И хотя такой проверки было бы достаточно для физической теории, для обоснования математической теории ее совершенно недостаточно. Единственный способ показать, что формула Эйлера остается в силе для любого мыслимого графа, — построить безупречное с точки зрения логики доказательство. Именно так и поступил Эйлер.
Свое доказательство Эйлер начал с простейшего из графов — с графа, состоящего из одной единственной вершины (рис. 10а ). Ясно, что для такого графа формула Эйлера верна: имеется всего одна вершина, линий и областей нет, поэтому
V + R — L = 1 + 0–0 = 1 .
Затем Эйлер рассмотрел вопрос о том, что произойдет в том случае, если он что-нибудь добавит к этому простейшему графу. Любое добавление к нему требует добавления линии. Любая линия может соединять существующую вершину либо с самой собой, либо с какой-нибудь новой вершиной.
Во-первых, рассмотрим случай, когда дополнительная линия соединяет существующую вершину с самой собой. Как видно из рис. 10б , при добавлении линии в этом случае добавляется также новая область. Следовательно, формула Эйлера для графов остается в силе, так как добавление одной области (+) компенсируется добавлением одной линии (—). При добавлении новых линий того же типа формула Эйлера для графов также останется в силе, так как каждая новая линия порождает новую область.
Во-вторых, рассмотрим, что произойдет, если дополнительная линия соединит существующую вершину с новой вершиной, как на рис. 10в . И в этом случае формула Эйлера остается в силе, так как новая вершина (+) компенсирует новую линию (—). При добавлении новых линий того же типа формула Эйлера также остается в силе, поскольку каждая дополнительная линия рассматриваемого типа заканчивается в новой вершине.
Вот и все, что требовалось Эйлеру для его доказательства. Он рассуждал так. Формула верна для простейшего из всех графов — одной-единственной вершины. Все остальные графы, сколь бы сложными они ни были, могут быть построены из простейшего путем прибавления линий — по одной линии за один раз. Всякий раз при добавлении к графу новой линии формула остается верной, потому что вместе с линией добавляется либо новая вершина, либо новая область, и тем самым компенсируется добавление линии. Эйлер разработал простую, но мощную стратегию. Он доказал, что его формула верна для простейшего графа, состоящего из одной-единственной вершины, и что любая операция, приводящая к усложнению графа, не нарушает формулу для графов. Следовательно, формула верна для бесконечного множества всех возможных графов.
Впервые столкнувшись с Великой теоремой Ферма, Эйлер, должно быть, понадеялся на то, что ему удастся найти доказательство, если он будет придерживаться аналогичной стратегии. Великая теорема Ферма и формула Эйлера для графов уходят своими корнями в весьма различные области математики, но одна особенность у них была общей: они обе нечто утверждали относительно бесконечно многих объектов. Формула Эйлера утверждает, что для бесконечно многих графов, которые только существуют на свете, число вершин плюс число областей минус число линий всегда равно единице. Великая теорема Ферма утверждает, что бесконечно много уравнений не допускают решения в целых числах. Напомним, что теорема Ферма утверждает следующее: уравнение
xn + yn = zn , где n — любое целое число большее 2,
не допускает решения в целых числах.
Это уравнение в действительности представляет собой бесконечную систему уравнений
x 3 + y 3 = z 3,
x 4 + y 4 = z 4,
x 5 + y 5 = z 5,
x6 + y 6 = z 6,
x 7 + y 7 = z 7,
. . . . . .
Эйлер попытался выяснить, нельзя ли доказать, что одно из уравнений не допускает решений в целых числах, а затем экстраполировать полученный результат на все остальные уравнения (точно так же, как он доказал свою формулу для всех графов).
