Возможности практически бесконечны, причем их удивительное многообразие обусловлено всего лишь правилами 1 и 2.
Решения
1. Одно из решений состоит в том, чтобы принять Х=4325243 и У=524325243. Поскольку число 25243 порождает число 5243, то число 325243 порождает ассоциат 5243, или число 524325243, которое и есть У.
Далее, так как число 325243 порождает У, то число 4325243 порождает обращение У, но 4325243 — это как раз и есть X. Таким образом, X порождает обращение У. Кроме того. У, очевидно, порождает повторение X (потому что У — это есть число 52Х, а поскольку число 2Х порождает X, то число 52Х будет порождать повторение X). Итак, X порождает обращение У, а У порождает повторение X.
2. Крейг воспользовался законом Мак-Каллоха, а именно: для любого числа А существует некоторое число X (а именно число 32A3), которое порождает число АХ. Так, в частности, если мы примем А за число 2, то получим некоторое число X (а именно число 3223), которое порождает 2Х. Число же 2Х в свою очередь будет порождать X. Таким образом, в качестве решения этой задачи подходит пара чисел 3223 и 23223: 3223 порождает 23223, а 23223 порождает 3223.
3. Крейг решил эту задачу следующим способом. Он рассудил, что ему надо всего лишь найти такое число X, которое порождает 27X. Тогда, положив У = 27Х, мы получим, что число X порождает У, а число У порождает 7Х. Такое число X он тоже нашел- это число 32273. Поэтому решение Крейга имеет вид: Х = 32273, У=2732273.
То же самое происходит, конечно, и в том случае, если вместо конкретного числа 7 мы возьмем любое число А. В самом деле, если Х = 322АЗ, а У = 2А322АЗ, то число X будет порождать У, а число У будет порождать АХ.
4. Что же касается Мак-Каллоха, то он подошел к решению данной задачи несколько иначе. Он начал с того, что стал искать такое число У, которое порождает 72 У. Теперь, если обозначить через X число 2 У, то мы получаем, что число X порождает У, а число У порождает 7Х. При этом нам уже известно, как найти такое число У — надо взять У = 32723. Итак, решение Мак-Каллоха имеет вид: Х = 232723, У = 32723.
5. Единственное, что нам нужно — это найти такое число X, которое порождало бы число А2ВХ. Тогда, если мы положим У=2ВХ, то будем иметь, что число X порождает А У, а число У порождает ВХ. Таким числом X, которое порождает А2ВХ, является число 32А2ВЗ. Стало быть, решение задачи выглядит так: Х = 32А2ВЗ, У = 2В32А2ВЗ. (В частном случае А = 7, В = 8 и решением будет Х = 327283, У = 28327283.)
6. Сначала попробуем решить эту задачу с помощью второго принципа Крейга, который, как мы помним, гласит, что для любого операционного числа М и для произвольного числа А существует некоторое число X (а именно число М32АМЗ), которое порождает М(АХ). Возьмем теперь два любых операционных числа М и N. Тогда, согласно этому принципу (если взять в качестве А число N2), найдется некое число X (а именно число M32N2M3), которое порождает число M(N2X). Ясно также, что число N2X порождает N(X). Поэтому если обозначить число N2X через У, то мы получим, что число X порождает М(У), а число У порождает N(X). Следовательно, решение задачи имеет вид: X = M32N2M3, Y = N2M32N2M3. (Для конкретной задачи, предложенной Фергюссоном, положим М = 4 и N = 3, тогда решение будет таким: Х = 4323243, У = 324323243, читатель сам может убедиться в том, что X порождает обращение У, а У порождает ассоциат X; последняя часть этого утверждения особенно очевидна.)
Можно подойти к решению этой задачи и по-другому. Из решения задачи 5 мы знаем, что существуют числа Z и W, при которых Z порождает NW, a W порождает MZ (а именно числа Z = 32N2M3 и W = 2M32N2M3). Тогда, согласно утверждению 1 из предыдущей главы, число MZ порождает M(NW), a число NW порождает N(MZ). Поэтому если мы обозначим MZ через X, a NW через У, то сразу получим, что число X порождает М(У), а число У порождает N(X). Таким образом, мы получаем то же самое решение: X = M32N2M3 и y = N2M32N2M3.
