Даже при использовании компьютера перебор возможных вариантов мог бы затянуться на столетие. Но Хакен и Аппель не пали духом и принялись разыскивать удачные ходы и стратегии, использование которых позволило бы ускорить проверку карт и вариантов их раскрашивания. В 1975 году, через пять лет после того как они приступили к работе над проблемой четырех красок, Хакен и Аппель стали свидетелями, что компьютер не только выполняет вычисления, но и делает нечто большее, а именно привносит в работу новые идеи. Хакен и Аппель вспоминают поворотный пункт в их исследовании: «Когда мы дошли до этого пункта, программа начала удивлять нас. Первое время мы проверяли от руки все ее вычисления и могли всегда предсказать, как она будет работать в любой ситуации; но теперь она неожиданно повела себя, как шахматная машина. Программа стала выдавать составные стратегии, используя всевозможные трюки, которым она «научилась», и часто предлагаемые программой подходы оказывались более умными, чем те, которые могли предложить мы сами. Так программа стала учить нас, как действовать, чего мы от нее никак не ожидали. В каком-то смысле программа превзошла нас, ее создателей, не только в механической, но и в «интеллектуальной» части работы».
В июне 1976 года, затратив 1200 часов машинного времени, Хакен и Аппель заявили во всеуслышание, что им удалось проанализировать все 1482 карты и для раскрашивания ни одной из них не требуется более четырех красок. Проблема четырех красок Гатри была наконец решена. Следует особенно подчеркнуть, что решение проблемы четырех красок стало первым математическим доказательством, в котором роль компьютера не сводилась к ускорению вычислений, — компьютер привнес в решение проблемы нечто гораздо большее: его роль была столь значительной, что без компьютера получить доказательство было бы невозможно. Решение проблемы четырех красок с помощью компьютера было выдающимся достижением, но в то же время оно вызвало у математического сообщества чувство тревоги, так как проверка доказательства в традиционном смысле не представлялась возможной.
Прежде, чем опубликовать решение Хакена и Аппеля на страницах «Illinois Journal of Mathematics», редакторам было необходимо подвергнуть его тщательному рецензированию в каком-то не известном ранее смысле. Традиционное рецензирование было невозможно, поэтому было решено ввести программу Хакена и Аппеля в независимый компьютер с тем, чтобы убедиться, что результат останется тем же.
Такое нестандартное рецензирование привело в ярость некоторых математиков, утверждавших, будто компьютерная поверка неадекватна, так как не дает гарантии от внезапного отказа в недрах компьютера, который может стать причиной сбоя в логике. X.П.Ф. Суиннертон-Дайер высказал следующее замечание по поводу компьютерных доказательств: «Когда теорема доказана с помощью компьютера, невозможно изложить доказательство в соответствии с традиционным критерием — так, чтобы достаточно терпеливый читатель смог шаг за шагом повторить доказательство и убедиться в том, что оно верно. Даже если бы кто-нибудь взял на себя труд распечатать все программы и все данные, использованные в доказательстве, нельзя быть уверенным в абсолютно правильной работе компьютера. Кроме того, у любого современного компьютера по каким-то неясным причинам могут быть слабые места как в программном обеспечении, так и в электронном оборудовании, которые могут приводить к сбоям так редко, что остаются необнаруженными на протяжении нескольких лет, и поэтому в работе каждого компьютера могут быть незамеченные ошибки».
До какой-то степени поведение математического сообщества, предпочитавшего избегать компьютеров вместо того, чтобы их использовать, можно рассматривать как своего рода паранойю. Джозеф Келлер как-то заметил, что в его университете (Стэнфорде) математический факультет имел меньше компьютеров, чем любой другой факультет, в том числе факультет французской литературы. Те математики, которые отказались признать работу Хакена и Аппеля, не могли отрицать, что все математики соглашались принимать традиционные доказательства, даже если они сами не проверяли их. В случае доказательства Великой теоремы Ферма, представленного Уайлсом, менее 10 % специалистов по теории чисел полностью понимали его рассуждения, но все 100 % сочли, что доказательство правильное. Те, кто не смог до конца понять все тонкости доказательства, приняли его потому, что доказательство признали другие—те, кто все понял, шаг за шагом проследил весь ход доказательства и проверил каждую деталь.
