакомиться. Сегодня у нас исключительно вкусные треугольники. – Он посмотрел на нас многозначительно и добавил:
– Уверен, что именно вам они очень понравятся.
Он подвел нас к треугольному столу и усадил на треугольные стулья. Сева, конечно, не удержался от вопроса:
– Отчего это у вас все треугольное?
– В честь Паскаля, – ответил директор.
– Но кто такой Паскаль? Нельзя ли с ним познакомиться?
– Отчего же! Это долг каждого культурного человека. Блез Паскаль – почетный гражданин Аль-Джебры. Он жил в семнадцатом веке во Франции. О! Это был щедро одаренный человек! Он известен не только как талантливый ученый – математик, физик, философ, но и как писатель. В этом вы когда-нибудь убедитесь, прочитав его интересное сатирическое сочинение «Письма к провинциалу». Но занятия литературой не помешали Паскалю изобрести первую счетную машину – прапрабабушку нашего арифмометра. Кроме того, Паскаль знаменит тем, что открыл очень важный закон физики. Это закон давления жидкостей и газов на стенки сосуда. В нашем кафе можно увидеть его в действии. Если вы захотите кофе…
– Что за вопрос! – перебил Сева. – Конечно, мы хотим кофе!
– Тогда подойдите к этим аппаратам. – Пэ подвел нас к стойке, где стояли до блеска начищенные кофеварки.
– Все эти сосуды, – продолжал он, – самой различной формы, но, заметьте, одинаковой высоты. И рассчитаны они на разное количество жидкостей. В этом – четверть литра, в этом – литр, а в этом – два литра крепкого черного кофе. Зато донышки сосудов, так же как и высота, совершенно одинаковых размеров. Они прижаты к сосудам особым механизмом с пружинками. Как только вес жидкости в сосуде становится больше силы, с которой пружинки прижимают донышко к сосуду, донышко опускается и отводится в сторону рычажком.
Мы подумали, что пружинки в разных сосудах прижимают донышко с разной силой.
– Ничего подобного, – возразил директор, – пружинки всюду совершенно одинаковые.
– Как же так? – удивились мы. – Ведь сосуды вмещают разное количество жидкости. Чем больше налито кофе, тем больше будет его давление на дно?
– В том-то и суть закона Паскаля, что давление на дно не зависит от количества жидкости в сосуде! – воскликнул Пэ. – Оно зависит лишь от высоты сосуда.
– Проверим! – сказал Сева и решительно направился к самому большому сосуду. Он уже собирался нажать кнопку, чтобы налить себе кофе, но директор его остановил:
– Как? Вы хотите выпить сразу два литра? Но ведь это же очень вредно! Из этого сосуда мы отпускаем кофе на дом многосемейным. Прошу вас за столик. Сейчас я подам вам по чашечке кофе и большую вазу с треугольниками. Они тоже приготовлены по рецепту Паскаля.
Вот не думал, что можно питаться треугольниками! При слове «треугольник» мне сейчас же вспоминаются папины чертежные принадлежности.
Слава богу, треугольники в кафе «Абракадабра» вовсе не пластмассовые, а вафельные. И с самой разной начинкой: шоколадные, фруктовые, сливочные, ореховые, миндальные. Мы перепробовали все, какие были, и так увлеклись, что не заметили, как кафе заполнилось публикой. Скоро все столики были заняты. К этому времени у нас оставалось всего-навсего три вафли. Все взяли по одной и хотели уже прикончить, но нас остановила Таня.
– Смотрите, – сказала она, – на моем треугольнике какая-то надпись.
Тогда и мы посмотрели и увидели, что на вафлях написано: «Треугольник Паскаля».
– Что-то вроде штампа фабрики, – сообразил Сева. – Как у нас «Красный Октябрь» или «Фабрика имени Бабаева».
– А это тоже фабрика Бабаева?
Таня перевернула треугольник другой стороной. Там были выпуклые числа. Мы сличили свои вафли; числа на всех были одинаковые.
