Поэтому ни одно число вида 2Х никак не могло оказаться подходящим.
Что можно сказать по поводу числа вида 32Х? Оно также порождает ассоциат числа X, который, очевидно, содержит меньшее число цифр, нежели ассоциат числа 32Х.
Теперь попробуем число вида 332Х. Это число порождает двойной ассоциат числа X, который имеет вид Х2Х2Х2Х, тогда как нам необходимо получить ассоциат числа 332Х, то есть число, которое записывается в форме 332Х2332Х. Далее, может ли число Х2Х2Х2Х оказаться тем же самым числом, что и 332Х2332Х? Прежде всего, нужно сравнить относительную длину этих чисел. Так, если h—количество цифр в числе X, то число Х2Х2Х2Х должно иметь 4h+3 цифр (поскольку в нем четыре X и три двойки); в то же время число 332Х2332Х имеет 2h +7 цифр. Может ли 4h+3 равняться 2h+7? Да, но только в том случае, когда h=2. Итак, что касается длины, то число вида 332Х вполне может оказаться для нас подходящим, но лишь при условии, если количество цифр в X равняется двум.
Существуют ли еще какие-нибудь возможности? Посмотрим, например, что можно сказать по поводу числа вида 332Х. Такое число порождает тройной ассоциат числа X, который представляет собой число вида Х2Х2Х2Х2Х2Х2Х2Х, тогда как нам необходимо получить ассоциат числа 3332Х, который записывается как 3332X23332X. Могут ли эти числа оказаться одинаковыми? Вновь обозначая через h длину числа X, находим, что число Х2Х2Х2Х2Х2Х2Х2Х имеет 8h+7 цифр; в то же время число 3332Х23332Х имеет 2h+9 цифр. Равенство 8h+7 = 2h+9 может выполняться, только если h = 1/3, и, следовательно, в данном случае целочисленного значения не существует. Итак, числа вида 3332Х нам также не подходят.
Наконец, что можно сказать относительно числа вида 33332Х? С одной стороны, это число порождает четверной ассоциат числа X, который имеет длину 16/1 + 15; с другой стороны, сам ассоциат числа X имеет длину 2h+11. Ясно, что для любого целого положительного /I выражение 16h+15 больше, чем 2h+11, и, значит, число вида 33332Х порождает нечто слишком для нас большое.
Если мы теперь возьмем число, начинающееся не с 4, а с 5 троек, то несоответствие между длиной числа, которое оно вроде бы должно было порождать, и длиной числа, которое оно порождает на самом деле, окажется еще больше, а если мы возьмем число, начинающееся с 6 или более троек, то это несоответствие станет совсем большим. Таким образом, нам остается снова вернуться к числу 332 X как к единственно возможному решению задачи, причем X в этом случае должен быть числом, состоящим из 2 цифр. Итак, искомое число N должно иметь вид 332аb, где а и b — одиночные цифры, подлежащие определению.
Ясно, что число 332ab порождает двойной ассоциат числа ab, или число аb2аb2аb2аb. При этом необходимо, чтобы число 332 ab порождало ассоциат числа 332аb, который записывается как 332ab2332ab. Могут ли эти два числа оказаться одинаковыми? Для ответа на этот вопрос попробуем сравнить их на соответствие цифр:
аb2аb2аb2аb
332аb2332аb.
Сравнивая первые цифры каждого числа, мы видим, что а обязательно должно быть тройкой. Сравнение вторых цифр дает нам, что b также должно оказаться двойкой. Итак, число N = 33233 является решением нашей задачи и притом единственным».
4. — По правде говоря, — признался Крейг, — первую задачу я решал почти интуитивно; чтобы найти число 323, я не пользовался никаким специальным методом. К тому же я пока не успел обдумать вопрос, существует ли какое-либо иное число, которое порождало бы само себя.