Еще более ярким примером может служить так называемое доказательство классификации конечных простых групп, состоящее из 500 отдельных работ, написанных более чем сотней математиков. Говорят, что полностью разобрался в этом доказательстве (общим объемом в 15000 страниц) один-единственный человек на свете — скончавшийся в 1992 году Дэниэл Горенстейн. Тем не менее, математическое сообщество в целом могло быть спокойным: каждый фрагмент доказательства был изучен группой специалистов, и каждая строка из 15000 страниц была десятки раз проверена и перепроверена. Что же касается проблемы четырех красок, то с ней дело обстояло иначе: она никем не была и не будет полностью проверена.
За двадцать лет, прошедших с тех пор, как Хакен и Аппель сообщили о доказательстве теоремы о четырех красках, компьютеры неоднократно использовались для решения других, менее известных, но столь же важных проблем. В математике — области, не ведавшей ранее вмешательства столь современной технологии, как компьютеры, — все больше и больше специалистов неохотно осваивали использование кремниевой логики и разделяли мнение Вольфганга Хакена: «Всякий, в любом месте доказательства, может полностью вникнуть в детали и проверить их. То, что компьютер может за несколько часов «просмотреть» столько деталей, сколько человек не сможет просмотреть за всю свою жизнь, не меняет в принципе представление о математическом доказательстве. Меняется не теория, а практика математического доказательства».
Лишь совсем недавно математики наделили компьютеры еще большей властью, используя так называемые генетические алгоритмы. Это компьютерные программы, общая структура которых составлена математиком, но тонкие детали определяются самим компьютером. Некоторые направления, или «линии», в программе обладают способностью мутировать и эволюционировать наподобие индивидуальных генов в органической ДНК. Отправляясь от исходной материнской программы, компьютер может порождать сотни дочерних программ, слегка отличающихся из-за введенных компьютером случайных мутаций. Дочерние программы используются в попытках решения проблемы. Большинство программ бесславно не срабатывают, а та, которой удается дальше других продвинуться к желанному результату, используется в качестве материнской программы, порождающей новые поколение дочерних программ. Выживание наиболее приспособленного интерпретируется как выделение той из дочерних программ, которая позволяет особенно близко подойти к решению проблемы. Математики надеются, что, повторяя этот процесс, программа без вмешательства извне приблизится к решению проблемы. В некоторых случаях такой подход оказался весьма успешным.
Специалист в области «computer science» Эдвард Френкин даже заявил, что когда-нибудь компьютер найдет решение какой-нибудь важной проблемы без помощи математиков. Десять лет назад Френкин учредил премию Лейбница размером в 100000 долларов. Премия будет присуждена первой компьютерной программе, способной сформулировать и доказать теорему, которая окажет «глубокое влияние на развитие математики». Будет ли когда-нибудь присуждена премия Лейбница — вопрос спорный, но одно можно сказать со всей определенностью: компьютерной программе всегда будет недоставать прозрачности традиционных доказательств, и в сравнении с ними она будет проигрывать, уступая им в глубине. Математическое доказательство должно не только давать ответ на поставленный вопрос, но и способствовать пониманию, почему ответ именно таков, каков он есть, и в чем именно состоит его суть. Задавая вопрос на входе в черный ящик и получая ответ на выходе из него, мы увеличиваем знание, но не понимание. Из представленного Уайлсом доказательства Великой теоремы Ферма мы узнали, что уравнение Ферма не допускает решений в целых числах потому, что любое такое решение привело бы к противоречию с гипотезой Таниямы-Шимуры. Уайлс не только ответил на вызов Ферма, но и обосновал свой ответ, указав, что он должен быть именно таким, а не другим, чтобы не нарушить фундаментальное соответствие между эллиптическими кривыми и модулярными формами.
