Ничуть не бывало! Я прочитал его на тележке разносчика где-то
в Корнуолле).
Такой тип общих суждений, у которых субъект сводится к одному-единствен
ному предмету, называются единичным суждением.
Выберем теперь « вкусные булочки» в качестве субъекта сужден
ия, т. е. сосредоточим наше внимание на левой половине подноса, где все бул
очки обладают признаком y, иначе говоря, вкусные.
Предположим, что левая половина размечена следующим образом
Что бы это значило?
После того как мы столь подробно объяснили, что означают все возможные с
лучаи для двух клеток, расположенных по горизонтали , нет необ
ходимости тратить время на перебор всех мыслимых случае заполнения дву
х клеток, выстроенных по вертикали . Думаю, что вы и сами догада
лись: красная фишка в верхней клетке означает «Некоторые y суть x», или «Не
которые вкусные булочки свежие».
Ц Как же так? Ц спросите вы. Ц Ведь с красной фишкой, стоящей в клетке 5, м
ы уже встречались. Тогда вы поставили красную фишку на клетку 5 и сказали,
что это означает «Некоторые свежие булочки вкусные», а теперь вы утвержд
аете, будто красная фишка, стоящая в клетке 5, означает «Некоторые вк
усные булочки свежие» . Разве может красная фишка в клетк
е 5 означать и то и другое суждение одновременно?
Вопрос этот весьма глубок и делает честь вашей проницательности
, дорогой читатель! Красная фишка, стоящая в клетке 5, действител
ьно означает и то и другое суждение. Если в качестве объекта суждени
я вы выберете x (т. е. «свежие булочки»), а клетку 5 будете считать стоящей в го
ризонтальном ряду, получится суждение «Некоторые x суть y», т. е. «Некоторы
е свежие булочки вкусные». Если же в качестве объекта суждения вы выбере
те y (т. е. «вкусные булочки»), а клетку 5 будете считать стоящей в верти
кальном ряду, получится суждение «Некоторые вкусные булочки свежи
е». Оба суждения служат двумя различными способами выражения одной и той
же истины.
Не тратя лишних слов, я просто выпишу все остальные случаи заполнения дв
ух вертикальных клеток, указывая каждый раз суждение, которому они соотв
етствуют. Сравнивая их с различными вариантами заполнения горизонталь
ного ряда, вы без труда во всем разберетесь.
Прекрасный способ проверить себя с помощью приводимой ниже таблицы Ц з
акрыть сначала правый, потом левый столбец и попытаться самостоятельно
восстановить его. Такая проверка поможет вам, как говорять школьники, вы
учить таблицу «назубок».
Будет очень хорошо, если вы составите для себя еще две таблицы: одну Ц для
нижней половины подноса, другую Ц для его правой
половины.
Обозначения Суждения
«Некоторые x суть y'», т. е. «Некоторые вкусные (булочк
и) черствые».
«Ни один y не есть x», т. е. «Ни одна вкусная (булочка) не
свежая». Обратите внимание, что то же самое можно сказать иначе: «Ни одна с
вежая булочка не вкусная».
«Ни один y не есть x», т. е. «Ни одна вкусная булочка не
черствая».
«Некоторые y суть x, и некоторые y суть x'», т. е. «Некотор
ые вкусные (булочки) свежие, и некоторые Ц не свежие».
«Ни один y не есть x, и ни один y' не есть x», т. е. «Ни один y н
е существует», или «Вкусных булочек нет».
«Все y суть x», т. е. «Все вкусные булочки свежие».
«Все y суть x'», т. е. «Все вкусные булочки не свежие».
Мне кажется, что мы уже сказали все необходимое о малой диаграмме и можем
переходить к большой.
Ее можно представлять себе в виде подноса, расчерченного так же, как мы ра
счерчивали подносы до сих пор, который, кроме того , разделен на
две части (для признака m).
Условимся считать, что m означает «полезный». Предположим, что все полезн
ые булочки сложены внутри центрального квадрата, а все
не полезные (вредные для здоровья) Ц вне его , т. е. в какой-
то из четырех внешних причудливо изогнутых клеток.