Первый шаг к осуществлению задуманного Эйлер совершил, когда обнаружил ключ к доказательству в кратких записях на полях «Арифметики» Диофанта. Хотя Ферма не оставил развернутого доказательства Великой теоремы, он в другом месте того же экземпляра «Арифметики» написал в зашифрованном виде доказательство для случая n =4, включив его в решение совершенно другой задачи. Это были самые подробные вычисления, которые Ферма когда-либо доверил бумаге, но всё же детали всё ещё были обрывочны и расплывчаты, а в заключение доказательства Ферма ссылается на то, что недостаток времени и места не позволяют ему дать более полное объяснение. Несмотря на отсутствие многих важных деталей в беглых заметках Ферма, в них отчетливо просматривался один из способов доказательства от противного, известный под названием метода бесконечного спуска.
Чтобы доказать, что уравнение x 4 + y 4 = z 4 не допускает решения в целых числах, Ферма начал с предположения о существовании гипотетического решения в целых числах
x = X 1, y = Y 1, z = Z 1 .
При изучении свойств чисел (X 1, Y 1, Z 1) Ферма показал, что если бы такое гипотетическое решение действительно существовало, то существовало бы меньшее решение (X 2, Y 2, Z 2). Рассматривая это новое решение, Ферма смог показать, что если бы оно существовало, то существовало бы еще меньшее решение (X 3, Y 3, Z 3) и т. д.
Ферма обнаружил нисходящую лестницу решений, которая теоретически могла бы продолжаться неограниченно, порождая все меньшие и меньшие решения. Но x, y и z должны быть целыми положительными (так называемыми натуральными) числами, поэтому нескончаемая нисходящая лестница невозможна, потому что должно быть наименьшее целочисленное решение. Полученное противоречие доказывает, что начальное предположение о существовании решения (X 1, Y 1, Z 1) было ложным. Итак, используя метод бесконечного спуска, Ферма доказал, что при n =4 уравнение xn + yn = zn не может иметь целочисленных решений.
Эйлер попытался воспользоваться методом бесконечного спуска в качестве исходного пункта при построении общего доказательства для всех других степеней в уравнении Ферма. Он хотел получить доказательство для всех n вплоть до бесконечности, но прежде всего он хотел «опуститься на одну ступень» и получить доказательство при n =3. В письме к прусскому математику Христиану Гольдбаху в августе 1753 года Эйлер сообщил, что ему удалось приспособить метод бесконечного спуска и успешно доказать Великую теорему Ферма для случая n =3. Так через сто лет после смерти Ферма впервые удалось сделать первый шаг на пути к решению его проблемы.
Чтобы распространить предложенное Ферма доказательство со случая n =4 на случай n =3, Эйлеру пришлось ввести в игру довольно причудливое понятие так называемого мнимого числа — величины, открытой европейскими математиками в XVI веке. Говорить о новых числах, что они были «открыты» довольно странно, но ощущение необычности возникает главным образом потому, что мы настолько привыкаем к постоянно и широко используемым числам, что забываем о временах, когда некоторые из этих чисел не были известны. И отрицательные, и иррациональные — все эти числа в свое время приходилось открывать, и мотивация в каждом случае сводилась к необходимости решить задачу, неразрешимую в уже известных числах.
История теории чисел начинается с обыкновенных чисел, используемых для счета — 1,2,3…, — известных под названием натуральных чисел. Эти числа идеально подходят для сложения простых целых величин, таких, как овцы или золотые монеты, чтобы узнать, сколько всего таких величин — их общее количество также есть целое число. Наряду со сложением еще одна простая операция, умножение, производимая над целыми числами, также порождает другие целые числа. Но операция деления приводит к довольно неприятной проблеме. При делении числа 8 на 2 мы получаем 4, но при делении числа 2 на 8 ответ получается равным 1/4. Результатом деления в последнем случае является не целое число, а дробь.
Деление — простая операция, выполняемая над натуральными числами — вынуждает нас выйти за пределы натуральных чисел. Для математика, по крайней мере, теоретически, немыслима ситуация, в которой нет ответа на вопрос, чему равен результат простой операции, производимой над целыми числами. Необходимость существования ответа называется полнотой. Не будь дробей, некоторые вопросы относительно целых чисел остались бы без ответа. Математики выражают это обстоятельство, говоря, что дроби необходимы для полноты.