Математик Рональд Грэхем описывает недостаточную глубину компьютерных доказательств на примере одной из великих не доказанных по сей день гипотез — гипотезы Римана: «Я был бы весьма и весьма разочарован, если бы можно было подключиться к компьютеру, спросить у него, верна ли гипотеза Римана, и получить в ответ: "Да, верна, но Вы не сможете понять доказательство"». Математик Филип Дэвис, похожим образом отреагировал на решение проблемы четырех красок: «Моей первой реакцией было: "Потрясающе! Как им удалось решить эту проблему?". Я ожидал какой-то блестящей новой идеи, красота которой перевернула бы всю мою жизнь. Но когда я услышал в ответ: "Они решили проблему, перебрав тысячи случаев и пропустив все варианты один за другим через компьютер", — меня охватило глубочайшее уныние. Я подумал: "Значит, все сводилось к простому перебору, и проблема четырех красок вовсе не заслуживала названия хорошей проблемы"».
Заслуженная награда
Предложенное Уайлсом доказательство Великой теоремы Ферма опирается на доказательство гипотезы, родившейся в 50-е годы XX века. Его рассуждения используют ряд математических методов, созданных за последнее десятилетие, в том числе им самим. Доказательство Уайлса — шедевр современной математики, что неизбежно приводит к заключению: оно не совпадает с доказательством Ферма. Ферма написал на полях своего экземпляра «Арифметики» Диофанта, что недостаток места не позволяет ему привести доказательство. Доказательство Уайлса занимает 100 страниц убористого математического текста и заведомо удовлетворяет критерию Ферма (это доказательство невозможно воспроизвести на полях «Арифметики»), но Ферма не были известны ни модулярные формы, ни гипотеза Таниямы-Шимуры, ни группы Галуа, ни метод Колывагина-Флаха.
Но если у Ферма не было доказательства Уайлса, то что у него было? Математики разделились на два лагеря. Твердолобые скептики склоняются к мнению, что Великая теорема Ферма была результатом редкого момента слабости математического гения XVII века. Они утверждают, что хотя Ферма и написал на полях «Арифметики» Диофанта: «Я нашел поистине удивительное доказательство», — в действительности он нашел доказательство, содержавшее ошибку. Вполне возможно, что доказательство Ферма строилось примерно так же, как доказательство Коши и Ламе.
Другие математики, назовем их романтическими оптимистами, убеждены в том, что Ферма мог найти какое-то гениальное доказательство. Каким бы ни было это гипотетическое доказательство, оно должно было быть основано на методах XVII века и использовать аргумент настолько тонкий, что он ускользнул впоследствии от всех — от Эйлера до Уайлса. Несмотря на публикацию доказательства Уайлса, существует много математиков, которые уверены в том, что им удастся добиться широкого признания и славы, открыв первоначальное доказательство Ферма.
Хотя для решения загадки XVII века Уайлсу пришлось прибегнуть к методам XX века, тем не менее найденное им доказательство Великой теоремы Ферма удовлетворяло всем правилам, установленным комиссией Вольфскеля. 27 июня 1997 года Эндрю Уайлс получил премию Вольфскеля в размере 50000 долларов. И снова Ферма и Уайлс попали на первые полосы газетных изданий всего мира. Великая теорема Ферма была официально признана доказанной.