При рассмотрении малой диаграммы булочки, находившиеся в каждой из ее кл
еток, обладали двумя признаками. Теперь же булочки в любой из к
леток обладают тремя признаками. Буквы, обозначавшие два при
знака, мы ставили на границе, отделяющей одну клетку от другой. Теперь же м
ы будем ставить их у вершин клеток. (Обратите внимание на то, чт
о внешние вершины четырех наружных клеток считаются помеченными букво
й m.) Взглянув на любую клетку, мы можем тотчас же сказать, какими тремя приз
наками обладают находящиеся в ней предметы. Возьмем, например, клетку 12. В
ее вершинах стоят буквы x, y', m, поэтому мы знаем, что находящиеся в ней булочк
и (если таковые существуют) обладают тройным признаком xy'm, т. е. «свежие, нев
кусные и полезные». Рассмотрим теперь клетку 16. В ее вершинах стоят буквы
x', y', m. Следовательно, находящиеся в ней булочки «несвежие, невкусные и не по
лезные».
Перебор всех суждений, содержащих x и y, x и m, y и m, которые можно представить на
большой диаграмме, занял бы слишком много времени, и я ограничусь тем, что
рассмотрю лишь два или три суждения в качестве примера (думаю, что вы не ст
анете сердиться на меня за это, когда узнаете, что всего таких суждений 96). Н
о вы поступите очень хорошо, если изучите гораздо больше случаев.
Рассмотрим отдельно верхнюю половину большой диаграммы, иначе говоря, с
уждения с субъектом «свежие булочки». Как изобразить на ней суждение «Ни
одна свежая булочка не полезная»?
В буквенных обозначениях интересующее нас суждение имеет вид: «Ни один x
не есть m». Записанное так, оно говорит нам, что ни одна из булочек, находяща
яся на верхней половине подноса (т. е. большой диаграммы), не лежит внутри ц
ентрального квадрата. Другими словами, клетки 11 и 12 пусты. На диаграмме так
ая ситуация изображается так
А как выглядит противоположное суждение «Некоторые x суть m»? Эту труднос
ть мы уже обсуждали. Лучший способ разрешить ее состоит, как мне кажется, в
следующем. Нужно поставить красную фишку на линию, отделяющую
клетку 11 от клетки 12, и считать что это означает: « Одна из кл
еток (11 и 12) «занята», но какая именно , пока еще не известно». На ди
аграмме эту ситуацию я обозначу так
Изобразим на диаграмме суждение «Все x суть m». Как мы уже знаем, оно состои
т из двух суждений
«Некоторые x суть m»
и
«Ни один x не есть не m».
Начнем с отрицательного суждения. Оно говорит нам, что ни одна из булочек,
находящихся на верхней половине подноса, не должна лежать вне
центрального квадрата, т.е. что клетки 9 и 10 пустые . Ясно, что на д
иаграмме это выглядит так
Но мы должны еще нанести на диаграмму суждение «Некоторые x суть m». Оно го
ворит нам, что некоторые булочки находятся в горизонтальном
ряду, состоящему из клеток 11 и 12. Поэтому, как и в предыдущем примере, мы пост
авим красную фишку на границу, отделяющую клетку 11 от клетки 12, и в результа
те получим
Попытаемся теперь перевести одну или две диаграммы на обычный язык.
Что можно сказать относительно x и y, глядя на диаграмму
Прежде всего мы видим, что квадрат xy' полностью пуст: и клетка 12,
и «уголок» 10 помечены нулями. Относительно квадрата xy диаграмм
а говорит нам, что он занят. Правда, помечена единицей в нем лишь клетка 11, н
о и этого вполне достаточно, чтобы утверждать (независимо от того, пуст ил
и занят «уголок» 9), что в квадрате xy что-то есть.
Если мы захотим избавиться от признака m и перейдем к меньшей диаграмме, т
о в ее клетках нуль и единица будут расставлены так
что, как известно, означает «Все x суть y».
Точно к такому же результату мы бы пришли, если бы верхняя половина больш
ой диаграммы имела вид
А что можно сказать относительно x и y, глядя на диаграмму
Прежде всего, что одна из частей квадрата xy Ц его «уголок» Ц пуста. Но эта
информация совершенно бесполезна, поскольку в другой его части
Ц клетке 11 Ц не стоит ничего. Если эта клетка окажется пустой, то и в
есь квадрат xy будет пуст. Если же клетка 11 окажется занятой, то и квадрат xy бу
дет занят. Итак, поскольку нам неизвестно, какая фишка стоит в клетке 11 Ц к
расная или черная, Ц мы ничего не можем сказать и относительн
о квадрата xy.