Сначала нам показалось, что они расположены беспорядочно. Только слева и справа в каждом ряду обязательно стоит единица. Приглядевшись, мы увидели, что числа определенным образом чередуются. Вот, например, в пятом ряду: 1, 4, 6, 4, 1. В седьмом: 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1. Мы заметили также, что если спускаться по левой стороне треугольника, в первом наклонном столбце написаны единицы, во втором – натуральный ряд чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9… Дальше числа стоят вразброд: 1, 3, 6, 10, 15, 21… А потом и того хуже: 1, 4, 10, 20, 35, 56…
– Одним словом, абракадабра! – проворчал Сева.
– Напрасно думаете, – заметила наша соседка, латинская буква Эс. – В этих числах есть определенный порядок, и разобраться в нем вовсе не трудно.
– Ну, где тут порядок? Где? – горячился Сева.
– Немножко наблюдательности – и вы перестанете спорить. Заметьте, что любое число в этом треугольнике равно сумме двух чисел, стоящих над ним.
– Правда! – сказала Таня. – Число 28 из девятого ряда равно сумме семи и двадцати одного, которые стоят над ним.
– А 126 из десятого ряда равно сумме семидесяти и пятидесяти шести, – сосчитал Сева.
– Вот видите! Никогда не торопитесь с выводами, – сказала Эс. – Часто то, что кажется неразберихой, на самом деле имеет строгий порядок. Надо только его обнаружить.
В том-то и задача каждого ученого.
– До чего интересный треугольник придумал Паскаль! – вздохнула Таня.
– О, в этом треугольнике еще много замечательного. Сложите числа каждого ряда. В первом ряду так и будет единица. Во втором?
– Два.
– В третьем?
– Четыре. В четвертом – восемь, в пятом – шестнадцать, затем – тридцать два, шестьдесят четыре…
– Слушайте! – закричал я. – Ведь это же разные степени числа два:
2 = 1;
2 = 2;
2 = 4;
2 = 8;
2 = 16;
2 = 32.
Мне показалось, что Эс посмотрела на меня одобрительно.
– Не кажется ли вам, – сказала она, – что все эти степени можно записать одним алгебраическим выражением: 2 – два в степени эн минус единица?
– Почему же не просто два в степени эн?
– Оттого, что эн обозначает порядковый номер строки, а показатель степени здесь всегда на единицу меньше порядкового номера. В первой строке – нуль, во второй – единица, в третьей – два, и так далее.
– Ага! – догадалась Таня. – Выходит, сумма чисел, стоящих в десятой строке, будет равна двум в девятой степени, что можно изобразить так: два в степени десять минус единица: 2–1.
– Или два в степени эн минус единица, – победоносно закончил Сева.
– Очень приятно, что вы это поняли, – обрадовалась Эс. Но Сева сейчас же доказал, что радоваться рано.
– Жаль, что такое удивительное изобретение используется только для приготовления вафель, – заявил он.
Эс даже поперхнулась.
– Что вы такое говорите! Треугольник Паскаля широко применяется в Аль-Джебре. Он блестяще используется при возведении в степень двучленов. Кстати, этим вопросом занимался не только Паскаль, но и его великий современник, сэр Исаак Ньютон. С его формулой, известной под названием бинома Ньютона, вы познакомитесь несколько позже. Каждому овощу свое время…
– А! Ньютон! – небрежно отмахнулся Сева. – Это тот самый, который подошел к нам вместе с Лейбницем на Дороге Светлого Разума. Они там вдвоем что-то такое открыли, а потом разбирались, кто из них первый…
– Это «что-то такое» положило начало высшей математике. И называется оно анализом бесконечно малых и бесконечно больших величин.
И Эс, сухо попрощавшись, удалилась.
Сева так смутился, что нам его жалко стало.
Но не прошло и пяти минут, как он уже составлял какие-то новые треугольники, которые решил, конечно, назвать своим именем.
Вот один из них. Покажи его своим ученикам. Может быть, вы наведете в нем порядок.
Будь здоров. Олег.
Да! Совсем забыл ответить на твой вопрос. Ты хочешь знать, почему а + b – с называется суммой.
Дело в том, что знаки плюс и минус, обозначающие положительные и отрицательные числа, в то же время обозначают сложение и вычитание.
+ –
Что значит, например, 3 + 2? Разве это не то же самое, что 3 – 2?
И то и другое равно единице.
Потому-то в алгебре сумму и разность часто объединяют одним названием: алгебраическая сумма.