7. Здесь нам необходимо найти такое число X, которое порождало бы число М(AN2BX); согласно второму принципу Крейга, таким числом X является число M32AN2BM3. Возьмем N2BX в качестве У; тогда число X порождает М(АУ), а число У (которое есть N2BX), очевидно, порождает N(BX). Итак, общее решение задачи (или, по крайней мере, одно из возможных общих решений) имеет вид: X = M32AN2BM3, Y = N2BM32AN2BM3. Для конкретного частного случая положим М = 5, N = 4, А = 7 и В = 89.
8. Согласно второму принципу Крейга, существует некоторое число X, которое порождает М(2ВХ), а именно Х = М322ВМЗ. Положим теперь У=2ВХ. Тогда X порождает М(У), а У порождает ВХ. Для конкретного частного случая примем М = 3 и В = 78; при этом решение будет иметь вид: Х = 33227833, У = 27833227833.
9. а) Возьмем некоторое число X, которое порождает M(AN2X), и обозначим через У число N2X. (Мы можем взять X равным M32AN23, a y = N2M32AN23.) Тогда X порождает М(АУ), а У порождает N(X).
б) Теперь возьмем X, которое порождает М(А2ВХ), и обозначим через У число 2ВХ. (Итак, в этом случае решение имеет вид: Х = М32А2ВЗ, У = 2ВМ32А2ВЗ.)
в) Если число X порождает М(У), а У = 2Х, то мы сразу имеем решение задачи; поэтому положим Х = М322МЗ, У = 2М322МЗ.
г) Если X порождает М(АУ), а У = 2Х, то мы сразу получаем требуемое решение; поэтому положим Х = М32А2МЗ и У = 2М32А2МЗ.
10. Согласно второму принципу Крейга, существует некое число X, которое порождает M(N2P2X), a именно X = M32N2P2M3. Положим Y = N2P2X, тогда число X порождает М(У). Пусть теперь Z = P2X, тогда y = N2Z; при этом число У порождает N(Z), а число Z порождает Р(Х). Таким образом, в явном виде решение будет таким: X = M32N2P2M3,
Y = N2P2M32N2P2M3,
Z = P2M32N2P2M3.
Для частного случая это решение имеет вид: Х = 432523243, У = 5232432523243, Z = 32432523243.
Читатель сам может легко убедиться, что действительно X порождает обращение У, Y порождает повторение Z, a Z порождает ассоциат X.
Кстати говоря, для любых трех чисел А, В и С мы всегда можем найти такие числа U, V и W, при которых U порождает AV, V порождает BW, a W порождает CU. Для этого надо просто взять такое число U, которое порождало бы число А2В2СU (если же мы воспользуемся вторым принципом Крейга, то получим U = 32A2B2C3). Положим теперь V = 2B2CU и W = 2CU. Тогда число U будет порождать AV, число V будет порождать BW, а число W будет порождать CU. Наконец, если теперь принять А, В и С за операционные числа и положить X = AV, Y = BW и Z = CU, то мы получим, что число X порождает A(Y), число У порождает B(Z), а число Z порождает С(Х). Таким образом, мы нашли еще один способ решения данной задачи.
Остановимся, попробуем обобщить!
Два дня спустя полицейское начальство из Скотланд-Ярда внезапно и совершенно неожиданно для Крейга срочно откомандировало его в Норвегию для расследования, хотя и интересного, но нас не касающегося. Поэтому я воспользуюсь отсутствием Крейга, чтобы поделиться с вами кое-какими собственными соображениями по поводу числовых машин Мак-Каллоха. Те же читатели, которым не терпится узнать решение загадки сейфа из Монте-Карло, могут отложить чтение этой главы на потом.
Математики обожают обобщать! Сплошь и рядом случается так: некий математик по имени X доказывает новую теорему и публикует доказательство в научном журнале. Потом проходит полгода и появляется другой математик, Y, который вдруг заявляет: «Ну ладно, неплохую теоремку доказал этот X, однако я могу доказать гораздо более общий случай!» И тут же печатает статью под названием «Об одном обобщении георемы Х-а». Или же Y оказывается похитрее и поступает следующим образом: сначала он втайне обобщает теорему, доказанную Х-м, а потом исследует какой-нибудь частный случай своего обобщения. Этот частный случай по внешнему виду обычно настолько отличается от исходной теоремы, предложенной Х-м, что Y вполне может опубликовать полученный результат в качестве новой, оригинальной теоремы. Тут на сцене, естественно, появляется третий математик по имени Z: этого Z никак не оставляет чувство, что где-то теоремы Х-а и Y-a в чем-то важном очень сходны. Он начинает напряженно работать и… обнаруживает некий общий принцип. Z тут же публикует работу, в которой формулирует и доказывает этот новый общий принцип, а в заключение добавляет: «Теоремы, предложенные Х-м и Y-м, вполне могут рассматриваться как частные случаи нашего общего принципа, поскольку…»
Ну что ж, я тут не исключение. Поэтому я хочу сначала указать на некоторые свойства машин Мак-Каллоха, которых, как мне кажется, не заметили ни сам Мак-Каллох, ни Крейг, ни Фергюссон, после чего я попытаюсь сделать некоторые обобщения.