Зато о другом квадрате Ц xy' Ц мы можем с уверенностью утверждать, что он (к
ак и в предыдущем примере) занят.
Перенеся разметку на меньшую диаграмму, получим
что означает «Некоторые x суть y'».
Те же принципы применимы и ко всем другим половинкам большой диаграммы
Ц вертикальным и горизонтальным. Например, чтобы представить на большо
й диаграмме суждение «Все y' суть m'», необходимо взять ее правую верт
икальную половину (ту, которая отвечает признаку y') и разметить ее сл
едующим образом
Если же мы захотим узнать, какое суждение (относительно x и y) содержится в н
ижней половине большой диаграммы, на которой нули и единицы расставлены
так
то, преобразовав ее в малую диаграмму
мы без труда «расшифруем» скрытое в ней суждение: «Все x' суть y».
Относительно суждений необходимо сделать еще два замечания.
Во-первых, в каждом суждении, начинающемся со слов «некоторые» или «все»,
утверждается, что субъект суждения существует в действительности
. Например, если я говорю: «Все скупые люди эгоистичны», то я подразум
еваю что скупые люди существуют в действительности. Если бы я хотел избе
жать такого утверждения или только сформулировать правило , с
огласно которому скупость с необходимостью влечет за собой эгоизм, то я
выразился бы иначе: «Ни один скупой человек не есть неэгоист». Это сужден
ие не утверждает, что скупые люди вообще существуют. В нем лишь говорится,
что если бы скупые люди существовали, то они были бы
эгоистами.
Во-вторых, если суждение начинается со слов «некоторые» или «ни один» и с
одержит более двух признаков, то эти признаки можно произвольно
переставлять и относить к любому из терминов суждения.
Например, суждение «некоторые abc суть def» можно преобразовать в суждение «
Некоторые bf суть acde», причем каждое из суждений (и исходное, и преобразован
ное) эквивалентно суждению «Некоторые предметы суть abcdef».
Еще пример. Суждение «Ни один мудрый пожилой человек не является опромет
чивым и безрассудным игроком» можно преобразовать так: «Ни один опромет
чивый пожилой игрок не является мудрым и безрассудным (человеком)». Оба с
уждения эквивалентны следующему: «Ни один человек не является мудрым, по
жилым, опрометчивым и безрассудным игроком».
2. Силлогизмы
Предположим теперь, что мы разделили наш «Мир предметов» тремя способам
и в соответствии с тремя различными признаками. Из трех признаков можно
составить три различные пары (например, если имеются признаки a, b, c, то из ни
х можно составить три пары ab, ac и bc). Предположим кроме того, что два суждения,
содержащие две из трех пар признаков, нам даны, и что из них мы умеем вывод
ить третье суждение, содержащее оставшуюся (третью) пару признаков. (Пуст
ь, например, мы разделили наш «Мир» в соответствии с признаками m, x и y. Тогда,
если нам даны два суждения «Ни одно m не есть x'» и «Все m' суть y», содержащее п
ары признаков mx и my, то, опираясь на них, мы можем доказать третье суждение, с
одержащее признаки x и y.)
В этом случае те суждения, которые даны, называются посылками ,
третье, выводимое из них суждение Ц заключением , а все вместе
Ц силлогизмом .
Ясно, что либо один из признаков непременно должен входить в о
бе посылки, либо в одну посылку должен входить сам призн
ак , а в другую Ц ему противоположный .
В первом случае термин, который повторяется дважды (например, когда в кач
естве посылок выбраны суждения «Некоторые m суть x» и «Ни одно m не есть y'»), н
азывается средним термином , поскольку он служит своего рода
связующим звеном между двумя другими терминами.
Во втором случае (например, когда посылки имеют вид суждений «Ни один m не
есть x'», и «Все m' суть y») два термина, содержащие противоположные признаки,
можно назвать средними терминами.
Таким образом, в первом случае средний термин Ц это класс «m-предметов»,
во втором случае в роли средних терминов выступают два класса Ц «m-предм
етов» и «m'-предметов».
Признак, входящий в средний член или в средние члены, не входит в заключен
ие. О нем говорят, что его «исключили» (по-ученому, «элиминировали»), что оз
начает буквально «выставили за дверь».
Попытаемся вывести заключение из двух посылок:
«Некоторые свежие булочки неполезные»,
«Ни одна вкусная булочка не неполезная».