Напиши а + b – с так:
+ + –
а + b + с
и ты увидишь, что Сева нисколько не ошибся.
Горячо – Холодно
(Сева – Нулику)
Ну, Нулик, держись! Это письмо тебя наверняка удивит и обрадует, потому что… Впрочем, нет! Рассказывать, так по порядку.
Все еще торчим в «Абракадабре». То никак не могли попасть, то никак не выберемся. Совсем уж собрались уходить, но вдруг я вспомнил о стручке, сунул руку в карман – пусто!
Искали, искали, лазали по полу – хорошо, пол здесь чистый, – нигде его нет… А потом я подошел к столу, где мы сидели, и вижу: в вазе на круглой бумажной салфетке лежит один треугольник. Откуда он взялся? Помнится, мы съели все.
Очень мне захотелось взять эту вафлю. На память. Тетя Нина говорит, что это неприлично. Ну, да один раз – куда ни шло! Да и вафелька-то была совсем маленькая. Я поднял ее. Глядь! А стручок-то под ней. Неспроста!
Стали мы рассматривать вафельку. Чисел на ней не было. Зато было пять рядов букв. Буквы стояли вразброс, но мы уже знали, что беспорядок бывает обманчивым. И все-таки как мы ни старались, никаких закономерностей не открыли. Тогда Таня перевернула вафлю. На другой стороне тоже было пять рядов букв. Посмотрели – и ахнули! Прочитай, что там было написано, и ахнешь тоже:
Первая весточка от Черной Маски! Вот она, тайна, где-то рядом. Как в игре «горячо – холодно». Я чуть не закричал: «Горячо, горячо!»
– Может быть, это ключ к шифру! – сказал Олег.
Он осторожно расслоил вафлю. Вместо одной толстой получились две тоненькие. Мы положили их рядом и стали сличать буквы. Олег вынул карандаш и бумагу и написал два ряда букв:
я от вас ушел маска
а пу гвт фыим ндчоб
Вот когда мы расшифруем записку!
Но Олег снова задумался:
– Нет, тут что-то не так. В первом ряду буква «а» повторяется три раза. Но каждый раз она зашифрована по-разному. Сначала «а» – это «в», потом – «д», потом – «б». Значит, шифр все время меняется. Но как?
То-то и оно!
Мы опять приуныли.
Я с досадой взглянул на стручок. Разлегся как лодырь на круглой бумажной салфетке, а до нас ему и дела нет.
Только сейчас я заметил, что на салфетке, точь-в-точь как на круглой табличке в витрине, написаны буквы русского алфавита. Под каждой буквой номер. Мы стали рассматривать салфетку.
И вдруг стручок начал медленно вращаться. Совсем как часовая стрелка. Острый кончик его медленно скользил от буквы к букве.
– Смотрите! – сказал я. – После «я» на салфетке написано «а». И в шифре вместо «а» надо читать «я». После «о» стоит «п». И в шифре «п» означает «о». Значит, буквы надо заменять соседними.
– Ничего подобного! – заспорила Таня. – В слове «вас» буква «а» заменена буквой «в». А ведь буква «в» не соседняя, а вторая после «а». А в слове «ушел» буква «ш» заменена «ы». А это уже третья буква после «ш».
Ну и задача! Абракадабра!
Мы растерянно смотрели на вафли. Но что это! Хочешь верь, хочешь не верь: буквы на шифрованном треугольнике исчезли. Вместо них появились числа.
Треугольник Паскаля! Вот так штука!
Олег внимательно переводил глаза с бумажки на салфетку, с салфетки на вафлю.
– Смотрите-ка, в слове «вас» буква «а» заменяется буквой «в». Это как раз вторая буква после «а». Теперь поглядим на треугольник Паскаля. Там на этом месте тоже двойка. То же самое и в слове «ушел». Буква «ш» заменяется «ы», которая занимает третье место после «ш». И в треугольнике Паскаля там тоже стоит тройка.
Вот тебе и ключ к шифру! Только подойдет ли он к нашей записке?
Олег вынул ее из потайного кармана, и мы стали расшифровывать. Сначала, правда, запнулись. Понимаешь, слова записки не были заключены в треугольник. А нам надо было знать, по какой строчке треугольника расшифровывать каждое слово. Но Олег быстро догадался, как это делается: если в слове пять букв – расшифровывай по пятой строке треугольника, если восемь – по восьмой, и так далее.