Первое, что больше всего поразило меня при нашем обсуждении работы второй машины Мак-Каллоха, было то, что после введения правила 4 (правило повторения) мы уже больше не нуждаемся в правиле 2 (правило ассоциата) для того, чтобы получить принцип Крейга и законы Фергюссона! В самом деле, рассмотрим машину, в которой используются только правила 1 и 4. Для такой машины мы всегда можем найти некое число X, которое порождает само себя; можем также найти такое число, которое порождает повторение самого себя; задавая произвольное число А, мы можем найти такое число X, которое порождает АХ; наконец, мы можем найти число X, которое порождает повторение числа АХ или же повторение повторения АХ. Кроме того, используя машину Мак-Каллоха, из которой выведено правило 2, мы можем найти такое число X, которое порождает обращение самого себя, или число X, которое порождает повторение своего собственного обращения, или же число X, которое порождает обращение числа АХ, или, наконец, число X, которое порождает повторение обращения числа АХ. Далее, рассмотрим машину, в которой используются предложенные Мак-Каллохом правила 1, 2 и 4 (за исключением правила 3, то есть правила обращения). При такой машине у нас имеются два различных способа построения числа, которое порождает ассоциат самого себя, два способа построения числа, которое порождает свое собственное повторение; наконец, два способа построения числа, порождающего ассоциат своего повторения или повторение ассоциата самого себя.
Наконец, если у нас имеется произвольная машина, в которую заложены лишь правила 1 и 4, то принцип Крейга и законы Фергюссона продолжают выполняться и в этом случае. Таким образом, если бы мы вместо правила 2 воспользовались правилом 4, то для большинства задач, о которых шла речь в двух предыдущих главах, мы вполне могли бы получить альтернативные решения. (Понятно ли читателю, как все это можно сделать? Если нет, то можно обратиться к приведенным далее пояснениям.)
Я мог бы рассказать еще о многом, но лучше, пожалуй, будет сформулировать мои основные замечания в виде трех теорем.
Теорема 1. Закон Мак-Каллоха (который, как известно, гласит, что при любом А существует некое число X, которое порождает число АХ) оказывается справедливым не только для машин, подчиняющихся правилам 1 и 2, но и для машин, подчиняющихся правилам 1 и 4.
Теорема 2. Любая машина, которая подчиняется закону Мак-Каллоха, подчиняется также и двум принципам Крейга.
Теорема 3. Любая машина, которая подчиняется одновременно второму принципу Крейга и правилу 1, должна подчиняться также и всем законам Фергюссона.
Не сообразит ли читатель, как доказать все эти теоремы?
Решения
Рассмотрим сначала произвольную машину, которая подчиняется правилам 1 и 4. Как известно, при любом X число 52X порождает число XX; поэтому если выбрать в качестве X число 52, то мы получим, что число 5252 порождает число 5252. Итак, у нас есть число, которое порождает само себя. Кроме того, число 552552 порождает повторение самого себя. Далее, чтобы для любого А найти число X, которое порождает АХ, возьмем в качестве X число 52А 52 (в самом деле, оно порождает повторение числа А 52, которое есть число А52А52, то есть число АХ). Тем самым мы доказали теорему 1. (Если мы хотим найти число X, которое порождает повторение АХ, то в качестве X следует взять число 552А552.)
А теперь рассмотрим машину, которая подчиняется выведенным Мак-Каллохом правилам 1, 3 и 4. Числом, порождающим обращение самого себя, является, например, число 452452 (оно порождает обращение повторения числа 452, или, другими словами, обращение числа 452452). (Сравните его с предыдущим решением 43243.) Числом, которое порождает повторение обращения самого себя, является число 54525452. (Сравните его с прежним решением 5432543.)
Далее, рассмотрим машину, которая подчиняется правилам 1, 2 и 4. Мы знаем, что число 33233 порождает свой собственный ассоциат точно так же, как и число 352352. Что касается числа X, порождающего повторение самого себя, то у нас уже имеются два решения — это числа 35235 и 552552. Что же касается числа X, порождающего ассоциат повторения самого себя, то одним решением служит число 3532353; другим — число 35523552. Наконец, для числа, которое порождает повторение своего собственного ассоциата, также существуют два решения — это число 5332533 или число 53525352.