Чтобы выразить их с помощью фишек, необходимо разделить булочки тр
емя различными способами: по тому, свежие ли они, вкусные или полезн
ые. Для этого нам придется воспользоваться большой диаграммой, условивш
ись заранее, что x означает «свежие», y Ц «вкусные» и m Ц «полезные». (Все, чт
о находится внутри центрального квадрата, по предположению о
бладает признаком m, все, что находится вне его, Ц признаком m', т
. е. «не-m».)
В качестве m лучше всего выбрать признак, входящий в средний те
рмин или в средние термины. (Я обозначил этот признак буквой m п
отому, что именно с нее начинается слово middle Ц «средний».)
Изображая на диаграмме посылки силлогизма, лучше всего начинать с
отрицательной посылки («Ни один…» и т. д.). Дело в том, что расстановка
черных фишек не вызывает никаких сомнений и помогает уточнит
ь расположение красных фишек, которые иногда испытывают легкую неувере
нность относительно того, где их присутствие наиболее желательно.
Изобразим, например, суждение «Ни одна вкусная булочка не есть неполезна
я (булочка)», т. е. «Ни одна y-булочка не есть m'-булочка». Оно говорит нам, что н
и одна из булочек, находящихся на половине y подноса, не находится в его кл
етках m' (т. е. «уголках», лежащих вне центрального квадрата). Следовательно,
обе клетки Ц m'-клетка 9 и клетка 15 Ц пусты, и на каждую из них мы должны пост
авить по черной фишке:
Нам осталось изобразить на диаграмме вторую посылку, а именно: «Некоторы
е свежие булочки суть неполезные (булочки)», т. е. «Некоторые x-булочки суть
m' (булочки)». Последняя форма суждения говорит нам, что некоторые из булоч
ек, находящихся на половине x нашего подноса, разместились в его клетках, п
омеченных буквой m'. Следовательно, одна из этих двух клеток Ц 9 или 10 Ц зан
ята. Поскольку нам неизвестно, на какую из двух клеток следует поставить
красную фишку, мы, следуя обычному правилу, должны были бы поставить ее на
границу, разделяющую клетки-«соперницы». Однако в данном случае первая
посылка позволяет решить спор: в ней говорится, что клетка 9 пуста
. Следовательно, у красной фишки нет выбора. Волей-неволей ей приходи
тся отправиться на клетку 10:
Какие сведения можно извлечь из этой диаграммы, чтобы с их помощью расст
авить фишки на малой диаграмме и, исключив признак m, получить
суждение, содержащее только признаки x и y? Рассмотрим по очереди все четыр
е клетки малой диаграммы.
Начнем с клетки 5. Все, что мы о ней знаем, сводится к следующему:
та часть большой диаграммы, которая расположена вне ее, пуста.
О том, что находится внутр и этой клетки, ничего не известно. Сл
едовательно, квадрат 5 может быть и пустым, и занятым. Какая из э
тих возможностей соответствует действительности, сказать трудно. Поэт
ому мы и не осмелимся поставить на клетку 5 ни красную, ни черную фишку.
Что можно сказать о клетке 6? Здесь положение немного лучше. Ведь мы уже зн
аем, что в «уголке», примыкающем извне к этой клетке, что-
то есть. Следовательно, на клетке 10 большой диаграммы стоит красная
фишка. Правда, нам неизвестно, пуста или занята сама клетка 6, но какое это и
меет значение? Одной-единственной булочки в углу квадрата совершенно до
статочно, чтобы мы имели право сказать: « Этот квадрат занят » и
поставить на него красную фишку.
При рассмотрении клетки 7 мы оказываемся в том же положении, как и рассмот
рении клетки 5: мы знаем, что она частично пуста, но не знаем, пус
т или занят примыкающий к ней извне «уголок». Таким образом, на эту клетку
мы также не можем поставить ни красную, ни черную фишку.
Относительно клетки 8 нам вообще ничего не известно.
Каков же результат? Он показан на диаграмме:
Наше «заключение» необходимо извлечь из весьма скудного обрывка сведе
ний Ц из того лишь факта, что в квадрате xy' стоит красная фишка. Так мы прих
одим к суждению «Некоторые x суть y'», т. е. «Некоторые свежие булочки (суть) н
евкусные (булочки)», или, если вы предпочитаете выбрать в качестве субъек
та y', «Некоторые невкусные булочки (суть) свежие (булочки)» (первое звучит в
се-таки более обнадеживающе).