Первое слово записки – «трэялрп». В нем семь букв. Но в нашем треугольнике было всего пять строк. Пришлось попросить большой треугольник. Для научных целей. Директор выбрал самый что ни на есть огромный.
Посмотрели на седьмую строчку. Там были такие числа: 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1. Подписали под ними первое слово:
1 6 15 20 15 6 1
т р э я л р п.
Теперь надо было отодвинуться по кругу от «т» на одну букву, от «р» – на шесть, от «э» – на пятнадцать… Стали отсчитывать буквы по ходу часовой стрелки. Но вот беда: стручку это почему-то не понравилось. Он упорно двигался в обратном направлении.
Тогда мы смекнули, что по часовой стрелке надо отсчитывать буквы, когда зашифровываешь. А мы-то расшифровываем! Значит, и отсчитывать следует против часовой стрелки. Отсчитали от «т» одну букву назад – получили «с», от «р» шесть букв – получили «к», от «э» пятнадцать букв – получили «о»…
И вот уже вместо дурацкого слова «трэялрп» перед нами хорошее русское слово «сколько». Точно так же расшифровали и следующее слово «вюоп». В нем четыре буквы. Посмотрели на четвертую строчку треугольника: 1, 3, 3, 1. Оказалось, что это никакое не «вюоп», а просто «было».
Так, слово за слово, распутали мы всю абракадабру. Вот что оказалось в записке:
«Сколько было у меня горошин, если Нулик сперва съел одну треть их, затем прихватил не то две, не то четыре горошины, половину остатка я потерял, а Нулик вернул мне половину того, что он прихватил; потом две горошины я подарил, а последнюю унес ветер? Стручок».
Час от часу не легче! Разгадал одну загадку – теперь разгадывай другую.
Вот какие дела, старик!
Сева.
Старый знакомый
(Таня – Нулику)
Дорогой Нулик! Мы все еще в том же заколдованном месте.
Расшифровали записку и стали решать задачу стручка. Бились, бились – ничего не выходит! Хотели уж идти в Автоматическую справочную, но Пэ отсоветовал.
– Если вы в самом деле хотите помочь одному незнакомцу, – сказал он таинственно, – решите эту задачу сами. Но для этого необходимо составить уравнение…
Легко сказать, составить уравнение! Составить треугольник Паскаля – это еще куда ни шло, но уравнение?…
– Понимаю, – посочувствовал Пэ, – вы еще не были на нашем образцовом строительстве. Иначе вы уже знали бы, с чем это едят.
– Строительство и уравнение? – покачал головой Сева.
– Ничего удивительного! Неужели вы думаете, что можно построить что-нибудь без уравнений?
Мы хотели сейчас же, сию минуту отправиться на это необыкновенное строительство, но директор напомнил, что сегодня праздник. Придется подождать до завтра.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Выходит: если рядом стоят две цифры – это двузначное число; если же рядом стоят две буквы – это их произведение. Я решил все проверить на практике.
Потом я спросил, как написать буквами двузначное число? Оказывается, очень просто: 10а + b.
Здесь а показывает число десятков, b – число единиц. Я сейчас же записал 52 алгебраическим способом: 10 * 5 + 2 = 52.
Тут нам пришлось прекратить занятия, потому что прибежала одна Единичка. Она горько плакала. Ей ужасно хотелось стать коэффициентом при какой-нибудь букве. А мама ей сказала, что коэффициент Единица никогда не пишется, а только подразумевается. А эта Единичка подразумеваться не хотела.
Ну, мы как могли ее утешили и заодно сделали другое великое открытие: при любой букве всегда имеется коэффициент, только его не всегда видно. Коэффициент, равный Единице, превращается в невидимку. Как только Единичка об этом узнала, она сразу развеселилась. Еще бы! Это ведь не всякий может – стать невидимкой. Ну вот и все.
С горячим приветом.
Нулик-Комментатор.
P.S. А почему это в вашем репортаже алгебраической суммой называется а + b – с? До сих пор мы знали, что сумма получается только при сложении, а здесь ведь не только складывают, но и вычитают?!