— Однако, как мне кажется, ответы на эти вопросы не потребуют слишком много усилий. В самом деле, попробуем, к примеру, выяснить, не могло бы нам подойти какое-нибудь число вида 332Х. Такое число должно было бы порождать двойной ассоциат числа X, который представляет собой число вида Х2Х2Х2Х и имеет длину 4h+3, где А — длина числа X. С другой стороны, нам необходимо взять такое число, чтобы оно порождало число 332Х, которое в свою очередь имеет длину h+3? Вполне очевидно, что при любых положительных h величина 4h+3 всегда больше, чем h+З, и потому число 332Х будет порождать число, в котором окажется слишком много цифр. То же самое можно сказать, по поводу числа вида 3332Х, а также чисел, начинающихся с четырех и более троек, для них соответствующие расхождения по длине окажутся еще большими. Значит, единственной возможностью для нас остается число вида 32Х (очевидно, что число вида 2Х нам также не годится, поскольку оно не может порождать само себя — ведь оно порождает число X). Далее, число 32Х порождает число Х2Х, и, кроме того, требуется, чтобы оно порождало само себя, то есть опять 32Х. Поэтому числа 32Х и Х2Х должны совпадать. Обозначим через Л длину числа X, тогда число 32Х имеет длину h+2, а число Х2Х — длину 2h+1. При этом должно выполняться условие 2h+1 = h+2, откуда сразу следует, что h равно 1. Стало быть, число X состоит из одной-единственной цифры. Наконец, для какой цифры а имеет место условие a2a = 32a? Ясно, что а в этом случае должно быть тройкой. Итак, число 323 является единственным решением данной задачи.
5. Возьмем в качестве N число 3273. Это число порождает ассоциат числа 73, то есть число 73273, которое в свою очередь можно представить как 7N. Итак, число 73273 есть решение нашей задачи. (Кроме того, это решение — единственное, что легко можно показать с помощью сравнительного анализа соответствующих длин, подробно обсуждавшегося в последних двух задачах.)
6. Поскольку число 323 порождает само себя, то число3323 должно порождать ассоциат числа 323. Итак, если положить N = 323, тогда число 3N действительно порождает ассоциат числи N. (Это решение является единственным.)
7. Решением будет число 332333. Проверка: положим N равным этому числу. Тогда оно порождает двойной ассоциат числа 333, который в свою очередь является ассоциатом числа 3332333 — или, иными словами, ассоциатом числа 3N.
8. Очевидно, что эта задача представляет собой прямое обобщение задачи 5. Там мы видели, что при N = 3273 число N порождает число 7N. Цифра 7 не играет в данном случае никакой особой роли. Действительно, для любого числа А справедливо условие: если мы положим Y = 32A3, то число У будет порождать число AY (поскольку оно порождает ассоциат числа A3, который записывается как A32A3 и который в свою очередь представляет собой число А У). Итак, например, если мы хотим найти число У, которое порождало бы число 837Y, то мы должны выбрать У равным 328373.
Указанный факт, как выяснится ниже, имеет важное теоретическое значение!
9. Ответом на поставленный вопрос будет «да». Возьмем в качестве У число 332A33. Это число порождает двойной ассоциат числа АЗЗ, который в свою очередь является ассоциатом числа A332/433. Но число A332A33 и есть АY; следовательно, число У порождает ассоциат числа А У.
Для частного примера, предложенного Мак-Каллохом (найти число У, которое порождало бы ассоциат числа 56 У), решением будет число У=3325633.
10. Решением является число 3332333. Оно порождает тройной ассоциат числа 333, который является двойным ассоциатом ассоциата числа 333. При этом ассоциат числа 333 есть число 3332333, и, стало быть, число 3332333 порождает двойной ассоциат числа 3332333.
Заметим общую систему: число 323 порождает само себя, число 33233 порождает свой ассоциат, число 332333 порождает двойной ассоциат самого себя. Далее, число 333323333 порождает свой тройной ассоциат, число 33333233333 порождает четверной ассоциат самого себя и т. д. (Во всем этом читатель вполне может убедиться сам.)
7. Решением является X = 3332333. Это число порождает тройной ассоциат числа A333, который является двойным ассоциатом ассоциата числа A333. При этом ассоциатом числа А333 оказывается число А3332АЗЗЗ, которое в свою очередь и есть АХ. Итак, число X порождает двойной ассоциат числа АХ.
В частном случае, когда А = 78, решением будет число 333278333.
12. Очевидно, что ответом будет N = 23. (Ведь мы уже знаем, что число 323 порождает само себя, поэтому, положив N = 23, мы действительно имеем, что число 3N порождает число 3N.)
13. Ответ: N = 22.
14. Ответ: N = 232.