Наконец, рассмотрим некоторую произвольную машину, которая подчиняется по меньшей мере двум из правил Мак-Каллоха, а именно: правилам 1 и 4. Для заданного операционного числа М числом А, порождающим М(Х), оказывается число М52М52. (Сравните его с прежним решением — числом М32МЗ, полученным для машины, в которой вместо правила 4 используется правило 2.) Если теперь задано операционное число М и некое число А, то числом X, порождающим M(AX), будет число М52АМ52. (Сравните его с прежним решением — М32АМЗ.) Построенные решения показывают нам, что оба принципа Крейга могут быть получены на основании правил 1 и 4. Впрочем, я сформулировал гораздо более общее утверждение, а именно: для того чтобы получить принципы Крейга, достаточно одного только закона Мак-Каллоха (теорема 2). Это утверждение можно доказать тем же способом, который использовался нами в гл. 10. В самом деле, для любого заданного операционного числа М существует некое число Y, которое порождает MY; отсюда ясно, что число М У порождает М(М У). Поэтому число X порождает М(Х), где Х = МУ. Точно так же для любого числа А, если имеется некоторое число У, порождающее AMY, число МУ порождает М(АМУ) и, следовательно, число X порождает М(АХ) при Х = МУ.
Что же касается теоремы 3, то ее можно доказать так же, как это делалось в предыдущей главе. [Например, если даны операционные числа М и N и если выполняется второй принцип Крейга, то существует некое число X, которое порождает M(N2X). Если теперь мы обозначим число N2X через У, то получим, что число X порождает М(У), а число У порождаетN(X)]
Ключ
Дело, по которому Крейг поехал в Норвегию, заняло у него гораздо меньше времени, чем он предполагал, и ровно через три недели инспектор возвратился домой. Дома его ждала записка от Мак-Каллоха:
Дорогой Крейг!
Если ты случайно вернешься из Норвегии до 12 мая (это пятница), то приходи ко мне в этот день обедать. Фергюссона я уже пригласил.
С приветом
Норман Мак-Каллох
— Вот и отлично! — сказал себе Крейг. — Я вернулся как раз вовремя!
Крейг приехал к Мак-Каллоху минут через пятнадцать после того, как там появился Фергюссон.
— С благополучным возвращением! — приветствовал приятеля Мак-Каллох.
— Пока вас не было, — сразу же сообщил Фергюссон, — Мак-Каллох изобрел новую числовую машину!
— Ну да? — удивился Крейг.
— Я занимался этим не один, — сказал Мак-Каллох, — Фергюссон тоже приложил к ней руку. А вообще-то машина интересная; на этот раз в нее введены следующие четыре правила:
правило MI: для любого числа X число 2X2 порождает X;
правил о МII: если число X порождает число У, то число 6Х порождает число 2 У;
правило MIII: если число X порождает число У, то число 4Х порождает число У (как и в случае предыдущей машины);
правило MIV: если число X порождает число У, то число 5Х порождает число УУ (как и в случае предыдущей машины).
— Эта машина, — продолжал Мак-Каллох, — обладает всеми прекрасными свойствами моей последней машины — она подчиняется двум твоим принципам и, кроме того, закону двойных аналогов Фергюссона.
Крейг довольно долго и внимательно изучал эти правила. Наконец он сказал:
— Что-то мне никак не удается сдвинуться с места. Не могу даже найти число, которое порождает само себя. Есть тут такие числа?
— Есть, — ответил Мак-Каллох, — но с помощью этой машины найти их гораздо труднее, чем в предыдущем случае. Честно говоря, я тоже не смог решить эту задачу. А вот Фергюссон с ней справился. Более того, теперь мы знаем, что такое короткое число, порождающее само себя, состоит из десяти цифр.
Крейг опять глубоко задумался.
— А что, первых двух правил недостаточно для нахождения такого числа? — поинтересовался он наконец.
— Нет, конечно! — ответил Мак-Каллох. — Для получения этого числа нам необходимы все четыре правила.
— Удивительное дело, — пробормотал Крейг и вновь погрузился в глубокое раздумье.
— О господи! — вдруг воскликнул он, буквально подскочив на стуле. — Да ведь это же решение загадки сейфа!
— О чем это вы? — спросил Фергюссон.
