VadikV


54

Льюис Кэрролл: «Логическ
ая игра»



Льюис Кэрролл
Логическая игра


«Библиотечка «Квант». Выпуск 73. Логическая игра»: Наука. Главная редакция
физ.-мат. литературы; М.; 1991
ISBN 5-02-014220-4

Аннотация

Автор «Алисы в стране чудес» бы
л, как известно, математиком. В данной книге он описывает игру, которая поз
воляет графическим образом из двух суждений выводить третье, т.е. выража
ясь терминами логики, решать силлогизмы.

Льюис Кэрролл
Логическая игра

Пред взором мысленным моим
Одно проходит за другим
Дней давних смутные виденья.
Но образ твой, сколь я ни ждал,
Пред мною так и не предстал
Ни наяву, ни в сновиденьях,
Мой милый, нежный друг!

И все чудится порой
Твоя улыбка, голос твой,
Звучащий где-то вдалеке,
И снова время прочь летит,
И, словно прежде, вновь лежит
Твоя рука в моей руке,
Прелестный, юный друг!

Пусть дни мои к концу идут Ц
Немало радостных минут
Мне было послано судьбой!
Лишь ты не знала бы забот,
Печалей, горестей, невзгод,
О юный друг мой,
Милый, нежный друг!

Введение

Чтобы играть в эту игру, необходимо иметь девять фишек: четыре фишк
и одного цвета и пять Ц другого. Например, четыре красных и пять чер
ных.
Кроме девяти фишек необходимо также иметь по крайней мере од
ного игрока. Мне не известна ни одна игра, в которой число участников было
бы меньше . В то же время я знаю несколько игр, в которых число иг
роков больше , чем в нашей игре. Например, чтобы играть в крокет,
необходимо собрать команду из двадцати двух игроков. Разумеется, найти
одного игрока гораздо легче, чем найти двадцать два игрока. Вм
есте с тем нельзя не заметить, что хотя одного игрока для нашей игры вполн
е достаточно, намного интереснее играть в нее вдвоем и помогать друг дру
гу исправлять допущенные ошибки.
Наша игра обладает еще одним преимуществом. Она не только служит неисчер
паемым источником развлечения (число умозаключений, которые можно выве
сти, играя в нашу игру, бесконечно), но и позволяет игроку узнавать нечто н
овое (правда, в весьма умеренных дозах). Впрочем, особого вреда от это
го нет, поскольку удовольствия она доставляет неизмеримо больше.






Цвета фишек


Стало вдруг светлым-светло:

Солнце КРАСНОЕ взошло.





А у ночи ЧЕРНЫЙ цвет:
Солнца на небе уж нет.