15. Конечно, N = 2.
16. В этом случае вполне подойдет любая цепочка двоек.
17. Да; например, N = 32.
18. Положить N = 33.
19. Положить N = 32323.
20. Как читатель легко может удостовериться сам, любое число, начинающееся с двух или более троек, будет порождать число большей длины, нежели число N2. (Например, если N — число вида 332Х, и h — длина числа X, то само число N будет порождать двойной ассоциат числа X, который имеет длину 4h+3, в то время как само число N2 имеет длину h+4). Точно так же нам никак не подойдет ни одно число N вида
2Х, поскольку если и существует некое число N, которое порождает число N2, то оно обязательно должно быть вида 32Х. Далее, число 32Х порождает число Х2Х, тогда как нам требуется получить число 32X2. Если Х2Х представляет собой то же самое число, что и 32X2, то, обозначая, как обычно, через h длину числа X, мы должны прийти к условию 2h+1 = h+3, откуда следует, что h = 2. Итак, единственным числом, которое могло бы нас устроить (если, конечно, таковые существуют), должно быть число вида 32аb, где а и b — одиночные цифры, подлежащие определению ниже. Далее, число 32ab порождает число аb2ab, тогда как нам нужно получить число 32аb2. Итак, могут ли числа ab2ab и 32аb2 оказаться одним и тем же числом? Попробуем сравнить их цифру за цифрой:
ab2ab
32аb2.
Сравнивая первые цифры, мы получаем, что а = 3; из сравнения же третьих цифр имеем, что а = 2. Полученное противоречие доказывает, что наша задача неразрешима. Итак, не существует такого числа N, которое порождало бы число N2!
Принцип Крейга
Спустя две недели Крейг снова навестил Мак-Каллоха.
— Слыхал, что ты построил новый вариант своей машины, — сказал Крейг. — Наши общие друзья рассказывали мне, будто твоя новая машина способна проделывать какие-то удивительные вещи. Это правда?
— Совершенно верно, — ответил Мак-Каллох не без гордости. — Моя новая машина, как и раньше, работает в соответствии с правилами 1 и 2, и, кроме того, в нее введены два новых правила. Однако я только что заварил свежего чая — давай выпьем по чашечке, прежде чем я познакомлю тебя с новыми правилами.
После отличного чая с восхитительными сдобными булочками Мак-Каллох приступил к делу:
— Под обращением некоторого числа я понимаю число, цифры которого записаны в обратном порядке; например, обращение числа 5934 есть число 4395. Вот первое из моих новых правил.
Правило 3. Для любых чисел X и У справедливо следующее: если число X порождает число У, то число 4Х порождает обращение числа У.
— Позволь мне проиллюстрировать это правило таким примером, — продолжал Мак-Каллох. — Выбери какое-нибудь произвольное число Y.
— Согласен, — сказал Крейг. — Допустим, я выбрал число 7695.
— Прекрасно. А теперь возьмем число X, которое порождает число 7695, а именно число 27695, потом введем в машину число 427695 и посмотрим, что получится. Мак-Каллох ввел в машину число 427695, а та выдала, разумеется, 5967 — обращение 7695.
— Прежде чем познакомить тебя со следующим правилом, — сказал Мак-Каллох, — я хочу продемонстрировать еще несколько операций, которые моя машина может проделывать с помощью правила 3, конечно, в совокупности с правилами 1 и 2.
1. — Ты, конечно, помнишь, — сказал Мак-Каллох, — что число 323 порождает само себя. Так вот, для моей старой машины, в которую еще не было заложено правило 3, а использовались лишь правила 1 и 2,— число 323 было единственным числом, которое могло порождать самое себя. Для моей теперешней машины ситуация оказывается несколько иной. Можешь ли ты найти какое-нибудь другое число, которое порождало бы самое себя? Кроме того, сколько существует таких чисел?
Решение этой задачи не отняло у Крейга много времени. А вы сумеете ее решить? (Ответ Крейга приведен в разделе «Решения».)