— А-а, прошу прощения! Вы ведь не знаете, — сказал Крейг и поведал им всю историю с банковским сейфом из Монте-Карло.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
Решения
1. Одно из решений состоит в том, чтобы принять Х=4325243 и У=524325243. Поскольку число 25243 порождает число 5243, то число 325243 порождает ассоциат 5243, или число 524325243, которое и есть У.
Далее, так как число 325243 порождает У, то число 4325243 порождает обращение У, но 4325243 — это как раз и есть X. Таким образом, X порождает обращение У. Кроме того. У, очевидно, порождает повторение X (потому что У — это есть число 52Х, а поскольку число 2Х порождает X, то число 52Х будет порождать повторение X). Итак, X порождает обращение У, а У порождает повторение X.
2. Крейг воспользовался законом Мак-Каллоха, а именно: для любого числа А существует некоторое число X (а именно число 32A3), которое порождает число АХ. Так, в частности, если мы примем А за число 2, то получим некоторое число X (а именно число 3223), которое порождает 2Х. Число же 2Х в свою очередь будет порождать X. Таким образом, в качестве решения этой задачи подходит пара чисел 3223 и 23223: 3223 порождает 23223, а 23223 порождает 3223.
3. Крейг решил эту задачу следующим способом. Он рассудил, что ему надо всего лишь найти такое число X, которое порождает 27X. Тогда, положив У = 27Х, мы получим, что число X порождает У, а число У порождает 7Х. Такое число X он тоже нашел- это число 32273. Поэтому решение Крейга имеет вид: Х = 32273, У=2732273.
То же самое происходит, конечно, и в том случае, если вместо конкретного числа 7 мы возьмем любое число А. В самом деле, если Х = 322АЗ, а У = 2А322АЗ, то число X будет порождать У, а число У будет порождать АХ.
4. Что же касается Мак-Каллоха, то он подошел к решению данной задачи несколько иначе. Он начал с того, что стал искать такое число У, которое порождает 72 У. Теперь, если обозначить через X число 2 У, то мы получаем, что число X порождает У, а число У порождает 7Х. При этом нам уже известно, как найти такое число У — надо взять У = 32723. Итак, решение Мак-Каллоха имеет вид: Х = 232723, У = 32723.
5. Единственное, что нам нужно — это найти такое число X, которое порождало бы число А2ВХ. Тогда, если мы положим У=2ВХ, то будем иметь, что число X порождает А У, а число У порождает ВХ. Таким числом X, которое порождает А2ВХ, является число 32А2ВЗ. Стало быть, решение задачи выглядит так: Х = 32А2ВЗ, У = 2В32А2ВЗ. (В частном случае А = 7, В = 8 и решением будет Х = 327283, У = 28327283.)
6. Сначала попробуем решить эту задачу с помощью второго принципа Крейга, который, как мы помним, гласит, что для любого операционного числа М и для произвольного числа А существует некоторое число X (а именно число М32АМЗ), которое порождает М(АХ). Возьмем теперь два любых операционных числа М и N. Тогда, согласно этому принципу (если взять в качестве А число N2), найдется некое число X (а именно число M32N2M3), которое порождает число M(N2X). Ясно также, что число N2X порождает N(X). Поэтому если обозначить число N2X через У, то мы получим, что число X порождает М(У), а число У порождает N(X). Следовательно, решение задачи имеет вид: X = M32N2M3, Y = N2M32N2M3. (Для конкретной задачи, предложенной Фергюссоном, положим М = 4 и N = 3, тогда решение будет таким: Х = 4323243, У = 324323243, читатель сам может убедиться в том, что X порождает обращение У, а У порождает ассоциат X; последняя часть этого утверждения особенно очевидна.)
Можно подойти к решению этой задачи и по-другому. Из решения задачи 5 мы знаем, что существуют числа Z и W, при которых Z порождает NW, a W порождает MZ (а именно числа Z = 32N2M3 и W = 2M32N2M3). Тогда, согласно утверждению 1 из предыдущей главы, число MZ порождает M(NW), a число NW порождает N(MZ). Поэтому если мы обозначим MZ через X, a NW через У, то сразу получим, что число X порождает М(У), а число У порождает N(X). Таким образом, мы получаем то же самое решение: X = M32N2M3 и y = N2M32N2M3.
7. Здесь нам необходимо найти такое число X, которое порождало бы число М(AN2BX); согласно второму принципу Крейга, таким числом X является число M32AN2BM3. Возьмем N2BX в качестве У; тогда число X порождает М(АУ), а число У (которое есть N2BX), очевидно, порождает N(BX). Итак, общее решение задачи (или, по крайней мере, одно из возможных общих решений) имеет вид: X = M32AN2BM3, Y = N2BM32AN2BM3. Для конкретного частного случая положим М = 5, N = 4, А = 7 и В = 89.