«Абракадабра»
(Олег – Нулику)
Уф! Вот мы и в «Абракадабре»!
Это очень красивое кафе. Оно все прозрачное, вроде фонаря. Такие у нас встречаются на каждом шагу. Только все в нем из треугольников: стены, двери, окна. Даже вывеска, где слово «абракадабра» можно читать по-всякому – и сверху вниз, и ступеньками – как вздумается.
Когда-то это загадочное слово было магическим заклинанием. Теперь так называют всякую бессмыслицу.
Уж не потому ли нам советовали сюда зайти? Нам ведь тоже нужно расшифровать абракадабрскую записку!
Кроме вывески, за зеркальными витринами висят и другие треугольные таблички:
А одна табличка круглая – не то солнце, не то циферблат башенных часов, только без стрелок. Вместо цифр по кругу написаны русские буквы. Все они перенумерованы. А что это значит, мы так и не поняли. Абракадабра!
Нам повезло: все столики были свободны. Мы ведь намного опередили зрителей, покидавших стадион. Из-за стойки, уставленной всякими вкусными вещами, навстречу нам поднялся директор, дородный Пэ из латинского алфавита.
– Очень рад познакомиться. Сегодня у нас исключительно вкусные треугольники. – Он посмотрел на нас многозначительно и добавил:
– Уверен, что именно вам они очень понравятся.
Он подвел нас к треугольному столу и усадил на треугольные стулья. Сева, конечно, не удержался от вопроса:
– Отчего это у вас все треугольное?
– В честь Паскаля, – ответил директор.
– Но кто такой Паскаль? Нельзя ли с ним познакомиться?
– Отчего же! Это долг каждого культурного человека. Блез Паскаль – почетный гражданин Аль-Джебры. Он жил в семнадцатом веке во Франции. О! Это был щедро одаренный человек! Он известен не только как талантливый ученый – математик, физик, философ, но и как писатель. В этом вы когда-нибудь убедитесь, прочитав его интересное сатирическое сочинение «Письма к провинциалу». Но занятия литературой не помешали Паскалю изобрести первую счетную машину – прапрабабушку нашего арифмометра. Кроме того, Паскаль знаменит тем, что открыл очень важный закон физики. Это закон давления жидкостей и газов на стенки сосуда. В нашем кафе можно увидеть его в действии. Если вы захотите кофе…
– Что за вопрос! – перебил Сева. – Конечно, мы хотим кофе!
– Тогда подойдите к этим аппаратам. – Пэ подвел нас к стойке, где стояли до блеска начищенные кофеварки.
– Все эти сосуды, – продолжал он, – самой различной формы, но, заметьте, одинаковой высоты. И рассчитаны они на разное количество жидкостей. В этом – четверть литра, в этом – литр, а в этом – два литра крепкого черного кофе. Зато донышки сосудов, так же как и высота, совершенно одинаковых размеров. Они прижаты к сосудам особым механизмом с пружинками. Как только вес жидкости в сосуде становится больше силы, с которой пружинки прижимают донышко к сосуду, донышко опускается и отводится в сторону рычажком.
Мы подумали, что пружинки в разных сосудах прижимают донышко с разной силой.
– Ничего подобного, – возразил директор, – пружинки всюду совершенно одинаковые.
– Как же так? – удивились мы. – Ведь сосуды вмещают разное количество жидкости. Чем больше налито кофе, тем больше будет его давление на дно?
– В том-то и суть закона Паскаля, что давление на дно не зависит от количества жидкости в сосуде! – воскликнул Пэ. – Оно зависит лишь от высоты сосуда.
– Проверим! – сказал Сева и решительно направился к самому большому сосуду. Он уже собирался нажать кнопку, чтобы налить себе кофе, но директор его остановил:
– Как? Вы хотите выпить сразу два литра? Но ведь это же очень вредно! Из этого сосуда мы отпускаем кофе на дом многосемейным. Прошу вас за столик. Сейчас я подам вам по чашечке кофе и большую вазу с треугольниками. Они тоже приготовлены по рецепту Паскаля.
Вот не думал, что можно питаться треугольниками! При слове «треугольник» мне сейчас же вспоминаются папины чертежные принадлежности.