2. — Это было превосходно, — одобрительно сказал Мак-Каллох, внимательно выслушав пояснения Крейга. — Тогда позволь задать тебе другую задачу. Я называю число симметричным, если оно читается одинаково в ту и другую сторону, то есть если оно равно своему обращению. Так, например, числа вида 58385 или 7447 — симметричны. Числа, не являющиеся симметричными, я называю несимметричными— например, такие, как 46733 или 3251. Очевидно, что существует число, которое порождает обращение самого себя — это число 323; действительно, оно порождает само себя и к тому же симметрично. Для моей первой машины, в которую не было заложено правило 3, не существовало такого несимметричного числа, которое порождало бы свое собственное обращение. Однако в случае использования правила 3 такое число все-таки существует — и на самом деле даже не одно. Можешь ли ты найти такое число?
3. — Кроме того, — сказал Мак-Каллох, — существуют числа, которые порождают ассоциаты своих собственных обращений. Можешь ли ты найти такое число?
— А теперь, — продолжал Мак-Каллох, — сформулируем еще одно новое правило.
Правило 4. Если число X порождает число Y, то число 5Х порождает число YY.
При этом напомню, что число YY называется повторением числа Y.
Затем Мак-Каллох предложил Крейгу рассмотреть иве новые задачи.
4. Найти число, которое порождает повторение самого
5. Найти число, которое порождает обращение повторения самого себя.
6. — Вот странно, — удивился Мак-Каллох, когда Крейг показал ему решение задачи 5. — А у меня получился другой ответ — правда, тоже число, состоящее из семи цифр.
Действительно, существуют два семизначных числа, каждое из которых порождает обращение своего собственного повторения. Можете ли вы найти второе из лих чисел?
7. — Для любого X, — сказал Мак-Каллох, — число 52Х, понятно, порождает повторение числа X. Не мог бы ты найти такое X, для которого число 5Х порождало бы повторение самого X?
Крейг некоторое время размышлял, а потом внезапно рассмеялся: настолько очевидным оказалось решение!
8. — А теперь, — сказал Мак-Каллох, — пусть имеется число, которое порождает повторение ассоциата самого себя. Не мог бы ты найти это число?
9. — Кроме того, — продолжал Мак-Каллох, — существует число, которое порождает ассоциат своего собственного повторения. Можешь ли ты его найти?
Операционные числа
— А знаешь, — вдруг сказал Крейг, — я только сейчас сообразил, что все эти задачи могут быть решены, если исходить из некоторого общего принципа. Стоит лишь его понять, как оказывается возможным решать не только те задачи, которые ты мне задавал, но и массу других!
— Например, — продолжал Крейг, — должно существовать число, которое порождает повторение обращения своего собственного ассоциата, или, к примеру, число, которое порождает ассоциат повторения своего собственного обращения, или еще число, которое…
— Поразительно, — прервал его Мак-Каллох. — Я пробовал было отыскать несколько таких чисел, но у меня ничего не вышло. Что же это за числа?
— Ты научишься находить их мгновенно, как толь ко узнаешь, что это за принцип!
— Да что же это за принцип? — взмолился Мак-Каллох.
— И это не все, — продолжал Крейг, которому доставляло явное удовольствие разыгрывать Мак-Каллоха. — Я еще могу найти число X, которое порождает повторение обращения двоимого ассоциата X, или число Y, порождающее обращение двойного ассоциата числа YYYY, или число Z, которое…
— Хватит-хватит! — воскликнул Мак-Каллох. — А почему ты все-таки не хочешь мне сказать, в чем заключается твой принцип, а уж потом перейти к приложениям?
— Ну ладно, — согласился Крейг.
Тут инспектор взял лежавший на столе блокнот, вынул ручку и усадил Мак-Каллоха рядом с собой, с тем чтобы его друг мог видеть, что он пишет.
— Прежде всего, — начал Крейг, — я полагаю, что ты знаком с понятием операции над числами, как, например, операция прибавления единицы к данному числу, или операция умножения числа на 3, или операция возведения данного числа в квадрат, или, что имеет более близкое отношение к твоей машине, операция взятия обращения заданного числа или операции получения повторения и ассоциата некоторого числа, или же, наконец, более сложные операции, как, например, операция построения обращения повторения ассоциата некоторого числа. При этом буквой F будет обозначаться некоторая произвольная операция, а запись F(X), где X—заданное число (мы будем читать Это выражение как «эф от икс»), будет означать результат выполнения операции F над числом X. Все это как ты прекрасно понимаешь, — вполне обычные математические обозначения. Итак, к примеру, если F есть операция обращения, то число F(X) есть обращение числа X; если же F будет обозначать операцию повторения, а выражение F(X) будет повторением числа X и так далее.