Глава 1. Старые истины на новы
й лад

1. Суждения

«Некоторые свежие булочки вкусные».
«Ни одна свежая булочка не вкусная».
«Все свежие булочки вкусные».
Перед вами три суждения Ц только такие три типа суждений мы и
будем использовать в этой игре. Первое, что необходимо сделать, Ц это нау
читься изображать их на нашей диаграмме.
Начнем с рассуждения «Некоторые свежие булочки вкусные», но прежде сдел
аем одно замечание. Оно необычайно важно и понять его сразу не так-то прос
то, поэтому читать его надо очень внимательно.
В окружающем нас мире имеется много предметов (таких, как «березки», «бар
аны», «бациллы», «быки» и т. д.). Предметы эти обладают множеством признако
в (таких, как, например, «белые», «бестолковые», «болезнетворные», «бодлив
ые» и т. п.; в действительности любое свойство, которое «признано» за предм
етом, или, как еще говорят, «принадлежит ему», может служить его признаком
). Если нам нужно назвать предмет, мы употребляем существительное
. Если же нужно назвать какой-нибудь признак, мы употребляем пр
илагательное . Наверное, найдутся люди, которым захочется спросить:
«Может ли существовать предмет, не обладающий никакими признаками?» Это
очень трудный вопрос, и я даже не буду пытаться ответить на него. Мы просто
гордо отвернемся и будем хранить презрительное молчание, делая вид, буд
то он не достоин нашего внимания. Но если вопрос поставлен иначе и люди хо
тят знать, могуть ли существовать признаки, не принадлежащие никаким пре
дметам, то мы сразу же сможем ответить: «Нет, как не могут грудные младенцы
самостоятельно совершать поездки по железной дороге!» Ведь не приходил
ось же вам никогда видеть, как «блестящее» плавает в воздухе или рассыпа
но по полу, без того, чтобы хоть какой-нибудь предмет не был бле
стящим?
К чем я веду весь этот длинный (и довольно бессвязный) разговор? А вот к чем
у. Между именами двух предметов или между именами двух предметов или меж
ду именами двух признаков можно вставить слово «есть» или «суть»
«Суть» Ц множест
венное число слова «есть» в языке Ц предке нынешних славянских языков.
Ц Примеч. ред.
(или подразумевать, что такое слово вставлено), и при этом результат
получится вполне осмысленным. Например, «некоторые свиньи суть жирные ж
ивотные» или «розовый Ц это светло-красный». Но если вы вставите слово «
есть» или «суть» между именем предмета и именем признак
а (например, «некоторые свиньи суть розовые»), то ничего хорошего из
этого не получится (ибо как может предмет быть признаком?), есл
и тот, с кем вы говорите, не знает заранее, что вы имеете в виду. Мне кажется,
что добиться взаимопонимания было бы проще всего, если бы мы условились
повторять существительное в конце предложения. В этом случае предложен
ие, если его записать полностью, имело бы вид: «Некоторые свиньи суть розо
вые (свиньи)». Никаких противоречий при этом не возникает. Итак, чтобы сужд
ение «Некоторые свежие булочки вкусные» имело смысл, необходимо предпо
ложить, что оно записано в развернутом виде: «Некоторые свежие булочки с
уть вкусные (булочки)».
Полное суждение содержит два термина : один из них Ц «некотор
ые булочки», другой Ц «вкусные булочки». Термин «некоторые булочки», о к
отором идет речь, называется субъектом суждения, термин «вку
сные булочки» Ц предикатом суждения. Наше суждение час
тное , поскольку в нем говорится не о в всем субъекте, а лишь о его
части . Суждения «Ни одна свежая булочка не вкусная» и «Все све
жие булочки вкусные» называются общими , поскольку в каждом и
з них речь идет обо всем предикате: в первом из них отрицается а во втором
утверждается «вкуснота» всего класса «свежих булочек». Нако
нец, если вы захотите узнать, что же такое суждение , то мы можем
предложить вам следующее определение: «Суждение Ц это предложение, утв
ерждающее, что некоторые или все предметы, принадлежащие определенному
классу, называемому субъектом, одновременно являются предметами, прина
длежащими другому классу, называемому предикатом» (или что ни один предм
ет, принадлежащий классу «субъект», не является предметом, принадлежащи
м классу «предикат»).
Эти девять слов Ц суждение , признак , термин
, суждения , субъект , предикат ,
частное и общее суждение Ц окажутся необычайно полезн
ыми, если кому-нибудь из ваших приятелей придет в голову поинтересовать
ся, не приходилось ли вам когда-нибудь изучать логику. Не забудьте употре
бить в своем ответе все девять слов, и ваш приятель удалится совершенно п
отрясенным, «став не только мудрее, но и печальнее». Взгляните теперь на м
еньшую диаграмму (с. 9). Предположим, что она нарисована на подносе, который
вмещает все булочки в мире (разумеется, размеры его должны быть дос
таточно велики). Пусть все свежие булочки находятся на верхней поло
вине диаграммы (помеченной буквой x), а все остальные (т. е. не све
жие) Ц на нижней (помеченной буквой x'). На нижней половине окажутся ч
ерствые булочки, окаменевшие булочки, допотопные
булочки (если таковые существуют Ц лично мне их видеть не приходил
ось) и т. д. Сделаем еще одно предположение: будем считать, что все вкусные б
улочки находятся на левой половине диаграммы (помеченной буквой y), а все п
рочие (т.е. не вкусные) булочки Ц на правой половине (помеченно
й буквой y'). Таким образом, x временно означает «свежие», x' Ц «несвежие», y Ц
«вкусные» и y' Ц «невкусные».
Как вы думаете, какие булочки находятся в клетке 5?
Вы видите, что эта клетка расположена в верхней половине диаграммы. След
овательно, если в ней есть хоть какие-нибудь булочки, то они должны быть
свежими . В то же время клетка 5 расположена в левой половине диа
граммы; следовательно, принадлежащие ей булочки должны быть вкусн
ыми . Таким образом, если мы воспользуемся буквенными обозначениям
и, «быть xy».
Обратите внимание, что буквы x и y написаны на двух сторонах клетки 5. Как вы
увидите в дальнейшем, это позволяет необычайно просто узнавать, какими п
ризнаками обладают предметы, находящиеся в любой из клеток. Возьмем, нап
ример, клетку 7. Если в ней есть булочки, то они должны быть x'y, т. е. «несвежие и
вкусные».
Примем теперь еще одно соглашение: будем считать, что клетка «занята», т. е
. в ней находятся некоторые булочки, если на ней стоит красная ф
ишка. Слово «некоторые» в логике означает «одна или несколько», поэтому
одной-единственной булочки в клетке совершенно достаточно для того, что
бы мы могли сказать: «В этой клетке находятся некоторые булочки». Услови
мся также считать, что черная фишка, стоящая в какой-нибудь клетке, означа
ет, что эта клетка «пуста», т. е. в ней нет ни одной булочки.
Поскольку субъектом нашего суждения служат «свежие булочки», мы времен
но будем рассматривать только верхнюю половину подноса, где находятся в
се булочки, обладающие признаком x, т. е. «свежие».
Предположим, что, сосредоточив внимание на верхней половине диаграммы, м
ы обнаружили, что она размечена следующим образом:



т. е. красная фишка стоит на клетке 5. Что можно сказать в этом случае о класс
е «свежих булочек»?
А то, что некоторые из них находятся в клетке xy, т. е. помимо призн
ака x, общего для двух верхних клеток, обладают еще и признаком y (т. е. «свежи
е»). Иначе говоря, мы получили суждение «Некоторые x-булочки суть y (булочки)
», или, если подставить вместо x и y их значения, «Некоторые свежие булочки с
уть вкусные (булочки)». Кратко то же самое можно выразить так: «Некоторые с
вежие булочки вкусные». Наконец-то мы узнали, как изображается на диагра
мме первое из суждений, приведенных в самом начале этого параграфа!
Если вы недостаточно уяснили то, о чем я говорил до сих пор, вам
лучше не продолжать чтения, а вернуться назад и перечитать этот параграф
еще несколько раз Ц до тех пор, пока вы не разберетесь во всем до ко
нца . Зато, как только вы усвоите эту часть, все остальное не вызовет у
вас никаких затруднений.
Рассмотрение двух других суждений будет несколько проще, если мы услови
мся вообще опускать слово «булочки». Я нахожу, что весь класс предметов, д
ля которых предназначается поднос с начерченной на нем диаграммой, удоб
но называть « Универсум », или « Мир ». Чтобы испробов
ать новый термин, скажем, например: «Рассмотрим Мир булочек». (Звучит хоро
шо, не правда ли?)
Разумеется, мы можем брать не только булочки, но и другие предметы и выска
зывать суждения о «Мире ящериц» или даже о «Мире ос-шершней». (Вы, конечно,
согласны, что последний «Мир» просто очарователен и жить в нем Ц одно уд
овольствие?)
Вернемся к нашей диаграмме. Мы уже знаем, что



означает «Некоторые x суть y», т. е. «Некоторые свежие суть вкусные».
Разумеется, вы сразу, без всяких объяснений, догадаетесь (я просто уверен
в этом), что



означает «Некоторые x суть y'», т. е. «Некоторые свежие суть невкусные».
Поставим теперь на клетку 5 черную фишку и спросим себя, что означает



Мы видим, что клетка xy пуста . Следовательно, нуль в клетке 5 соот
ветствует суждению «Ни один x не есть y», или «Ни одна свежая булочка не вку
сная», а это не что иное, как второе из трех суждений, приведенных в начале
параграфа.
Точно так же диаграмма



означает «Ни один x не есть y'», или «Ни одна свежая булочка не невкусная».
А как перевести на обычный язык такую диаграмму




Думаю, что вы и без моей помощи разберетесь, что с ее помощью записано
двойное суждение: «Некоторые x суть y, и некоторые x суть y'», т. е. «Н
екоторые свежие (булочки) вкусны, а некоторые свежие (булочки) невкусные».