Слава богу, треугольники в кафе «Абракадабра» вовсе не пластмассовые, а вафельные. И с самой разной начинкой: шоколадные, фруктовые, сливочные, ореховые, миндальные. Мы перепробовали все, какие были, и так увлеклись, что не заметили, как кафе заполнилось публикой. Скоро все столики были заняты. К этому времени у нас оставалось всего-навсего три вафли. Все взяли по одной и хотели уже прикончить, но нас остановила Таня.
– Смотрите, – сказала она, – на моем треугольнике какая-то надпись.
Тогда и мы посмотрели и увидели, что на вафлях написано: «Треугольник Паскаля».
– Что-то вроде штампа фабрики, – сообразил Сева. – Как у нас «Красный Октябрь» или «Фабрика имени Бабаева».
– А это тоже фабрика Бабаева?
Таня перевернула треугольник другой стороной. Там были выпуклые числа. Мы сличили свои вафли; числа на всех были одинаковые.
Сначала нам показалось, что они расположены беспорядочно. Только слева и справа в каждом ряду обязательно стоит единица. Приглядевшись, мы увидели, что числа определенным образом чередуются. Вот, например, в пятом ряду: 1, 4, 6, 4, 1. В седьмом: 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1. Мы заметили также, что если спускаться по левой стороне треугольника, в первом наклонном столбце написаны единицы, во втором – натуральный ряд чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9… Дальше числа стоят вразброд: 1, 3, 6, 10, 15, 21… А потом и того хуже: 1, 4, 10, 20, 35, 56…
– Одним словом, абракадабра! – проворчал Сева.
– Напрасно думаете, – заметила наша соседка, латинская буква Эс. – В этих числах есть определенный порядок, и разобраться в нем вовсе не трудно.
– Ну, где тут порядок? Где? – горячился Сева.
– Немножко наблюдательности – и вы перестанете спорить. Заметьте, что любое число в этом треугольнике равно сумме двух чисел, стоящих над ним.
– Правда! – сказала Таня. – Число 28 из девятого ряда равно сумме семи и двадцати одного, которые стоят над ним.
– А 126 из десятого ряда равно сумме семидесяти и пятидесяти шести, – сосчитал Сева.
– Вот видите! Никогда не торопитесь с выводами, – сказала Эс. – Часто то, что кажется неразберихой, на самом деле имеет строгий порядок. Надо только его обнаружить.
В том-то и задача каждого ученого.
– До чего интересный треугольник придумал Паскаль! – вздохнула Таня.
– О, в этом треугольнике еще много замечательного. Сложите числа каждого ряда. В первом ряду так и будет единица. Во втором?
– Два.
– В третьем?
– Четыре. В четвертом – восемь, в пятом – шестнадцать, затем – тридцать два, шестьдесят четыре…
– Слушайте! – закричал я. – Ведь это же разные степени числа два:
2 = 1;
2 = 2;
2 = 4;
2 = 8;
2 = 16;
2 = 32.
Мне показалось, что Эс посмотрела на меня одобрительно.
– Не кажется ли вам, – сказала она, – что все эти степени можно записать одним алгебраическим выражением: 2 – два в степени эн минус единица?
– Почему же не просто два в степени эн?
– Оттого, что эн обозначает порядковый номер строки, а показатель степени здесь всегда на единицу меньше порядкового номера. В первой строке – нуль, во второй – единица, в третьей – два, и так далее.
– Ага! – догадалась Таня. – Выходит, сумма чисел, стоящих в десятой строке, будет равна двум в девятой степени, что можно изобразить так: два в степени десять минус единица: 2–1.
– Или два в степени эн минус единица, – победоносно закончил Сева.
– Очень приятно, что вы это поняли, – обрадовалась Эс. Но Сева сейчас же доказал, что радоваться рано.
– Жаль, что такое удивительное изобретение используется только для приготовления вафель, – заявил он.
Эс даже поперхнулась.