Какая проблема теперь привлечет внимание Уайлса? В течение семи лет он работал над доказательством Великой теоремы Ферма в обстановке полной секретности. Неудивительно, что он отказывается отвечать на вопросы о том, над чем работает сейчас, но над чем бы Уайлс ни работал, не подлежит сомнению, что новая проблема никогда не захватит его с такой полнотой, как Великая теорема Ферма. «Ни одна другая проблема не будет означать для меня так много. Великая теорема Ферма была моей детской мечтой. Заменить ее не сможет ничто. Я доказал ее. Уверен, что попытаюсь решить какие-то другие проблемы. Некоторые из проблем очень трудны, и если мне удастся решить какую-нибудь из них, то это, несомненно, снова даст мне ощущение достижения. Но нет ни одной проблемы в математике, которая могла бы захватить меня так, как захватила Великая теорема Ферма.
Мне выпало счастье осуществить в моей взрослой жизни то, что было мечтой моего детства. Я знаю, что это редкая удача, но если во взрослом состоянии вам представляется возможность заниматься чем-то таким, что значит для вас так много, то это занятие служит для вас наградой более высокой, чем что-либо еще. Доказав Великую теорему Ферма, я не мог не ощутить чувство потери, но в то же время меня охватило чувство бескрайней свободы. На протяжении восьми лет я был настолько поглощен ее доказательством, что не мог думать ни о чем другом. Я думал о теореме Ферма все время — с утра до ночи. Для размышлений об одном и том же — срок очень долгий. Теперь эта одиссея подошла к концу. Мой разум обрел покой».
Приложения
Приложение 1. Доказательство теоремы Пифагора
Цель доказательства — убедиться в том, что теорема Пифагора верна для всех прямоугольных треугольников. Треугольник, изображенный на рисунке слева, может быть любым прямоугольным треугольником, так как длины его сторон не указаны, а обозначены буквами x, y и z . Справа из четырех одинаковых прямоугольных треугольников и наклоненного квадрата составлен квадрат больших размеров. Площадь большего квадрата — ключ к доказательству.
Площадь большого квадрата можно вычислить двумя способами.
1-й способ. Измеряем площадь большого квадрата как единой фигуры. Длина каждой стороны равна x +y . Следовательно, площадь большого квадрата равна (x +y )2.
2-й способ. Измеряем площадь каждого элемента большого квадрата. Площадь каждого треугольника равна xy /2. Площадь наклонного квадрата равна z 2. Следовательно, площадь большого квадрата равна 4 ? (площадь каждого треугольника) + (площадь наклонного квадрата) = 4·xy /2 + z 2. 1-й и 2-й способы приводят к двум различным выражениям. Оба выражения должны быть равны, так как они представляют различные записи одной и той же площади. Следовательно,
(x + y)2 = 4·xy/2 + z2 .
Раскроем скобки и упростим полученные выражения:
x2 + 2xy + y2 = 2xy + z2 .
Члены 2xy , стоящие в левой и правой частях равенства, взаимно уничтожаются, и мы получаем
x2 + y2 = z2 .
Это и есть теорема Пифагора!
Приведенное доказательство остается в силе для любых прямоугольных треугольников. Длины сторон треугольника в нашем доказательстве обозначены буквами x, y и z , которые могут быть длинами сторон любого прямоугольного треугольника.
Приложение 2. Доказательство Евклида иррациональности числа ?2
Цель Евклида состояла в доказательстве того, что число ?2 не представимо в виде дроби. Поскольку Евклид использовал доказательство от противного, первый шаг состоял в предположении, что верно противоположное утверждение, т. е. что число ?2 представимо в виде некоторой неизвестной дроби. Запишем эту дробь в виде p /q , где p и q — два целых числа.
Прежде чем приступать к самому доказательству, необходимо напомнить некоторые основные свойства дробей и четных чисел.
1) Если взять любое число и умножить его на 2, то произведение должно быть четным. По существу, это определение четного числа.
2) Если квадрат некоторого числа четен, то и само число должно быть четным.
3) Наконец, дроби можно сокращать: 16/24 это то же самое число, что и 8/12. Чтобы убедиться в этом разделите числитель и знаменатель дроби 16/24 на общий множитель 2. Кроме того, число 8/12 это же самое, что и 4/6, а 4/6 это же самое, что и 2/3. Дробь 2/3 не подлежит дальнейшему сокращению, так как 2 и 3 не имеют общих множителей. Дробь невозможно сокращать до бесконечности.