8. Согласно второму принципу Крейга, существует некоторое число X, которое порождает М(2ВХ), а именно Х = М322ВМЗ. Положим теперь У=2ВХ. Тогда X порождает М(У), а У порождает ВХ. Для конкретного частного случая примем М = 3 и В = 78; при этом решение будет иметь вид: Х = 33227833, У = 27833227833.
9. а) Возьмем некоторое число X, которое порождает M(AN2X), и обозначим через У число N2X. (Мы можем взять X равным M32AN23, a y = N2M32AN23.) Тогда X порождает М(АУ), а У порождает N(X).
б) Теперь возьмем X, которое порождает М(А2ВХ), и обозначим через У число 2ВХ. (Итак, в этом случае решение имеет вид: Х = М32А2ВЗ, У = 2ВМ32А2ВЗ.)
в) Если число X порождает М(У), а У = 2Х, то мы сразу имеем решение задачи; поэтому положим Х = М322МЗ, У = 2М322МЗ.
г) Если X порождает М(АУ), а У = 2Х, то мы сразу получаем требуемое решение; поэтому положим Х = М32А2МЗ и У = 2М32А2МЗ.
10. Согласно второму принципу Крейга, существует некое число X, которое порождает M(N2P2X), a именно X = M32N2P2M3. Положим Y = N2P2X, тогда число X порождает М(У). Пусть теперь Z = P2X, тогда y = N2Z; при этом число У порождает N(Z), а число Z порождает Р(Х). Таким образом, в явном виде решение будет таким: X = M32N2P2M3,
Y = N2P2M32N2P2M3,
Z = P2M32N2P2M3.
Для частного случая это решение имеет вид: Х = 432523243, У = 5232432523243, Z = 32432523243.
Читатель сам может легко убедиться, что действительно X порождает обращение У, Y порождает повторение Z, a Z порождает ассоциат X.
Кстати говоря, для любых трех чисел А, В и С мы всегда можем найти такие числа U, V и W, при которых U порождает AV, V порождает BW, a W порождает CU. Для этого надо просто взять такое число U, которое порождало бы число А2В2СU (если же мы воспользуемся вторым принципом Крейга, то получим U = 32A2B2C3). Положим теперь V = 2B2CU и W = 2CU. Тогда число U будет порождать AV, число V будет порождать BW, а число W будет порождать CU. Наконец, если теперь принять А, В и С за операционные числа и положить X = AV, Y = BW и Z = CU, то мы получим, что число X порождает A(Y), число У порождает B(Z), а число Z порождает С(Х). Таким образом, мы нашли еще один способ решения данной задачи.
Остановимся, попробуем обобщить!
Два дня спустя полицейское начальство из Скотланд-Ярда внезапно и совершенно неожиданно для Крейга срочно откомандировало его в Норвегию для расследования, хотя и интересного, но нас не касающегося. Поэтому я воспользуюсь отсутствием Крейга, чтобы поделиться с вами кое-какими собственными соображениями по поводу числовых машин Мак-Каллоха. Те же читатели, которым не терпится узнать решение загадки сейфа из Монте-Карло, могут отложить чтение этой главы на потом.
Математики обожают обобщать! Сплошь и рядом случается так: некий математик по имени X доказывает новую теорему и публикует доказательство в научном журнале. Потом проходит полгода и появляется другой математик, Y, который вдруг заявляет: «Ну ладно, неплохую теоремку доказал этот X, однако я могу доказать гораздо более общий случай!» И тут же печатает статью под названием «Об одном обобщении георемы Х-а». Или же Y оказывается похитрее и поступает следующим образом: сначала он втайне обобщает теорему, доказанную Х-м, а потом исследует какой-нибудь частный случай своего обобщения. Этот частный случай по внешнему виду обычно настолько отличается от исходной теоремы, предложенной Х-м, что Y вполне может опубликовать полученный результат в качестве новой, оригинальной теоремы. Тут на сцене, естественно, появляется третий математик по имени Z: этого Z никак не оставляет чувство, что где-то теоремы Х-а и Y-a в чем-то важном очень сходны. Он начинает напряженно работать и… обнаруживает некий общий принцип. Z тут же публикует работу, в которой формулирует и доказывает этот новый общий принцип, а в заключение добавляет: «Теоремы, предложенные Х-м и Y-м, вполне могут рассматриваться как частные случаи нашего общего принципа, поскольку…»
Ну что ж, я тут не исключение. Поэтому я хочу сначала указать на некоторые свойства машин Мак-Каллоха, которых, как мне кажется, не заметили ни сам Мак-Каллох, ни Крейг, ни Фергюссон, после чего я попытаюсь сделать некоторые обобщения.