Пусть теперь имеются определенные числа — а фактически любые числа, составленные из цифр 3, 4 или 5, — я их буду называть операционными числами, поскольку они определяют операции, которые может выполнять твоя машина.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
Что можно сказать по поводу числа вида 32Х? Оно также порождает ассоциат числа X, который, очевидно, содержит меньшее число цифр, нежели ассоциат числа 32Х.
Теперь попробуем число вида 332Х. Это число порождает двойной ассоциат числа X, который имеет вид Х2Х2Х2Х, тогда как нам необходимо получить ассоциат числа 332Х, то есть число, которое записывается в форме 332Х2332Х. Далее, может ли число Х2Х2Х2Х оказаться тем же самым числом, что и 332Х2332Х? Прежде всего, нужно сравнить относительную длину этих чисел. Так, если h—количество цифр в числе X, то число Х2Х2Х2Х должно иметь 4h+3 цифр (поскольку в нем четыре X и три двойки); в то же время число 332Х2332Х имеет 2h +7 цифр. Может ли 4h+3 равняться 2h+7? Да, но только в том случае, когда h=2. Итак, что касается длины, то число вида 332Х вполне может оказаться для нас подходящим, но лишь при условии, если количество цифр в X равняется двум.
Существуют ли еще какие-нибудь возможности? Посмотрим, например, что можно сказать по поводу числа вида 332Х. Такое число порождает тройной ассоциат числа X, который представляет собой число вида Х2Х2Х2Х2Х2Х2Х2Х, тогда как нам необходимо получить ассоциат числа 3332Х, который записывается как 3332X23332X. Могут ли эти числа оказаться одинаковыми? Вновь обозначая через h длину числа X, находим, что число Х2Х2Х2Х2Х2Х2Х2Х имеет 8h+7 цифр; в то же время число 3332Х23332Х имеет 2h+9 цифр. Равенство 8h+7 = 2h+9 может выполняться, только если h = 1/3, и, следовательно, в данном случае целочисленного значения не существует. Итак, числа вида 3332Х нам также не подходят.
Наконец, что можно сказать относительно числа вида 33332Х? С одной стороны, это число порождает четверной ассоциат числа X, который имеет длину 16/1 + 15; с другой стороны, сам ассоциат числа X имеет длину 2h+11. Ясно, что для любого целого положительного /I выражение 16h+15 больше, чем 2h+11, и, значит, число вида 33332Х порождает нечто слишком для нас большое.
Если мы теперь возьмем число, начинающееся не с 4, а с 5 троек, то несоответствие между длиной числа, которое оно вроде бы должно было порождать, и длиной числа, которое оно порождает на самом деле, окажется еще больше, а если мы возьмем число, начинающееся с 6 или более троек, то это несоответствие станет совсем большим. Таким образом, нам остается снова вернуться к числу 332 X как к единственно возможному решению задачи, причем X в этом случае должен быть числом, состоящим из 2 цифр. Итак, искомое число N должно иметь вид 332аb, где а и b — одиночные цифры, подлежащие определению.
Ясно, что число 332ab порождает двойной ассоциат числа ab, или число аb2аb2аb2аb. При этом необходимо, чтобы число 332 ab порождало ассоциат числа 332аb, который записывается как 332ab2332ab. Могут ли эти два числа оказаться одинаковыми? Для ответа на этот вопрос попробуем сравнить их на соответствие цифр:
аb2аb2аb2аb
332аb2332аb.
Сравнивая первые цифры каждого числа, мы видим, что а обязательно должно быть тройкой. Сравнение вторых цифр дает нам, что b также должно оказаться двойкой. Итак, число N = 33233 является решением нашей задачи и притом единственным».
4. — По правде говоря, — признался Крейг, — первую задачу я решал почти интуитивно; чтобы найти число 323, я не пользовался никаким специальным методом. К тому же я пока не успел обдумать вопрос, существует ли какое-либо иное число, которое порождало бы само себя.