Именно необходимость полноты вынудила индийских математиков открыть отрицательные числа. Индийские математики заметили, что если 3 вычесть из 5, то получится 2, а 5 вычесть из 3 не так просто. Ответ не мог быть получен в натуральных числах и понять его можно, только если ввести понятие отрицательного числа. Некоторые математики не приняли столь абстрактного обобщения натурального числа и отзывались об отрицательных числах как «нелепых» и «фиктивных». Пересчитывая золотые монеты, можно подержать в руке одну монету или даже полмонеты, но взять в руку «минус одну» монету решительно невозможно.
Древние греки были обуяны стремлением к полноте, и эта страсть привела их к открытию иррациональных чисел. В главе 2 мы уже обсуждали квадратный корень из 2. Греки знали, что это число приближенно равно 7/5, но когда они попытались найти точную дробь, равную ?2, то обнаружили, что такой дробь не существует. Перед ними было число, не представимое в виде дроби, но этот новый тип числа был необходим, чтобы ответить на вопрос: «Чему равен квадратный корень из двух?» Требование полноты означало, что к империи чисел необходимо присоединить еще одну колонию.
К наступлению эпохи Возрождения математики стали думать, что открыли все мыслимые «сорта» чисел на свете. Все числа можно было считать расположенными на числовой оси в обе стороны прямой с нулем в центре, как на рис. 11. Целые числа располагались на числовой оси через равные промежутки, положительные простирались до плюс бесконечности справа от нуля, отрицательные — до минус бесконечности слева от нуля. Дроби располагались в промежутках между целыми числами, а иррациональные числа заполняли пробелы между дробями.
Рис. 11. Все числа можно расположить на числовой оси, простирающейся до бесконечности в обе стороны
Числовая ось наводила на мысль о том, что полнота достигнута. Все числа находились на своих местах, готовые ответить на все математические вопросы, — во всяком случае на числовой оси не оставалось свободных мест ни для каких новых чисел. Но в XVII веке снова начались неприятности. Итальянский математик Рафаэлло Бомбелли, занимаясь изучением квадратных корней из различных чисел, столкнулся с вопросом, не имевшим готового ответа.
Все началось с вопроса: «Чему равен квадратный корень из единицы, т. е. число ?1?» Очевидный ответ гласит: единице, так как 1·1=1. Менее очевиден другой ответ: квадратный корень из единицы равен минус единице, т. е. числу –1. Отрицательное число при умножении на отрицательное число, дает положительное, в частности, (–1)·(–1) = 1. Следовательно, квадратный корень из +1 имеет два значения: +1 и –1. Такое обилие ответов само по себе превосходно, но сразу же возникает другой вопрос: «Чему равен квадратный корень из минус единицы, т. е. ?–1?» Кажется, что этот вопрос не имеет ответа. Ни +1, ни –1 не годятся в качестве ответа — оба числа в квадрате дают +1. Но никаких других «кандидатов» не видно. Между тем полнота требует, чтобы мы умели отвечать и на вопрос о том, чему равен квадратный корень из –1.
Чтобы ответить на этот вопрос, Бомбелли пришлось ввести новое число i , определив его просто как ответ на вопрос: «Чему равен квадратный корень из минус единицы?». На первый взгляд может показаться, что ввод i — малодушная попытка обойти решение проблемы, но предпринятый Бомбелли ход ничем не отличается от того, как были введены отрицательные числа. Столкнувшись с неразрешимой при ином подходе задачей, индийские математики определили число –1 как ответ на вопрос: «Что получится, если от нуля отнять единицу?». Число –1 кажется более приемлемым только потому, что из повседневного опыта нам знакомо аналогичное понятие «долга», в то время как в реальном мире нет ничего, что подкрепляло бы понятие мнимого числа. Немецкий математик XVII века Готтфрид Лейбниц дал следующее изящное описание необычайной природы мнимого числа: «Мнимое число — это бестелесное и преудивительное прибежище Божественного духа, почти амфибия между бытием и небытием».