Напомним, что по мнению Евклида число ?2 не представимо в виде дроби. Но поскольку Евклид использовал доказательство от противного, он начал с предположения, что дробь p /q , равная числу ?2, существует, а затем исследовал, к каким последствиям приводит такое предположение:
?2 = p /q .
Возводя обе части равенства в квадрат, получаем
2 = p 2/q 2.
После несложного преобразования запишем это равенство в виде
2q2 = p2 .
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36
В июне 1976 года, затратив 1200 часов машинного времени, Хакен и Аппель заявили во всеуслышание, что им удалось проанализировать все 1482 карты и для раскрашивания ни одной из них не требуется более четырех красок. Проблема четырех красок Гатри была наконец решена. Следует особенно подчеркнуть, что решение проблемы четырех красок стало первым математическим доказательством, в котором роль компьютера не сводилась к ускорению вычислений, — компьютер привнес в решение проблемы нечто гораздо большее: его роль была столь значительной, что без компьютера получить доказательство было бы невозможно. Решение проблемы четырех красок с помощью компьютера было выдающимся достижением, но в то же время оно вызвало у математического сообщества чувство тревоги, так как проверка доказательства в традиционном смысле не представлялась возможной.
Прежде, чем опубликовать решение Хакена и Аппеля на страницах «Illinois Journal of Mathematics», редакторам было необходимо подвергнуть его тщательному рецензированию в каком-то не известном ранее смысле. Традиционное рецензирование было невозможно, поэтому было решено ввести программу Хакена и Аппеля в независимый компьютер с тем, чтобы убедиться, что результат останется тем же.
Такое нестандартное рецензирование привело в ярость некоторых математиков, утверждавших, будто компьютерная поверка неадекватна, так как не дает гарантии от внезапного отказа в недрах компьютера, который может стать причиной сбоя в логике. X.П.Ф. Суиннертон-Дайер высказал следующее замечание по поводу компьютерных доказательств: «Когда теорема доказана с помощью компьютера, невозможно изложить доказательство в соответствии с традиционным критерием — так, чтобы достаточно терпеливый читатель смог шаг за шагом повторить доказательство и убедиться в том, что оно верно. Даже если бы кто-нибудь взял на себя труд распечатать все программы и все данные, использованные в доказательстве, нельзя быть уверенным в абсолютно правильной работе компьютера. Кроме того, у любого современного компьютера по каким-то неясным причинам могут быть слабые места как в программном обеспечении, так и в электронном оборудовании, которые могут приводить к сбоям так редко, что остаются необнаруженными на протяжении нескольких лет, и поэтому в работе каждого компьютера могут быть незамеченные ошибки».
До какой-то степени поведение математического сообщества, предпочитавшего избегать компьютеров вместо того, чтобы их использовать, можно рассматривать как своего рода паранойю. Джозеф Келлер как-то заметил, что в его университете (Стэнфорде) математический факультет имел меньше компьютеров, чем любой другой факультет, в том числе факультет французской литературы. Те математики, которые отказались признать работу Хакена и Аппеля, не могли отрицать, что все математики соглашались принимать традиционные доказательства, даже если они сами не проверяли их. В случае доказательства Великой теоремы Ферма, представленного Уайлсом, менее 10 % специалистов по теории чисел полностью понимали его рассуждения, но все 100 % сочли, что доказательство правильное. Те, кто не смог до конца понять все тонкости доказательства, приняли его потому, что доказательство признали другие—те, кто все понял, шаг за шагом проследил весь ход доказательства и проверил каждую деталь.