1 2 3 4 5 6
в Корнуолле).
Такой тип общих суждений, у которых субъект сводится к одному-единствен
ному предмету, называются единичным суждением.
Выберем теперь « вкусные булочки» в качестве субъекта сужден
ия, т. е. сосредоточим наше внимание на левой половине подноса, где все бул
очки обладают признаком y, иначе говоря, вкусные.
Предположим, что левая половина размечена следующим образом
Что бы это значило?
После того как мы столь подробно объяснили, что означают все возможные с
лучаи для двух клеток, расположенных по горизонтали , нет необ
ходимости тратить время на перебор всех мыслимых случае заполнения дву
х клеток, выстроенных по вертикали . Думаю, что вы и сами догада
лись: красная фишка в верхней клетке означает «Некоторые y суть x», или «Не
которые вкусные булочки свежие».
Ц Как же так? Ц спросите вы. Ц Ведь с красной фишкой, стоящей в клетке 5, м
ы уже встречались. Тогда вы поставили красную фишку на клетку 5 и сказали,
что это означает «Некоторые свежие булочки вкусные», а теперь вы утвержд
аете, будто красная фишка, стоящая в клетке 5, означает «Некоторые вк
усные булочки свежие» . Разве может красная фишка в клетк
е 5 означать и то и другое суждение одновременно?
Вопрос этот весьма глубок и делает честь вашей проницательности
, дорогой читатель! Красная фишка, стоящая в клетке 5, действител
ьно означает и то и другое суждение. Если в качестве объекта суждени
я вы выберете x (т. е. «свежие булочки»), а клетку 5 будете считать стоящей в го
ризонтальном ряду, получится суждение «Некоторые x суть y», т. е. «Некоторы
е свежие булочки вкусные». Если же в качестве объекта суждения вы выбере
те y (т. е. «вкусные булочки»), а клетку 5 будете считать стоящей в верти
кальном ряду, получится суждение «Некоторые вкусные булочки свежи
е». Оба суждения служат двумя различными способами выражения одной и той
же истины.
Не тратя лишних слов, я просто выпишу все остальные случаи заполнения дв
ух вертикальных клеток, указывая каждый раз суждение, которому они соотв
етствуют. Сравнивая их с различными вариантами заполнения горизонталь
ного ряда, вы без труда во всем разберетесь.
Прекрасный способ проверить себя с помощью приводимой ниже таблицы Ц з
акрыть сначала правый, потом левый столбец и попытаться самостоятельно
восстановить его. Такая проверка поможет вам, как говорять школьники, вы
учить таблицу «назубок».
Будет очень хорошо, если вы составите для себя еще две таблицы: одну Ц для
нижней половины подноса, другую Ц для его правой
половины.
Обозначения Суждения
«Некоторые x суть y'», т. е. «Некоторые вкусные (булочк
и) черствые».
«Ни один y не есть x», т. е. «Ни одна вкусная (булочка) не
свежая». Обратите внимание, что то же самое можно сказать иначе: «Ни одна с
вежая булочка не вкусная».
«Ни один y не есть x», т. е. «Ни одна вкусная булочка не
черствая».
«Некоторые y суть x, и некоторые y суть x'», т. е. «Некотор
ые вкусные (булочки) свежие, и некоторые Ц не свежие».
«Ни один y не есть x, и ни один y' не есть x», т. е. «Ни один y н
е существует», или «Вкусных булочек нет».
«Все y суть x», т. е. «Все вкусные булочки свежие».
«Все y суть x'», т. е. «Все вкусные булочки не свежие».
Мне кажется, что мы уже сказали все необходимое о малой диаграмме и можем
переходить к большой.
Ее можно представлять себе в виде подноса, расчерченного так же, как мы ра
счерчивали подносы до сих пор, который, кроме того , разделен на
две части (для признака m).
Условимся считать, что m означает «полезный». Предположим, что все полезн
ые булочки сложены внутри центрального квадрата, а все
не полезные (вредные для здоровья) Ц вне его , т. е. в какой-
то из четырех внешних причудливо изогнутых клеток.