Коль скоро мы определили число i как квадратный корень из –1, то должно существовать число 2i , так как оно равно сумме i плюс i (а также квадратному корню из –4). Аналогично, должно существовать и число i /2, так как оно получается при делении i на 2. Выполняя простые операции, можно получить мнимый эквивалент каждого так называемого действительного числа. Существуют мнимые натуральные числа, мнимые отрицательные числа, мнимые дроби и мнимые иррациональные числа. Проблема, которая теперь возникает, заключается в том, что у всех этих мнимых чисел нет своего естественного места на действительной числовой оси. Математики разрешили возникший кризис, введя еще одну — мнимую — ось, перпендикулярную действительной оси и пересекающую ее в нуле, как показано на рис. 12. Числа перестали занимать одномерную прямую, а расположились на двумерной плоскости. Чисто мнимые или чисто действительные числа заполняют соответствующие оси — действительную и мнимую, а комбинации действительного и мнимого чисел (например, 1+2i ) называются комплексными числами и обитают на так называемой числовой плоскости.
Рис. 12. Введение оси для мнимых чисел превращает числовую ось в числовую плоскость. Каждой комбинации действительного и мнимого чисел соответствует определенная точка на числовой плоскости
Особенно замечательно, что в комплексных числах решается любое алгебраическое уравнение. Например, чтобы вычислить ?3+4i , математикам не нужно изобретать числа нового типа: оказывается, что ответ равен 2+i , т. е. другому комплексному числу. Иначе говоря, создается впечатление, что мнимые числа — последний элемент, необходимый для завершения математики.
Хотя квадратные корни из отрицательных чисел получили название мнимых чисел, математики считают число i ничуть не более абстрактным, чем отрицательное или любое натуральное число. Кроме того, физики обнаружили, что мнимые числа дают лучший язык для описания некоторых явлений, протекающих в реальном мире. С помощью нехитрых манипуляций мнимые числа оказываются идеальным средством анализа естественного колебательного движения объектов, например, маятника. Такое колебательное движение, называемое на техническом языке синусоидальным колебанием, широко распространено в природе, и поэтому мнимые числа стали неотъемлемой составной частью многих физических расчетов. В наше время инженеры-электрики приспособили i к анализу переменных токов, а физики-теоретики вычисляют различные квантовомеханические эффекты с помощью осциллирующих волновых функций, суммируя степени мнимых чисел.
В чистой математике мнимые числа используют для решения задач, ранее казавшихся неразрешимыми. Мнимые числа буквально добавили новое измерение к математике, и Эйлер надеялся, что ему удастся использовать эту дополнительную степень свободы в поисках доказательства Великой теоремы Ферма.
И до Эйлера некоторые математики уже пытались приспособить метод бесконечного спуска Ферма для решения уравнения Ферма в целых числах при n , отличных от 4, но всякий раз попытка распространить метод приводила к каким-нибудь проблемам в логике. И только Эйлер показал, что, используя число i , можно заткнуть все дыры в доказательстве и заставить метод бесконечного спуска работать при n =3.
Это было грандиозное достижение, но повторить успех при других значениях n Эйлеру не удалось. К сожалению, все попытки применить те же рассуждения к другим значениям вплоть до бесконечности закончились провалом. И математик, решивший больше задач, чем кто-либо другой за всю историю, был вынужден признать поражение — Великая теорема Ферма оставалась неприступной. Единственным утешением для Эйлера было то, что он осуществил первый серьезный прорыв в «круговой обороне» труднейшей математической проблемы в мире.
Не обескураженный постигшей его неудачей, Эйлер продолжал создавать блестящие математические методы до конца своих дней, несмотря на то, что последние годы его жизни были омрачены полной слепотой. Эйлер начал слепнуть в 1735 году, когда Академия в Париже предложила премию за решение одной астрономической проблемы. Эта проблема была столь трудна, что математическое сообщество обратилось к Академии с просьбой дать на решение несколько месяцев, но Эйлеру отсрочка не была нужна. Задача настолько захватила его, что он, работая дни и ночи напролет, решил ее за трое суток и заслуженно получил премию.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36
Свое доказательство Эйлер начал с простейшего из графов — с графа, состоящего из одной единственной вершины (рис. 10а ). Ясно, что для такого графа формула Эйлера верна: имеется всего одна вершина, линий и областей нет, поэтому
V + R — L = 1 + 0–0 = 1 .