Еще более ярким примером может служить так называемое доказательство классификации конечных простых групп, состоящее из 500 отдельных работ, написанных более чем сотней математиков. Говорят, что полностью разобрался в этом доказательстве (общим объемом в 15000 страниц) один-единственный человек на свете — скончавшийся в 1992 году Дэниэл Горенстейн. Тем не менее, математическое сообщество в целом могло быть спокойным: каждый фрагмент доказательства был изучен группой специалистов, и каждая строка из 15000 страниц была десятки раз проверена и перепроверена. Что же касается проблемы четырех красок, то с ней дело обстояло иначе: она никем не была и не будет полностью проверена.
За двадцать лет, прошедших с тех пор, как Хакен и Аппель сообщили о доказательстве теоремы о четырех красках, компьютеры неоднократно использовались для решения других, менее известных, но столь же важных проблем. В математике — области, не ведавшей ранее вмешательства столь современной технологии, как компьютеры, — все больше и больше специалистов неохотно осваивали использование кремниевой логики и разделяли мнение Вольфганга Хакена: «Всякий, в любом месте доказательства, может полностью вникнуть в детали и проверить их. То, что компьютер может за несколько часов «просмотреть» столько деталей, сколько человек не сможет просмотреть за всю свою жизнь, не меняет в принципе представление о математическом доказательстве. Меняется не теория, а практика математического доказательства».
Лишь совсем недавно математики наделили компьютеры еще большей властью, используя так называемые генетические алгоритмы. Это компьютерные программы, общая структура которых составлена математиком, но тонкие детали определяются самим компьютером. Некоторые направления, или «линии», в программе обладают способностью мутировать и эволюционировать наподобие индивидуальных генов в органической ДНК. Отправляясь от исходной материнской программы, компьютер может порождать сотни дочерних программ, слегка отличающихся из-за введенных компьютером случайных мутаций. Дочерние программы используются в попытках решения проблемы. Большинство программ бесславно не срабатывают, а та, которой удается дальше других продвинуться к желанному результату, используется в качестве материнской программы, порождающей новые поколение дочерних программ. Выживание наиболее приспособленного интерпретируется как выделение той из дочерних программ, которая позволяет особенно близко подойти к решению проблемы. Математики надеются, что, повторяя этот процесс, программа без вмешательства извне приблизится к решению проблемы. В некоторых случаях такой подход оказался весьма успешным.
Специалист в области «computer science» Эдвард Френкин даже заявил, что когда-нибудь компьютер найдет решение какой-нибудь важной проблемы без помощи математиков. Десять лет назад Френкин учредил премию Лейбница размером в 100000 долларов. Премия будет присуждена первой компьютерной программе, способной сформулировать и доказать теорему, которая окажет «глубокое влияние на развитие математики». Будет ли когда-нибудь присуждена премия Лейбница — вопрос спорный, но одно можно сказать со всей определенностью: компьютерной программе всегда будет недоставать прозрачности традиционных доказательств, и в сравнении с ними она будет проигрывать, уступая им в глубине. Математическое доказательство должно не только давать ответ на поставленный вопрос, но и способствовать пониманию, почему ответ именно таков, каков он есть, и в чем именно состоит его суть. Задавая вопрос на входе в черный ящик и получая ответ на выходе из него, мы увеличиваем знание, но не понимание. Из представленного Уайлсом доказательства Великой теоремы Ферма мы узнали, что уравнение Ферма не допускает решений в целых числах потому, что любое такое решение привело бы к противоречию с гипотезой Таниямы-Шимуры. Уайлс не только ответил на вызов Ферма, но и обосновал свой ответ, указав, что он должен быть именно таким, а не другим, чтобы не нарушить фундаментальное соответствие между эллиптическими кривыми и модулярными формами.