— Однако, как мне кажется, ответы на эти вопросы не потребуют слишком много усилий. В самом деле, попробуем, к примеру, выяснить, не могло бы нам подойти какое-нибудь число вида 332Х. Такое число должно было бы порождать двойной ассоциат числа X, который представляет собой число вида Х2Х2Х2Х и имеет длину 4h+3, где А — длина числа X. С другой стороны, нам необходимо взять такое число, чтобы оно порождало число 332Х, которое в свою очередь имеет длину h+3? Вполне очевидно, что при любых положительных h величина 4h+3 всегда больше, чем h+З, и потому число 332Х будет порождать число, в котором окажется слишком много цифр. То же самое можно сказать, по поводу числа вида 3332Х, а также чисел, начинающихся с четырех и более троек, для них соответствующие расхождения по длине окажутся еще большими. Значит, единственной возможностью для нас остается число вида 32Х (очевидно, что число вида 2Х нам также не годится, поскольку оно не может порождать само себя — ведь оно порождает число X). Далее, число 32Х порождает число Х2Х, и, кроме того, требуется, чтобы оно порождало само себя, то есть опять 32Х. Поэтому числа 32Х и Х2Х должны совпадать. Обозначим через Л длину числа X, тогда число 32Х имеет длину h+2, а число Х2Х — длину 2h+1. При этом должно выполняться условие 2h+1 = h+2, откуда сразу следует, что h равно 1. Стало быть, число X состоит из одной-единственной цифры. Наконец, для какой цифры а имеет место условие a2a = 32a? Ясно, что а в этом случае должно быть тройкой. Итак, число 323 является единственным решением данной задачи.
5. Возьмем в качестве N число 3273. Это число порождает ассоциат числа 73, то есть число 73273, которое в свою очередь можно представить как 7N. Итак, число 73273 есть решение нашей задачи. (Кроме того, это решение — единственное, что легко можно показать с помощью сравнительного анализа соответствующих длин, подробно обсуждавшегося в последних двух задачах.)
6. Поскольку число 323 порождает само себя, то число3323 должно порождать ассоциат числа 323. Итак, если положить N = 323, тогда число 3N действительно порождает ассоциат числи N. (Это решение является единственным.)
7. Решением будет число 332333. Проверка: положим N равным этому числу. Тогда оно порождает двойной ассоциат числа 333, который в свою очередь является ассоциатом числа 3332333 — или, иными словами, ассоциатом числа 3N.
8. Очевидно, что эта задача представляет собой прямое обобщение задачи 5. Там мы видели, что при N = 3273 число N порождает число 7N. Цифра 7 не играет в данном случае никакой особой роли. Действительно, для любого числа А справедливо условие: если мы положим Y = 32A3, то число У будет порождать число AY (поскольку оно порождает ассоциат числа A3, который записывается как A32A3 и который в свою очередь представляет собой число А У). Итак, например, если мы хотим найти число У, которое порождало бы число 837Y, то мы должны выбрать У равным 328373.
Указанный факт, как выяснится ниже, имеет важное теоретическое значение!
9. Ответом на поставленный вопрос будет «да». Возьмем в качестве У число 332A33. Это число порождает двойной ассоциат числа АЗЗ, который в свою очередь является ассоциатом числа A332/433. Но число A332A33 и есть АY; следовательно, число У порождает ассоциат числа А У.
Для частного примера, предложенного Мак-Каллохом (найти число У, которое порождало бы ассоциат числа 56 У), решением будет число У=3325633.
10. Решением является число 3332333. Оно порождает тройной ассоциат числа 333, который является двойным ассоциатом ассоциата числа 333. При этом ассоциат числа 333 есть число 3332333, и, стало быть, число 3332333 порождает двойной ассоциат числа 3332333.
Заметим общую систему: число 323 порождает само себя, число 33233 порождает свой ассоциат, число 332333 порождает двойной ассоциат самого себя. Далее, число 333323333 порождает свой тройной ассоциат, число 33333233333 порождает четверной ассоциат самого себя и т. д. (Во всем этом читатель вполне может убедиться сам.)
7. Решением является X = 3332333. Это число порождает тройной ассоциат числа A333, который является двойным ассоциатом ассоциата числа A333. При этом ассоциатом числа А333 оказывается число А3332АЗЗЗ, которое в свою очередь и есть АХ. Итак, число X порождает двойной ассоциат числа АХ.
В частном случае, когда А = 78, решением будет число 333278333.