– Что вы такое говорите! Треугольник Паскаля широко применяется в Аль-Джебре. Он блестяще используется при возведении в степень двучленов. Кстати, этим вопросом занимался не только Паскаль, но и его великий современник, сэр Исаак Ньютон. С его формулой, известной под названием бинома Ньютона, вы познакомитесь несколько позже. Каждому овощу свое время…
– А! Ньютон! – небрежно отмахнулся Сева. – Это тот самый, который подошел к нам вместе с Лейбницем на Дороге Светлого Разума. Они там вдвоем что-то такое открыли, а потом разбирались, кто из них первый…
– Это «что-то такое» положило начало высшей математике. И называется оно анализом бесконечно малых и бесконечно больших величин.
И Эс, сухо попрощавшись, удалилась.
Сева так смутился, что нам его жалко стало.
Но не прошло и пяти минут, как он уже составлял какие-то новые треугольники, которые решил, конечно, назвать своим именем.
Вот один из них. Покажи его своим ученикам. Может быть, вы наведете в нем порядок.
Будь здоров. Олег.
Да! Совсем забыл ответить на твой вопрос. Ты хочешь знать, почему а + b – с называется суммой.
Дело в том, что знаки плюс и минус, обозначающие положительные и отрицательные числа, в то же время обозначают сложение и вычитание.
+ –
Что значит, например, 3 + 2? Разве это не то же самое, что 3 – 2?
И то и другое равно единице.
Потому-то в алгебре сумму и разность часто объединяют одним названием: алгебраическая сумма.
Напиши а + b – с так:
+ + –
а + b + с
и ты увидишь, что Сева нисколько не ошибся.
Горячо – Холодно
(Сева – Нулику)
Ну, Нулик, держись! Это письмо тебя наверняка удивит и обрадует, потому что… Впрочем, нет! Рассказывать, так по порядку.
Все еще торчим в «Абракадабре». То никак не могли попасть, то никак не выберемся. Совсем уж собрались уходить, но вдруг я вспомнил о стручке, сунул руку в карман – пусто!
Искали, искали, лазали по полу – хорошо, пол здесь чистый, – нигде его нет… А потом я подошел к столу, где мы сидели, и вижу: в вазе на круглой бумажной салфетке лежит один треугольник. Откуда он взялся? Помнится, мы съели все.
Очень мне захотелось взять эту вафлю. На память. Тетя Нина говорит, что это неприлично. Ну, да один раз – куда ни шло! Да и вафелька-то была совсем маленькая. Я поднял ее. Глядь! А стручок-то под ней. Неспроста!
Стали мы рассматривать вафельку. Чисел на ней не было. Зато было пять рядов букв. Буквы стояли вразброс, но мы уже знали, что беспорядок бывает обманчивым. И все-таки как мы ни старались, никаких закономерностей не открыли. Тогда Таня перевернула вафлю. На другой стороне тоже было пять рядов букв. Посмотрели – и ахнули! Прочитай, что там было написано, и ахнешь тоже:
Первая весточка от Черной Маски! Вот она, тайна, где-то рядом. Как в игре «горячо – холодно». Я чуть не закричал: «Горячо, горячо!»
– Может быть, это ключ к шифру! – сказал Олег.
Он осторожно расслоил вафлю. Вместо одной толстой получились две тоненькие. Мы положили их рядом и стали сличать буквы. Олег вынул карандаш и бумагу и написал два ряда букв:
я от вас ушел маска
а пу гвт фыим ндчоб
Вот когда мы расшифруем записку!
Но Олег снова задумался:
– Нет, тут что-то не так. В первом ряду буква «а» повторяется три раза. Но каждый раз она зашифрована по-разному. Сначала «а» – это «в», потом – «д», потом – «б». Значит, шифр все время меняется. Но как?
То-то и оно!
Мы опять приуныли.
Я с досадой взглянул на стручок. Разлегся как лодырь на круглой бумажной салфетке, а до нас ему и дела нет.
Только сейчас я заметил, что на салфетке, точь-в-точь как на круглой табличке в витрине, написаны буквы русского алфавита. Под каждой буквой номер. Мы стали рассматривать салфетку.
И вдруг стручок начал медленно вращаться. Совсем как часовая стрелка. Острый кончик его медленно скользил от буквы к букве.
– Смотрите! – сказал я. – После «я» на салфетке написано «а». И в шифре вместо «а» надо читать «я». После «о» стоит «п». И в шифре «п» означает «о». Значит, буквы надо заменять соседними.