Затем Эйлер рассмотрел вопрос о том, что произойдет в том случае, если он что-нибудь добавит к этому простейшему графу. Любое добавление к нему требует добавления линии. Любая линия может соединять существующую вершину либо с самой собой, либо с какой-нибудь новой вершиной.
Во-первых, рассмотрим случай, когда дополнительная линия соединяет существующую вершину с самой собой. Как видно из рис. 10б , при добавлении линии в этом случае добавляется также новая область. Следовательно, формула Эйлера для графов остается в силе, так как добавление одной области (+) компенсируется добавлением одной линии (—). При добавлении новых линий того же типа формула Эйлера для графов также останется в силе, так как каждая новая линия порождает новую область.
Во-вторых, рассмотрим, что произойдет, если дополнительная линия соединит существующую вершину с новой вершиной, как на рис. 10в . И в этом случае формула Эйлера остается в силе, так как новая вершина (+) компенсирует новую линию (—). При добавлении новых линий того же типа формула Эйлера также остается в силе, поскольку каждая дополнительная линия рассматриваемого типа заканчивается в новой вершине.
Вот и все, что требовалось Эйлеру для его доказательства. Он рассуждал так. Формула верна для простейшего из всех графов — одной-единственной вершины. Все остальные графы, сколь бы сложными они ни были, могут быть построены из простейшего путем прибавления линий — по одной линии за один раз. Всякий раз при добавлении к графу новой линии формула остается верной, потому что вместе с линией добавляется либо новая вершина, либо новая область, и тем самым компенсируется добавление линии. Эйлер разработал простую, но мощную стратегию. Он доказал, что его формула верна для простейшего графа, состоящего из одной-единственной вершины, и что любая операция, приводящая к усложнению графа, не нарушает формулу для графов. Следовательно, формула верна для бесконечного множества всех возможных графов.
Впервые столкнувшись с Великой теоремой Ферма, Эйлер, должно быть, понадеялся на то, что ему удастся найти доказательство, если он будет придерживаться аналогичной стратегии. Великая теорема Ферма и формула Эйлера для графов уходят своими корнями в весьма различные области математики, но одна особенность у них была общей: они обе нечто утверждали относительно бесконечно многих объектов. Формула Эйлера утверждает, что для бесконечно многих графов, которые только существуют на свете, число вершин плюс число областей минус число линий всегда равно единице. Великая теорема Ферма утверждает, что бесконечно много уравнений не допускают решения в целых числах. Напомним, что теорема Ферма утверждает следующее: уравнение
xn + yn = zn , где n — любое целое число большее 2,
не допускает решения в целых числах.
Это уравнение в действительности представляет собой бесконечную систему уравнений
x 3 + y 3 = z 3,
x 4 + y 4 = z 4,
x 5 + y 5 = z 5,
x6 + y 6 = z 6,
x 7 + y 7 = z 7,
. . . . . .
Эйлер попытался выяснить, нельзя ли доказать, что одно из уравнений не допускает решений в целых числах, а затем экстраполировать полученный результат на все остальные уравнения (точно так же, как он доказал свою формулу для всех графов).
Первый шаг к осуществлению задуманного Эйлер совершил, когда обнаружил ключ к доказательству в кратких записях на полях «Арифметики» Диофанта. Хотя Ферма не оставил развернутого доказательства Великой теоремы, он в другом месте того же экземпляра «Арифметики» написал в зашифрованном виде доказательство для случая n =4, включив его в решение совершенно другой задачи. Это были самые подробные вычисления, которые Ферма когда-либо доверил бумаге, но всё же детали всё ещё были обрывочны и расплывчаты, а в заключение доказательства Ферма ссылается на то, что недостаток времени и места не позволяют ему дать более полное объяснение. Несмотря на отсутствие многих важных деталей в беглых заметках Ферма, в них отчетливо просматривался один из способов доказательства от противного, известный под названием метода бесконечного спуска.