Математик Рональд Грэхем описывает недостаточную глубину компьютерных доказательств на примере одной из великих не доказанных по сей день гипотез — гипотезы Римана: «Я был бы весьма и весьма разочарован, если бы можно было подключиться к компьютеру, спросить у него, верна ли гипотеза Римана, и получить в ответ: "Да, верна, но Вы не сможете понять доказательство"». Математик Филип Дэвис, похожим образом отреагировал на решение проблемы четырех красок: «Моей первой реакцией было: "Потрясающе! Как им удалось решить эту проблему?". Я ожидал какой-то блестящей новой идеи, красота которой перевернула бы всю мою жизнь. Но когда я услышал в ответ: "Они решили проблему, перебрав тысячи случаев и пропустив все варианты один за другим через компьютер", — меня охватило глубочайшее уныние. Я подумал: "Значит, все сводилось к простому перебору, и проблема четырех красок вовсе не заслуживала названия хорошей проблемы"».
Заслуженная награда
Предложенное Уайлсом доказательство Великой теоремы Ферма опирается на доказательство гипотезы, родившейся в 50-е годы XX века. Его рассуждения используют ряд математических методов, созданных за последнее десятилетие, в том числе им самим. Доказательство Уайлса — шедевр современной математики, что неизбежно приводит к заключению: оно не совпадает с доказательством Ферма. Ферма написал на полях своего экземпляра «Арифметики» Диофанта, что недостаток места не позволяет ему привести доказательство. Доказательство Уайлса занимает 100 страниц убористого математического текста и заведомо удовлетворяет критерию Ферма (это доказательство невозможно воспроизвести на полях «Арифметики»), но Ферма не были известны ни модулярные формы, ни гипотеза Таниямы-Шимуры, ни группы Галуа, ни метод Колывагина-Флаха.
Но если у Ферма не было доказательства Уайлса, то что у него было? Математики разделились на два лагеря. Твердолобые скептики склоняются к мнению, что Великая теорема Ферма была результатом редкого момента слабости математического гения XVII века. Они утверждают, что хотя Ферма и написал на полях «Арифметики» Диофанта: «Я нашел поистине удивительное доказательство», — в действительности он нашел доказательство, содержавшее ошибку. Вполне возможно, что доказательство Ферма строилось примерно так же, как доказательство Коши и Ламе.
Другие математики, назовем их романтическими оптимистами, убеждены в том, что Ферма мог найти какое-то гениальное доказательство. Каким бы ни было это гипотетическое доказательство, оно должно было быть основано на методах XVII века и использовать аргумент настолько тонкий, что он ускользнул впоследствии от всех — от Эйлера до Уайлса. Несмотря на публикацию доказательства Уайлса, существует много математиков, которые уверены в том, что им удастся добиться широкого признания и славы, открыв первоначальное доказательство Ферма.
Хотя для решения загадки XVII века Уайлсу пришлось прибегнуть к методам XX века, тем не менее найденное им доказательство Великой теоремы Ферма удовлетворяло всем правилам, установленным комиссией Вольфскеля. 27 июня 1997 года Эндрю Уайлс получил премию Вольфскеля в размере 50000 долларов. И снова Ферма и Уайлс попали на первые полосы газетных изданий всего мира. Великая теорема Ферма была официально признана доказанной.
Какая проблема теперь привлечет внимание Уайлса? В течение семи лет он работал над доказательством Великой теоремы Ферма в обстановке полной секретности. Неудивительно, что он отказывается отвечать на вопросы о том, над чем работает сейчас, но над чем бы Уайлс ни работал, не подлежит сомнению, что новая проблема никогда не захватит его с такой полнотой, как Великая теорема Ферма. «Ни одна другая проблема не будет означать для меня так много. Великая теорема Ферма была моей детской мечтой. Заменить ее не сможет ничто. Я доказал ее. Уверен, что попытаюсь решить какие-то другие проблемы. Некоторые из проблем очень трудны, и если мне удастся решить какую-нибудь из них, то это, несомненно, снова даст мне ощущение достижения. Но нет ни одной проблемы в математике, которая могла бы захватить меня так, как захватила Великая теорема Ферма.