При рассмотрении малой диаграммы булочки, находившиеся в каждой из ее кл
еток, обладали двумя признаками. Теперь же булочки в любой из к
леток обладают тремя признаками. Буквы, обозначавшие два при
знака, мы ставили на границе, отделяющей одну клетку от другой. Теперь же м
ы будем ставить их у вершин клеток. (Обратите внимание на то, чт
о внешние вершины четырех наружных клеток считаются помеченными букво
й m.) Взглянув на любую клетку, мы можем тотчас же сказать, какими тремя приз
наками обладают находящиеся в ней предметы. Возьмем, например, клетку 12. В
ее вершинах стоят буквы x, y', m, поэтому мы знаем, что находящиеся в ней булочк
и (если таковые существуют) обладают тройным признаком xy'm, т. е. «свежие, нев
кусные и полезные». Рассмотрим теперь клетку 16. В ее вершинах стоят буквы
x', y', m. Следовательно, находящиеся в ней булочки «несвежие, невкусные и не по
лезные».
Перебор всех суждений, содержащих x и y, x и m, y и m, которые можно представить на
большой диаграмме, занял бы слишком много времени, и я ограничусь тем, что
рассмотрю лишь два или три суждения в качестве примера (думаю, что вы не ст
анете сердиться на меня за это, когда узнаете, что всего таких суждений 96). Н
о вы поступите очень хорошо, если изучите гораздо больше случаев.
Рассмотрим отдельно верхнюю половину большой диаграммы, иначе говоря, с
уждения с субъектом «свежие булочки». Как изобразить на ней суждение «Ни
одна свежая булочка не полезная»?
В буквенных обозначениях интересующее нас суждение имеет вид: «Ни один x
не есть m». Записанное так, оно говорит нам, что ни одна из булочек, находяща
яся на верхней половине подноса (т. е. большой диаграммы), не лежит внутри ц
ентрального квадрата. Другими словами, клетки 11 и 12 пусты. На диаграмме так
ая ситуация изображается так
А как выглядит противоположное суждение «Некоторые x суть m»? Эту труднос
ть мы уже обсуждали. Лучший способ разрешить ее состоит, как мне кажется, в
следующем. Нужно поставить красную фишку на линию, отделяющую
клетку 11 от клетки 12, и считать что это означает: « Одна из кл
еток (11 и 12) «занята», но какая именно , пока еще не известно». На ди
аграмме эту ситуацию я обозначу так
Изобразим на диаграмме суждение «Все x суть m». Как мы уже знаем, оно состои
т из двух суждений
«Некоторые x суть m»
и
«Ни один x не есть не m».
Начнем с отрицательного суждения. Оно говорит нам, что ни одна из булочек,
находящихся на верхней половине подноса, не должна лежать вне
центрального квадрата, т.е. что клетки 9 и 10 пустые . Ясно, что на д
иаграмме это выглядит так
Но мы должны еще нанести на диаграмму суждение «Некоторые x суть m». Оно го
ворит нам, что некоторые булочки находятся в горизонтальном
ряду, состоящему из клеток 11 и 12. Поэтому, как и в предыдущем примере, мы пост
авим красную фишку на границу, отделяющую клетку 11 от клетки 12, и в результа
те получим
Попытаемся теперь перевести одну или две диаграммы на обычный язык.
Что можно сказать относительно x и y, глядя на диаграмму
Прежде всего мы видим, что квадрат xy' полностью пуст: и клетка 12,
и «уголок» 10 помечены нулями. Относительно квадрата xy диаграмм
а говорит нам, что он занят. Правда, помечена единицей в нем лишь клетка 11, н
о и этого вполне достаточно, чтобы утверждать (независимо от того, пуст ил
и занят «уголок» 9), что в квадрате xy что-то есть.
Если мы захотим избавиться от признака m и перейдем к меньшей диаграмме, т
о в ее клетках нуль и единица будут расставлены так
что, как известно, означает «Все x суть y».
Точно к такому же результату мы бы пришли, если бы верхняя половина больш
ой диаграммы имела вид
А что можно сказать относительно x и y, глядя на диаграмму
Прежде всего, что одна из частей квадрата xy Ц его «уголок» Ц пуста. Но эта
информация совершенно бесполезна, поскольку в другой его части
Ц клетке 11 Ц не стоит ничего. Если эта клетка окажется пустой, то и в
есь квадрат xy будет пуст. Если же клетка 11 окажется занятой, то и квадрат xy бу
дет занят. Итак, поскольку нам неизвестно, какая фишка стоит в клетке 11 Ц к
расная или черная, Ц мы ничего не можем сказать и относительн
о квадрата xy.