Может быть, диаграмма




вам покажется более сложной.
Она означает, что «Ни один x не есть y, и ни один x не есть y'», т. е. «Ни одна свежая
(булочка) не вкусная, и ни одна свежая (булочка) не невкусная». Отсюда следу
ет весьма любопытное заключение: «Ни одна свежая булочка не существует»
, т. е. «Ни одна булочка не свежая». Оно связано с тем, что разбиение класса «
свежих булочек» на «вкусные» и «невкусные» булочки, если взять их вместе
, исчерпывают весь класс «свежих булочек». Иначе говоря, все св
ежие булочки, которые только существуют, должны принадлежать либо множе
ству «вкусных булочек», либо множеству «невкусных булочек».
Предположим, что вам необходимо изобразить на диаграмме с помощью фишек
суждение, противоположное суждению «Ни одна булочка не свежая», т. е. сужд
ение «Некоторые булочки свежие» (или, если воспользоваться уже употребл
явшимися буквенными обозначениями, «Некоторые булочки суть x»). Как это с
делать?
Подобная задача вряд ли поставит вас в тупик. Ясно, что красную фишку нужн
о поставить куда-то на x-половину подноса, поскольку известно,
что имеется некоторое количество свежих булочек. Поставить красную фиш
ку на левую клетку нельзя, поскольку вы не можете с уверенностью сказать,
что эти булочки вкусные . Точно так же нельзя поставить красну
ю фишку и на правую клетку: ведь ни откуда не следует, что эти булочки
невкусные .
Что же делать? Мне кажется, что лучший выход из создавшегося затруднител
ьного положения Ц поставить красную фишку на линию , отделяю
щую клетку xy от клетки xy'. Эту ситуацию я буду изображать на диаграмме так



Наши остроумные американские кузины говорят о человеке, который хочет в
ступить в одну из двух партий, таких, как их партии «демократов» и «респуб
ликанцев», но никак не может решить какую именно ему выбрать, ч
то он «сидит на стенке». Это выражение как нельзя лучше подходит к красно
й фишке, которую вы только что поставили на разделительную линию: ей нрав
ится и клетка 5, и клетка 6, но она не может решиться, в какую из них
спрыгнуть. Так и сидит себе, глупышка, верхом на стенке и болтает от нечег
о делать ногами!
А теперь я хочу предложить вам гораздо более трудную задачу. Как, по-вашем
у, что означает диаграмма




Ясно, что перед нами какое-то двойное суждение. Оно говорит на
м не только, что «Некоторые x суть y», но и что «Ни один x не есть не-y». Следоват
ельно, « все x суть y», т. е. «Все свежие булочки вкусные». Вот мы и у
знали, как выглядит последнее из трех суждений, приведенных в начале это
го параграфа.
Итак, общее суждение «Все свежие булочки вкусные состоит из двух
суждений, взятых вместе: «Некоторые свежие булочки вкусные» и «Ни о
дна свежая булочка не невкусная».
Аналогично единственномудиаграмма




означает «Все x суть y'», т. е. «Все свежие булочки невкусные».
А что делать с таким суждением, как «Булочка, которую вы мне дали, вкусная»
? Оно частное или общее?
Ц Ну конечно же, частное, Ц поспешите ответить вы. Ц Впрочем, одна-един
ственная булочка вряд ли стоит того, чтобы называть ее «некоторые булочк
и».
Нет, мой дорогой импульсивный читатель, оно общее. Ведь как ни мало булоче
к (а я уверяю вас, что меньше их и быть не может), все же они суть (хотя правиль
нее было бы сказать «они есть») все булочки, которые вы мне дал
и! Разделив «Мир булочек» на две части (о красной фишке мы пока забудем) Ц
на булочки, которые вы мне дали (для них я отведу верхнюю половину подноса
), и булочки, которые вы мне не дали (их мы условимся складывать н
а нижней половине подноса), Ц я обнаружу, что на нижней половине подноса
булочек полным-полно, а на верхней их очень мало (меньше некуда!). Предполо
жим теперь, что мне нужно рассортировать булочки на каждой половине подн
оса: отложить налево вкусные булочки, направо Ц невкус
ные . Начну я со всех булочек, которые вы мне дали. Сортировать их я буд
у самым тщательным образом, приговаривая время от времени: «Ну что за щед
рый человек! Чем я смогу отплатить ему за его доброту?» Все вкусные булочк
и, лежащие на верхней половине подноса, я сложу в левую клетку. Думаю
, что это не займет у меня слишком много времени !
А вот еще одно общее суждение: «Барзилаи Беккалегг Ц честный человек». О
значает оно следующее: «Все Барзилаи Беккалегги, которых я в данный моме
нт рассматриваю, честные люди». (Вы, наверное, думаете, что я выдумал столь
звучное имя?
1 2 3 4 5 6