12. Очевидно, что ответом будет N = 23. (Ведь мы уже знаем, что число 323 порождает само себя, поэтому, положив N = 23, мы действительно имеем, что число 3N порождает число 3N.)
13. Ответ: N = 22.
14. Ответ: N = 232.
15. Конечно, N = 2.
16. В этом случае вполне подойдет любая цепочка двоек.
17. Да; например, N = 32.
18. Положить N = 33.
19. Положить N = 32323.
20. Как читатель легко может удостовериться сам, любое число, начинающееся с двух или более троек, будет порождать число большей длины, нежели число N2. (Например, если N — число вида 332Х, и h — длина числа X, то само число N будет порождать двойной ассоциат числа X, который имеет длину 4h+3, в то время как само число N2 имеет длину h+4). Точно так же нам никак не подойдет ни одно число N вида
2Х, поскольку если и существует некое число N, которое порождает число N2, то оно обязательно должно быть вида 32Х. Далее, число 32Х порождает число Х2Х, тогда как нам требуется получить число 32X2. Если Х2Х представляет собой то же самое число, что и 32X2, то, обозначая, как обычно, через h длину числа X, мы должны прийти к условию 2h+1 = h+3, откуда следует, что h = 2. Итак, единственным числом, которое могло бы нас устроить (если, конечно, таковые существуют), должно быть число вида 32аb, где а и b — одиночные цифры, подлежащие определению ниже. Далее, число 32ab порождает число аb2ab, тогда как нам нужно получить число 32аb2. Итак, могут ли числа ab2ab и 32аb2 оказаться одним и тем же числом? Попробуем сравнить их цифру за цифрой:
ab2ab
32аb2.
Сравнивая первые цифры, мы получаем, что а = 3; из сравнения же третьих цифр имеем, что а = 2. Полученное противоречие доказывает, что наша задача неразрешима. Итак, не существует такого числа N, которое порождало бы число N2!
Принцип Крейга
Спустя две недели Крейг снова навестил Мак-Каллоха.
— Слыхал, что ты построил новый вариант своей машины, — сказал Крейг. — Наши общие друзья рассказывали мне, будто твоя новая машина способна проделывать какие-то удивительные вещи. Это правда?
— Совершенно верно, — ответил Мак-Каллох не без гордости. — Моя новая машина, как и раньше, работает в соответствии с правилами 1 и 2, и, кроме того, в нее введены два новых правила. Однако я только что заварил свежего чая — давай выпьем по чашечке, прежде чем я познакомлю тебя с новыми правилами.
После отличного чая с восхитительными сдобными булочками Мак-Каллох приступил к делу:
— Под обращением некоторого числа я понимаю число, цифры которого записаны в обратном порядке; например, обращение числа 5934 есть число 4395. Вот первое из моих новых правил.
Правило 3. Для любых чисел X и У справедливо следующее: если число X порождает число У, то число 4Х порождает обращение числа У.
— Позволь мне проиллюстрировать это правило таким примером, — продолжал Мак-Каллох. — Выбери какое-нибудь произвольное число Y.
— Согласен, — сказал Крейг. — Допустим, я выбрал число 7695.
— Прекрасно. А теперь возьмем число X, которое порождает число 7695, а именно число 27695, потом введем в машину число 427695 и посмотрим, что получится. Мак-Каллох ввел в машину число 427695, а та выдала, разумеется, 5967 — обращение 7695.
— Прежде чем познакомить тебя со следующим правилом, — сказал Мак-Каллох, — я хочу продемонстрировать еще несколько операций, которые моя машина может проделывать с помощью правила 3, конечно, в совокупности с правилами 1 и 2.
1. — Ты, конечно, помнишь, — сказал Мак-Каллох, — что число 323 порождает само себя. Так вот, для моей старой машины, в которую еще не было заложено правило 3, а использовались лишь правила 1 и 2,— число 323 было единственным числом, которое могло порождать самое себя. Для моей теперешней машины ситуация оказывается несколько иной. Можешь ли ты найти какое-нибудь другое число, которое порождало бы самое себя? Кроме того, сколько существует таких чисел?
Решение этой задачи не отняло у Крейга много времени. А вы сумеете ее решить? (Ответ Крейга приведен в разделе «Решения».)