Мне выпало счастье осуществить в моей взрослой жизни то, что было мечтой моего детства. Я знаю, что это редкая удача, но если во взрослом состоянии вам представляется возможность заниматься чем-то таким, что значит для вас так много, то это занятие служит для вас наградой более высокой, чем что-либо еще. Доказав Великую теорему Ферма, я не мог не ощутить чувство потери, но в то же время меня охватило чувство бескрайней свободы. На протяжении восьми лет я был настолько поглощен ее доказательством, что не мог думать ни о чем другом. Я думал о теореме Ферма все время — с утра до ночи. Для размышлений об одном и том же — срок очень долгий. Теперь эта одиссея подошла к концу. Мой разум обрел покой».
Приложения
Приложение 1. Доказательство теоремы Пифагора
Цель доказательства — убедиться в том, что теорема Пифагора верна для всех прямоугольных треугольников. Треугольник, изображенный на рисунке слева, может быть любым прямоугольным треугольником, так как длины его сторон не указаны, а обозначены буквами x, y и z . Справа из четырех одинаковых прямоугольных треугольников и наклоненного квадрата составлен квадрат больших размеров. Площадь большего квадрата — ключ к доказательству.
Площадь большого квадрата можно вычислить двумя способами.
1-й способ. Измеряем площадь большого квадрата как единой фигуры. Длина каждой стороны равна x +y . Следовательно, площадь большого квадрата равна (x +y )2.
2-й способ. Измеряем площадь каждого элемента большого квадрата. Площадь каждого треугольника равна xy /2. Площадь наклонного квадрата равна z 2. Следовательно, площадь большого квадрата равна 4 ? (площадь каждого треугольника) + (площадь наклонного квадрата) = 4·xy /2 + z 2. 1-й и 2-й способы приводят к двум различным выражениям. Оба выражения должны быть равны, так как они представляют различные записи одной и той же площади. Следовательно,
(x + y)2 = 4·xy/2 + z2 .
Раскроем скобки и упростим полученные выражения:
x2 + 2xy + y2 = 2xy + z2 .
Члены 2xy , стоящие в левой и правой частях равенства, взаимно уничтожаются, и мы получаем
x2 + y2 = z2 .
Это и есть теорема Пифагора!
Приведенное доказательство остается в силе для любых прямоугольных треугольников. Длины сторон треугольника в нашем доказательстве обозначены буквами x, y и z , которые могут быть длинами сторон любого прямоугольного треугольника.
Приложение 2. Доказательство Евклида иррациональности числа ?2
Цель Евклида состояла в доказательстве того, что число ?2 не представимо в виде дроби. Поскольку Евклид использовал доказательство от противного, первый шаг состоял в предположении, что верно противоположное утверждение, т. е. что число ?2 представимо в виде некоторой неизвестной дроби. Запишем эту дробь в виде p /q , где p и q — два целых числа.
Прежде чем приступать к самому доказательству, необходимо напомнить некоторые основные свойства дробей и четных чисел.
1) Если взять любое число и умножить его на 2, то произведение должно быть четным. По существу, это определение четного числа.
2) Если квадрат некоторого числа четен, то и само число должно быть четным.
3) Наконец, дроби можно сокращать: 16/24 это то же самое число, что и 8/12. Чтобы убедиться в этом разделите числитель и знаменатель дроби 16/24 на общий множитель 2. Кроме того, число 8/12 это же самое, что и 4/6, а 4/6 это же самое, что и 2/3. Дробь 2/3 не подлежит дальнейшему сокращению, так как 2 и 3 не имеют общих множителей. Дробь невозможно сокращать до бесконечности.
Напомним, что по мнению Евклида число ?2 не представимо в виде дроби. Но поскольку Евклид использовал доказательство от противного, он начал с предположения, что дробь p /q , равная числу ?2, существует, а затем исследовал, к каким последствиям приводит такое предположение:
?2 = p /q .
Возводя обе части равенства в квадрат, получаем
2 = p 2/q 2.
После несложного преобразования запишем это равенство в виде
2q2 = p2 .
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36