Чтобы доказать, что уравнение x 4 + y 4 = z 4 не допускает решения в целых числах, Ферма начал с предположения о существовании гипотетического решения в целых числах
x = X 1, y = Y 1, z = Z 1 .
При изучении свойств чисел (X 1, Y 1, Z 1) Ферма показал, что если бы такое гипотетическое решение действительно существовало, то существовало бы меньшее решение (X 2, Y 2, Z 2). Рассматривая это новое решение, Ферма смог показать, что если бы оно существовало, то существовало бы еще меньшее решение (X 3, Y 3, Z 3) и т. д.
Ферма обнаружил нисходящую лестницу решений, которая теоретически могла бы продолжаться неограниченно, порождая все меньшие и меньшие решения. Но x, y и z должны быть целыми положительными (так называемыми натуральными) числами, поэтому нескончаемая нисходящая лестница невозможна, потому что должно быть наименьшее целочисленное решение. Полученное противоречие доказывает, что начальное предположение о существовании решения (X 1, Y 1, Z 1) было ложным. Итак, используя метод бесконечного спуска, Ферма доказал, что при n =4 уравнение xn + yn = zn не может иметь целочисленных решений.
Эйлер попытался воспользоваться методом бесконечного спуска в качестве исходного пункта при построении общего доказательства для всех других степеней в уравнении Ферма. Он хотел получить доказательство для всех n вплоть до бесконечности, но прежде всего он хотел «опуститься на одну ступень» и получить доказательство при n =3. В письме к прусскому математику Христиану Гольдбаху в августе 1753 года Эйлер сообщил, что ему удалось приспособить метод бесконечного спуска и успешно доказать Великую теорему Ферма для случая n =3. Так через сто лет после смерти Ферма впервые удалось сделать первый шаг на пути к решению его проблемы.
Чтобы распространить предложенное Ферма доказательство со случая n =4 на случай n =3, Эйлеру пришлось ввести в игру довольно причудливое понятие так называемого мнимого числа — величины, открытой европейскими математиками в XVI веке. Говорить о новых числах, что они были «открыты» довольно странно, но ощущение необычности возникает главным образом потому, что мы настолько привыкаем к постоянно и широко используемым числам, что забываем о временах, когда некоторые из этих чисел не были известны. И отрицательные, и иррациональные — все эти числа в свое время приходилось открывать, и мотивация в каждом случае сводилась к необходимости решить задачу, неразрешимую в уже известных числах.
История теории чисел начинается с обыкновенных чисел, используемых для счета — 1,2,3…, — известных под названием натуральных чисел. Эти числа идеально подходят для сложения простых целых величин, таких, как овцы или золотые монеты, чтобы узнать, сколько всего таких величин — их общее количество также есть целое число. Наряду со сложением еще одна простая операция, умножение, производимая над целыми числами, также порождает другие целые числа. Но операция деления приводит к довольно неприятной проблеме. При делении числа 8 на 2 мы получаем 4, но при делении числа 2 на 8 ответ получается равным 1/4. Результатом деления в последнем случае является не целое число, а дробь.
Деление — простая операция, выполняемая над натуральными числами — вынуждает нас выйти за пределы натуральных чисел. Для математика, по крайней мере, теоретически, немыслима ситуация, в которой нет ответа на вопрос, чему равен результат простой операции, производимой над целыми числами. Необходимость существования ответа называется полнотой. Не будь дробей, некоторые вопросы относительно целых чисел остались бы без ответа. Математики выражают это обстоятельство, говоря, что дроби необходимы для полноты.