– Ничего подобного! – заспорила Таня. – В слове «вас» буква «а» заменена буквой «в». А ведь буква «в» не соседняя, а вторая после «а». А в слове «ушел» буква «ш» заменена «ы». А это уже третья буква после «ш».
Ну и задача! Абракадабра!
Мы растерянно смотрели на вафли. Но что это! Хочешь верь, хочешь не верь: буквы на шифрованном треугольнике исчезли. Вместо них появились числа.
Треугольник Паскаля! Вот так штука!
Олег внимательно переводил глаза с бумажки на салфетку, с салфетки на вафлю.
– Смотрите-ка, в слове «вас» буква «а» заменяется буквой «в». Это как раз вторая буква после «а». Теперь поглядим на треугольник Паскаля. Там на этом месте тоже двойка. То же самое и в слове «ушел». Буква «ш» заменяется «ы», которая занимает третье место после «ш». И в треугольнике Паскаля там тоже стоит тройка.
Вот тебе и ключ к шифру! Только подойдет ли он к нашей записке?
Олег вынул ее из потайного кармана, и мы стали расшифровывать. Сначала, правда, запнулись. Понимаешь, слова записки не были заключены в треугольник. А нам надо было знать, по какой строчке треугольника расшифровывать каждое слово. Но Олег быстро догадался, как это делается: если в слове пять букв – расшифровывай по пятой строке треугольника, если восемь – по восьмой, и так далее.
Первое слово записки – «трэялрп». В нем семь букв. Но в нашем треугольнике было всего пять строк. Пришлось попросить большой треугольник. Для научных целей. Директор выбрал самый что ни на есть огромный.
Посмотрели на седьмую строчку. Там были такие числа: 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1. Подписали под ними первое слово:
1 6 15 20 15 6 1
т р э я л р п.
Теперь надо было отодвинуться по кругу от «т» на одну букву, от «р» – на шесть, от «э» – на пятнадцать… Стали отсчитывать буквы по ходу часовой стрелки. Но вот беда: стручку это почему-то не понравилось. Он упорно двигался в обратном направлении.
Тогда мы смекнули, что по часовой стрелке надо отсчитывать буквы, когда зашифровываешь. А мы-то расшифровываем! Значит, и отсчитывать следует против часовой стрелки. Отсчитали от «т» одну букву назад – получили «с», от «р» шесть букв – получили «к», от «э» пятнадцать букв – получили «о»…
И вот уже вместо дурацкого слова «трэялрп» перед нами хорошее русское слово «сколько». Точно так же расшифровали и следующее слово «вюоп». В нем четыре буквы. Посмотрели на четвертую строчку треугольника: 1, 3, 3, 1. Оказалось, что это никакое не «вюоп», а просто «было».
Так, слово за слово, распутали мы всю абракадабру. Вот что оказалось в записке:
«Сколько было у меня горошин, если Нулик сперва съел одну треть их, затем прихватил не то две, не то четыре горошины, половину остатка я потерял, а Нулик вернул мне половину того, что он прихватил; потом две горошины я подарил, а последнюю унес ветер? Стручок».
Час от часу не легче! Разгадал одну загадку – теперь разгадывай другую.
Вот какие дела, старик!
Сева.
Старый знакомый
(Таня – Нулику)
Дорогой Нулик! Мы все еще в том же заколдованном месте.
Расшифровали записку и стали решать задачу стручка. Бились, бились – ничего не выходит! Хотели уж идти в Автоматическую справочную, но Пэ отсоветовал.
– Если вы в самом деле хотите помочь одному незнакомцу, – сказал он таинственно, – решите эту задачу сами. Но для этого необходимо составить уравнение…
Легко сказать, составить уравнение! Составить треугольник Паскаля – это еще куда ни шло, но уравнение?…
– Понимаю, – посочувствовал Пэ, – вы еще не были на нашем образцовом строительстве. Иначе вы уже знали бы, с чем это едят.
– Строительство и уравнение? – покачал головой Сева.
– Ничего удивительного! Неужели вы думаете, что можно построить что-нибудь без уравнений?
Мы хотели сейчас же, сию минуту отправиться на это необыкновенное строительство, но директор напомнил, что сегодня праздник. Придется подождать до завтра.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13