Зато о другом квадрате Ц xy' Ц мы можем с уверенностью утверждать, что он (к
ак и в предыдущем примере) занят.
Перенеся разметку на меньшую диаграмму, получим
что означает «Некоторые x суть y'».
Те же принципы применимы и ко всем другим половинкам большой диаграммы
Ц вертикальным и горизонтальным. Например, чтобы представить на большо
й диаграмме суждение «Все y' суть m'», необходимо взять ее правую верт
икальную половину (ту, которая отвечает признаку y') и разметить ее сл
едующим образом
Если же мы захотим узнать, какое суждение (относительно x и y) содержится в н
ижней половине большой диаграммы, на которой нули и единицы расставлены
так
то, преобразовав ее в малую диаграмму
мы без труда «расшифруем» скрытое в ней суждение: «Все x' суть y».
Относительно суждений необходимо сделать еще два замечания.
Во-первых, в каждом суждении, начинающемся со слов «некоторые» или «все»,
утверждается, что субъект суждения существует в действительности
. Например, если я говорю: «Все скупые люди эгоистичны», то я подразум
еваю что скупые люди существуют в действительности. Если бы я хотел избе
жать такого утверждения или только сформулировать правило , с
огласно которому скупость с необходимостью влечет за собой эгоизм, то я
выразился бы иначе: «Ни один скупой человек не есть неэгоист». Это сужден
ие не утверждает, что скупые люди вообще существуют. В нем лишь говорится,
что если бы скупые люди существовали, то они были бы
эгоистами.
Во-вторых, если суждение начинается со слов «некоторые» или «ни один» и с
одержит более двух признаков, то эти признаки можно произвольно
переставлять и относить к любому из терминов суждения.
Например, суждение «некоторые abc суть def» можно преобразовать в суждение «
Некоторые bf суть acde», причем каждое из суждений (и исходное, и преобразован
ное) эквивалентно суждению «Некоторые предметы суть abcdef».
Еще пример. Суждение «Ни один мудрый пожилой человек не является опромет
чивым и безрассудным игроком» можно преобразовать так: «Ни один опромет
чивый пожилой игрок не является мудрым и безрассудным (человеком)». Оба с
уждения эквивалентны следующему: «Ни один человек не является мудрым, по
жилым, опрометчивым и безрассудным игроком».
2. Силлогизмы
Предположим теперь, что мы разделили наш «Мир предметов» тремя способам
и в соответствии с тремя различными признаками. Из трех признаков можно
составить три различные пары (например, если имеются признаки a, b, c, то из ни
х можно составить три пары ab, ac и bc). Предположим кроме того, что два суждения,
содержащие две из трех пар признаков, нам даны, и что из них мы умеем вывод
ить третье суждение, содержащее оставшуюся (третью) пару признаков. (Пуст
ь, например, мы разделили наш «Мир» в соответствии с признаками m, x и y. Тогда,
если нам даны два суждения «Ни одно m не есть x'» и «Все m' суть y», содержащее п
ары признаков mx и my, то, опираясь на них, мы можем доказать третье суждение, с
одержащее признаки x и y.)
В этом случае те суждения, которые даны, называются посылками ,
третье, выводимое из них суждение Ц заключением , а все вместе
Ц силлогизмом .
Ясно, что либо один из признаков непременно должен входить в о
бе посылки, либо в одну посылку должен входить сам призн
ак , а в другую Ц ему противоположный .
В первом случае термин, который повторяется дважды (например, когда в кач
естве посылок выбраны суждения «Некоторые m суть x» и «Ни одно m не есть y'»), н
азывается средним термином , поскольку он служит своего рода
связующим звеном между двумя другими терминами.
Во втором случае (например, когда посылки имеют вид суждений «Ни один m не
есть x'», и «Все m' суть y») два термина, содержащие противоположные признаки,
можно назвать средними терминами.
Таким образом, в первом случае средний термин Ц это класс «m-предметов»,
во втором случае в роли средних терминов выступают два класса Ц «m-предм
етов» и «m'-предметов».
Признак, входящий в средний член или в средние члены, не входит в заключен
ие. О нем говорят, что его «исключили» (по-ученому, «элиминировали»), что оз
начает буквально «выставили за дверь».
Попытаемся вывести заключение из двух посылок:
«Некоторые свежие булочки неполезные»,
«Ни одна вкусная булочка не неполезная».