Именно необходимость полноты вынудила индийских математиков открыть отрицательные числа. Индийские математики заметили, что если 3 вычесть из 5, то получится 2, а 5 вычесть из 3 не так просто. Ответ не мог быть получен в натуральных числах и понять его можно, только если ввести понятие отрицательного числа. Некоторые математики не приняли столь абстрактного обобщения натурального числа и отзывались об отрицательных числах как «нелепых» и «фиктивных». Пересчитывая золотые монеты, можно подержать в руке одну монету или даже полмонеты, но взять в руку «минус одну» монету решительно невозможно.
Древние греки были обуяны стремлением к полноте, и эта страсть привела их к открытию иррациональных чисел. В главе 2 мы уже обсуждали квадратный корень из 2. Греки знали, что это число приближенно равно 7/5, но когда они попытались найти точную дробь, равную ?2, то обнаружили, что такой дробь не существует. Перед ними было число, не представимое в виде дроби, но этот новый тип числа был необходим, чтобы ответить на вопрос: «Чему равен квадратный корень из двух?» Требование полноты означало, что к империи чисел необходимо присоединить еще одну колонию.
К наступлению эпохи Возрождения математики стали думать, что открыли все мыслимые «сорта» чисел на свете. Все числа можно было считать расположенными на числовой оси в обе стороны прямой с нулем в центре, как на рис. 11. Целые числа располагались на числовой оси через равные промежутки, положительные простирались до плюс бесконечности справа от нуля, отрицательные — до минус бесконечности слева от нуля. Дроби располагались в промежутках между целыми числами, а иррациональные числа заполняли пробелы между дробями.
Рис. 11. Все числа можно расположить на числовой оси, простирающейся до бесконечности в обе стороны
Числовая ось наводила на мысль о том, что полнота достигнута. Все числа находились на своих местах, готовые ответить на все математические вопросы, — во всяком случае на числовой оси не оставалось свободных мест ни для каких новых чисел. Но в XVII веке снова начались неприятности. Итальянский математик Рафаэлло Бомбелли, занимаясь изучением квадратных корней из различных чисел, столкнулся с вопросом, не имевшим готового ответа.
Все началось с вопроса: «Чему равен квадратный корень из единицы, т. е. число ?1?» Очевидный ответ гласит: единице, так как 1·1=1. Менее очевиден другой ответ: квадратный корень из единицы равен минус единице, т. е. числу –1. Отрицательное число при умножении на отрицательное число, дает положительное, в частности, (–1)·(–1) = 1. Следовательно, квадратный корень из +1 имеет два значения: +1 и –1. Такое обилие ответов само по себе превосходно, но сразу же возникает другой вопрос: «Чему равен квадратный корень из минус единицы, т. е. ?–1?» Кажется, что этот вопрос не имеет ответа. Ни +1, ни –1 не годятся в качестве ответа — оба числа в квадрате дают +1. Но никаких других «кандидатов» не видно. Между тем полнота требует, чтобы мы умели отвечать и на вопрос о том, чему равен квадратный корень из –1.
Чтобы ответить на этот вопрос, Бомбелли пришлось ввести новое число i , определив его просто как ответ на вопрос: «Чему равен квадратный корень из минус единицы?». На первый взгляд может показаться, что ввод i — малодушная попытка обойти решение проблемы, но предпринятый Бомбелли ход ничем не отличается от того, как были введены отрицательные числа. Столкнувшись с неразрешимой при ином подходе задачей, индийские математики определили число –1 как ответ на вопрос: «Что получится, если от нуля отнять единицу?». Число –1 кажется более приемлемым только потому, что из повседневного опыта нам знакомо аналогичное понятие «долга», в то время как в реальном мире нет ничего, что подкрепляло бы понятие мнимого числа. Немецкий математик XVII века Готтфрид Лейбниц дал следующее изящное описание необычайной природы мнимого числа: «Мнимое число — это бестелесное и преудивительное прибежище Божественного духа, почти амфибия между бытием и небытием».