Первое, что больше всего поразило меня при нашем обсуждении работы второй машины Мак-Каллоха, было то, что после введения правила 4 (правило повторения) мы уже больше не нуждаемся в правиле 2 (правило ассоциата) для того, чтобы получить принцип Крейга и законы Фергюссона! В самом деле, рассмотрим машину, в которой используются только правила 1 и 4. Для такой машины мы всегда можем найти некое число X, которое порождает само себя; можем также найти такое число, которое порождает повторение самого себя; задавая произвольное число А, мы можем найти такое число X, которое порождает АХ; наконец, мы можем найти число X, которое порождает повторение числа АХ или же повторение повторения АХ. Кроме того, используя машину Мак-Каллоха, из которой выведено правило 2, мы можем найти такое число X, которое порождает обращение самого себя, или число X, которое порождает повторение своего собственного обращения, или же число X, которое порождает обращение числа АХ, или, наконец, число X, которое порождает повторение обращения числа АХ. Далее, рассмотрим машину, в которой используются предложенные Мак-Каллохом правила 1, 2 и 4 (за исключением правила 3, то есть правила обращения). При такой машине у нас имеются два различных способа построения числа, которое порождает ассоциат самого себя, два способа построения числа, которое порождает свое собственное повторение; наконец, два способа построения числа, порождающего ассоциат своего повторения или повторение ассоциата самого себя.
Наконец, если у нас имеется произвольная машина, в которую заложены лишь правила 1 и 4, то принцип Крейга и законы Фергюссона продолжают выполняться и в этом случае. Таким образом, если бы мы вместо правила 2 воспользовались правилом 4, то для большинства задач, о которых шла речь в двух предыдущих главах, мы вполне могли бы получить альтернативные решения. (Понятно ли читателю, как все это можно сделать? Если нет, то можно обратиться к приведенным далее пояснениям.)
Я мог бы рассказать еще о многом, но лучше, пожалуй, будет сформулировать мои основные замечания в виде трех теорем.
Теорема 1. Закон Мак-Каллоха (который, как известно, гласит, что при любом А существует некое число X, которое порождает число АХ) оказывается справедливым не только для машин, подчиняющихся правилам 1 и 2, но и для машин, подчиняющихся правилам 1 и 4.
Теорема 2. Любая машина, которая подчиняется закону Мак-Каллоха, подчиняется также и двум принципам Крейга.
Теорема 3. Любая машина, которая подчиняется одновременно второму принципу Крейга и правилу 1, должна подчиняться также и всем законам Фергюссона.
Не сообразит ли читатель, как доказать все эти теоремы?
Решения
Рассмотрим сначала произвольную машину, которая подчиняется правилам 1 и 4. Как известно, при любом X число 52X порождает число XX; поэтому если выбрать в качестве X число 52, то мы получим, что число 5252 порождает число 5252. Итак, у нас есть число, которое порождает само себя. Кроме того, число 552552 порождает повторение самого себя. Далее, чтобы для любого А найти число X, которое порождает АХ, возьмем в качестве X число 52А 52 (в самом деле, оно порождает повторение числа А 52, которое есть число А52А52, то есть число АХ). Тем самым мы доказали теорему 1. (Если мы хотим найти число X, которое порождает повторение АХ, то в качестве X следует взять число 552А552.)
А теперь рассмотрим машину, которая подчиняется выведенным Мак-Каллохом правилам 1, 3 и 4. Числом, порождающим обращение самого себя, является, например, число 452452 (оно порождает обращение повторения числа 452, или, другими словами, обращение числа 452452). (Сравните его с предыдущим решением 43243.) Числом, которое порождает повторение обращения самого себя, является число 54525452. (Сравните его с прежним решением 5432543.)
Далее, рассмотрим машину, которая подчиняется правилам 1, 2 и 4. Мы знаем, что число 33233 порождает свой собственный ассоциат точно так же, как и число 352352. Что касается числа X, порождающего повторение самого себя, то у нас уже имеются два решения — это числа 35235 и 552552. Что же касается числа X, порождающего ассоциат повторения самого себя, то одним решением служит число 3532353; другим — число 35523552. Наконец, для числа, которое порождает повторение своего собственного ассоциата, также существуют два решения — это число 5332533 или число 53525352.