Чтобы выразить их с помощью фишек, необходимо разделить булочки тр
емя различными способами: по тому, свежие ли они, вкусные или полезн
ые. Для этого нам придется воспользоваться большой диаграммой, условивш
ись заранее, что x означает «свежие», y Ц «вкусные» и m Ц «полезные». (Все, чт
о находится внутри центрального квадрата, по предположению о
бладает признаком m, все, что находится вне его, Ц признаком m', т
. е. «не-m».)
В качестве m лучше всего выбрать признак, входящий в средний те
рмин или в средние термины. (Я обозначил этот признак буквой m п
отому, что именно с нее начинается слово middle Ц «средний».)
Изображая на диаграмме посылки силлогизма, лучше всего начинать с
отрицательной посылки («Ни один…» и т. д.). Дело в том, что расстановка
черных фишек не вызывает никаких сомнений и помогает уточнит
ь расположение красных фишек, которые иногда испытывают легкую неувере
нность относительно того, где их присутствие наиболее желательно.
Изобразим, например, суждение «Ни одна вкусная булочка не есть неполезна
я (булочка)», т. е. «Ни одна y-булочка не есть m'-булочка». Оно говорит нам, что н
и одна из булочек, находящихся на половине y подноса, не находится в его кл
етках m' (т. е. «уголках», лежащих вне центрального квадрата). Следовательно,
обе клетки Ц m'-клетка 9 и клетка 15 Ц пусты, и на каждую из них мы должны пост
авить по черной фишке:
Нам осталось изобразить на диаграмме вторую посылку, а именно: «Некоторы
е свежие булочки суть неполезные (булочки)», т. е. «Некоторые x-булочки суть
m' (булочки)». Последняя форма суждения говорит нам, что некоторые из булоч
ек, находящихся на половине x нашего подноса, разместились в его клетках, п
омеченных буквой m'. Следовательно, одна из этих двух клеток Ц 9 или 10 Ц зан
ята. Поскольку нам неизвестно, на какую из двух клеток следует поставить
красную фишку, мы, следуя обычному правилу, должны были бы поставить ее на
границу, разделяющую клетки-«соперницы». Однако в данном случае первая
посылка позволяет решить спор: в ней говорится, что клетка 9 пуста
. Следовательно, у красной фишки нет выбора. Волей-неволей ей приходи
тся отправиться на клетку 10:
Какие сведения можно извлечь из этой диаграммы, чтобы с их помощью расст
авить фишки на малой диаграмме и, исключив признак m, получить
суждение, содержащее только признаки x и y? Рассмотрим по очереди все четыр
е клетки малой диаграммы.
Начнем с клетки 5. Все, что мы о ней знаем, сводится к следующему:
та часть большой диаграммы, которая расположена вне ее, пуста.
О том, что находится внутр и этой клетки, ничего не известно. Сл
едовательно, квадрат 5 может быть и пустым, и занятым. Какая из э
тих возможностей соответствует действительности, сказать трудно. Поэт
ому мы и не осмелимся поставить на клетку 5 ни красную, ни черную фишку.
Что можно сказать о клетке 6? Здесь положение немного лучше. Ведь мы уже зн
аем, что в «уголке», примыкающем извне к этой клетке, что-
то есть. Следовательно, на клетке 10 большой диаграммы стоит красная
фишка. Правда, нам неизвестно, пуста или занята сама клетка 6, но какое это и
меет значение? Одной-единственной булочки в углу квадрата совершенно до
статочно, чтобы мы имели право сказать: « Этот квадрат занят » и
поставить на него красную фишку.
При рассмотрении клетки 7 мы оказываемся в том же положении, как и рассмот
рении клетки 5: мы знаем, что она частично пуста, но не знаем, пус
т или занят примыкающий к ней извне «уголок». Таким образом, на эту клетку
мы также не можем поставить ни красную, ни черную фишку.
Относительно клетки 8 нам вообще ничего не известно.
Каков же результат? Он показан на диаграмме:
Наше «заключение» необходимо извлечь из весьма скудного обрывка сведе
ний Ц из того лишь факта, что в квадрате xy' стоит красная фишка. Так мы прих
одим к суждению «Некоторые x суть y'», т. е. «Некоторые свежие булочки (суть) н
евкусные (булочки)», или, если вы предпочитаете выбрать в качестве субъек
та y', «Некоторые невкусные булочки (суть) свежие (булочки)» (первое звучит в
се-таки более обнадеживающе).
1 2 3 4 5 6