Коль скоро мы определили число i как квадратный корень из –1, то должно существовать число 2i , так как оно равно сумме i плюс i (а также квадратному корню из –4). Аналогично, должно существовать и число i /2, так как оно получается при делении i на 2. Выполняя простые операции, можно получить мнимый эквивалент каждого так называемого действительного числа. Существуют мнимые натуральные числа, мнимые отрицательные числа, мнимые дроби и мнимые иррациональные числа. Проблема, которая теперь возникает, заключается в том, что у всех этих мнимых чисел нет своего естественного места на действительной числовой оси. Математики разрешили возникший кризис, введя еще одну — мнимую — ось, перпендикулярную действительной оси и пересекающую ее в нуле, как показано на рис. 12. Числа перестали занимать одномерную прямую, а расположились на двумерной плоскости. Чисто мнимые или чисто действительные числа заполняют соответствующие оси — действительную и мнимую, а комбинации действительного и мнимого чисел (например, 1+2i ) называются комплексными числами и обитают на так называемой числовой плоскости.
Рис. 12. Введение оси для мнимых чисел превращает числовую ось в числовую плоскость. Каждой комбинации действительного и мнимого чисел соответствует определенная точка на числовой плоскости
Особенно замечательно, что в комплексных числах решается любое алгебраическое уравнение. Например, чтобы вычислить ?3+4i , математикам не нужно изобретать числа нового типа: оказывается, что ответ равен 2+i , т. е. другому комплексному числу. Иначе говоря, создается впечатление, что мнимые числа — последний элемент, необходимый для завершения математики.
Хотя квадратные корни из отрицательных чисел получили название мнимых чисел, математики считают число i ничуть не более абстрактным, чем отрицательное или любое натуральное число. Кроме того, физики обнаружили, что мнимые числа дают лучший язык для описания некоторых явлений, протекающих в реальном мире. С помощью нехитрых манипуляций мнимые числа оказываются идеальным средством анализа естественного колебательного движения объектов, например, маятника. Такое колебательное движение, называемое на техническом языке синусоидальным колебанием, широко распространено в природе, и поэтому мнимые числа стали неотъемлемой составной частью многих физических расчетов. В наше время инженеры-электрики приспособили i к анализу переменных токов, а физики-теоретики вычисляют различные квантовомеханические эффекты с помощью осциллирующих волновых функций, суммируя степени мнимых чисел.
В чистой математике мнимые числа используют для решения задач, ранее казавшихся неразрешимыми. Мнимые числа буквально добавили новое измерение к математике, и Эйлер надеялся, что ему удастся использовать эту дополнительную степень свободы в поисках доказательства Великой теоремы Ферма.
И до Эйлера некоторые математики уже пытались приспособить метод бесконечного спуска Ферма для решения уравнения Ферма в целых числах при n , отличных от 4, но всякий раз попытка распространить метод приводила к каким-нибудь проблемам в логике. И только Эйлер показал, что, используя число i , можно заткнуть все дыры в доказательстве и заставить метод бесконечного спуска работать при n =3.
Это было грандиозное достижение, но повторить успех при других значениях n Эйлеру не удалось. К сожалению, все попытки применить те же рассуждения к другим значениям вплоть до бесконечности закончились провалом. И математик, решивший больше задач, чем кто-либо другой за всю историю, был вынужден признать поражение — Великая теорема Ферма оставалась неприступной. Единственным утешением для Эйлера было то, что он осуществил первый серьезный прорыв в «круговой обороне» труднейшей математической проблемы в мире.
Не обескураженный постигшей его неудачей, Эйлер продолжал создавать блестящие математические методы до конца своих дней, несмотря на то, что последние годы его жизни были омрачены полной слепотой. Эйлер начал слепнуть в 1735 году, когда Академия в Париже предложила премию за решение одной астрономической проблемы. Эта проблема была столь трудна, что математическое сообщество обратилось к Академии с просьбой дать на решение несколько месяцев, но Эйлеру отсрочка не была нужна. Задача настолько захватила его, что он, работая дни и ночи напролет, решил ее за трое суток и заслуженно получил премию.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36