Наконец, рассмотрим некоторую произвольную машину, которая подчиняется по меньшей мере двум из правил Мак-Каллоха, а именно: правилам 1 и 4. Для заданного операционного числа М числом А, порождающим М(Х), оказывается число М52М52. (Сравните его с прежним решением — числом М32МЗ, полученным для машины, в которой вместо правила 4 используется правило 2.) Если теперь задано операционное число М и некое число А, то числом X, порождающим M(AX), будет число М52АМ52. (Сравните его с прежним решением — М32АМЗ.) Построенные решения показывают нам, что оба принципа Крейга могут быть получены на основании правил 1 и 4. Впрочем, я сформулировал гораздо более общее утверждение, а именно: для того чтобы получить принципы Крейга, достаточно одного только закона Мак-Каллоха (теорема 2). Это утверждение можно доказать тем же способом, который использовался нами в гл. 10. В самом деле, для любого заданного операционного числа М существует некое число Y, которое порождает MY; отсюда ясно, что число М У порождает М(М У). Поэтому число X порождает М(Х), где Х = МУ. Точно так же для любого числа А, если имеется некоторое число У, порождающее AMY, число МУ порождает М(АМУ) и, следовательно, число X порождает М(АХ) при Х = МУ.
Что же касается теоремы 3, то ее можно доказать так же, как это делалось в предыдущей главе. [Например, если даны операционные числа М и N и если выполняется второй принцип Крейга, то существует некое число X, которое порождает M(N2X). Если теперь мы обозначим число N2X через У, то получим, что число X порождает М(У), а число У порождаетN(X)]
Ключ
Дело, по которому Крейг поехал в Норвегию, заняло у него гораздо меньше времени, чем он предполагал, и ровно через три недели инспектор возвратился домой. Дома его ждала записка от Мак-Каллоха:
Дорогой Крейг!
Если ты случайно вернешься из Норвегии до 12 мая (это пятница), то приходи ко мне в этот день обедать. Фергюссона я уже пригласил.
С приветом
Норман Мак-Каллох
— Вот и отлично! — сказал себе Крейг. — Я вернулся как раз вовремя!
Крейг приехал к Мак-Каллоху минут через пятнадцать после того, как там появился Фергюссон.
— С благополучным возвращением! — приветствовал приятеля Мак-Каллох.
— Пока вас не было, — сразу же сообщил Фергюссон, — Мак-Каллох изобрел новую числовую машину!
— Ну да? — удивился Крейг.
— Я занимался этим не один, — сказал Мак-Каллох, — Фергюссон тоже приложил к ней руку. А вообще-то машина интересная; на этот раз в нее введены следующие четыре правила:
правило MI: для любого числа X число 2X2 порождает X;
правил о МII: если число X порождает число У, то число 6Х порождает число 2 У;
правило MIII: если число X порождает число У, то число 4Х порождает число У (как и в случае предыдущей машины);
правило MIV: если число X порождает число У, то число 5Х порождает число УУ (как и в случае предыдущей машины).
— Эта машина, — продолжал Мак-Каллох, — обладает всеми прекрасными свойствами моей последней машины — она подчиняется двум твоим принципам и, кроме того, закону двойных аналогов Фергюссона.
Крейг довольно долго и внимательно изучал эти правила. Наконец он сказал:
— Что-то мне никак не удается сдвинуться с места. Не могу даже найти число, которое порождает само себя. Есть тут такие числа?
— Есть, — ответил Мак-Каллох, — но с помощью этой машины найти их гораздо труднее, чем в предыдущем случае. Честно говоря, я тоже не смог решить эту задачу. А вот Фергюссон с ней справился. Более того, теперь мы знаем, что такое короткое число, порождающее само себя, состоит из десяти цифр.
Крейг опять глубоко задумался.
— А что, первых двух правил недостаточно для нахождения такого числа? — поинтересовался он наконец.
— Нет, конечно! — ответил Мак-Каллох. — Для получения этого числа нам необходимы все четыре правила.
— Удивительное дело, — пробормотал Крейг и вновь погрузился в глубокое раздумье.
— О господи! — вдруг воскликнул он, буквально подскочив на стуле. — Да ведь это же решение загадки сейфа!
— О чем это вы? — спросил Фергюссон.
— А-а, прошу прощения! Вы ведь не знаете, — сказал Крейг и поведал им всю историю с банковским сейфом из Монте-Карло.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23