2. — Это было превосходно, — одобрительно сказал Мак-Каллох, внимательно выслушав пояснения Крейга. — Тогда позволь задать тебе другую задачу. Я называю число симметричным, если оно читается одинаково в ту и другую сторону, то есть если оно равно своему обращению. Так, например, числа вида 58385 или 7447 — симметричны. Числа, не являющиеся симметричными, я называю несимметричными— например, такие, как 46733 или 3251. Очевидно, что существует число, которое порождает обращение самого себя — это число 323; действительно, оно порождает само себя и к тому же симметрично. Для моей первой машины, в которую не было заложено правило 3, не существовало такого несимметричного числа, которое порождало бы свое собственное обращение. Однако в случае использования правила 3 такое число все-таки существует — и на самом деле даже не одно. Можешь ли ты найти такое число?
3. — Кроме того, — сказал Мак-Каллох, — существуют числа, которые порождают ассоциаты своих собственных обращений. Можешь ли ты найти такое число?
— А теперь, — продолжал Мак-Каллох, — сформулируем еще одно новое правило.
Правило 4. Если число X порождает число Y, то число 5Х порождает число YY.
При этом напомню, что число YY называется повторением числа Y.
Затем Мак-Каллох предложил Крейгу рассмотреть иве новые задачи.
4. Найти число, которое порождает повторение самого
5. Найти число, которое порождает обращение повторения самого себя.
6. — Вот странно, — удивился Мак-Каллох, когда Крейг показал ему решение задачи 5. — А у меня получился другой ответ — правда, тоже число, состоящее из семи цифр.
Действительно, существуют два семизначных числа, каждое из которых порождает обращение своего собственного повторения. Можете ли вы найти второе из лих чисел?
7. — Для любого X, — сказал Мак-Каллох, — число 52Х, понятно, порождает повторение числа X. Не мог бы ты найти такое X, для которого число 5Х порождало бы повторение самого X?
Крейг некоторое время размышлял, а потом внезапно рассмеялся: настолько очевидным оказалось решение!
8. — А теперь, — сказал Мак-Каллох, — пусть имеется число, которое порождает повторение ассоциата самого себя. Не мог бы ты найти это число?
9. — Кроме того, — продолжал Мак-Каллох, — существует число, которое порождает ассоциат своего собственного повторения. Можешь ли ты его найти?
Операционные числа
— А знаешь, — вдруг сказал Крейг, — я только сейчас сообразил, что все эти задачи могут быть решены, если исходить из некоторого общего принципа. Стоит лишь его понять, как оказывается возможным решать не только те задачи, которые ты мне задавал, но и массу других!
— Например, — продолжал Крейг, — должно существовать число, которое порождает повторение обращения своего собственного ассоциата, или, к примеру, число, которое порождает ассоциат повторения своего собственного обращения, или еще число, которое…
— Поразительно, — прервал его Мак-Каллох. — Я пробовал было отыскать несколько таких чисел, но у меня ничего не вышло. Что же это за числа?
— Ты научишься находить их мгновенно, как толь ко узнаешь, что это за принцип!
— Да что же это за принцип? — взмолился Мак-Каллох.
— И это не все, — продолжал Крейг, которому доставляло явное удовольствие разыгрывать Мак-Каллоха. — Я еще могу найти число X, которое порождает повторение обращения двоимого ассоциата X, или число Y, порождающее обращение двойного ассоциата числа YYYY, или число Z, которое…
— Хватит-хватит! — воскликнул Мак-Каллох. — А почему ты все-таки не хочешь мне сказать, в чем заключается твой принцип, а уж потом перейти к приложениям?
— Ну ладно, — согласился Крейг.
Тут инспектор взял лежавший на столе блокнот, вынул ручку и усадил Мак-Каллоха рядом с собой, с тем чтобы его друг мог видеть, что он пишет.
— Прежде всего, — начал Крейг, — я полагаю, что ты знаком с понятием операции над числами, как, например, операция прибавления единицы к данному числу, или операция умножения числа на 3, или операция возведения данного числа в квадрат, или, что имеет более близкое отношение к твоей машине, операция взятия обращения заданного числа или операции получения повторения и ассоциата некоторого числа, или же, наконец, более сложные операции, как, например, операция построения обращения повторения ассоциата некоторого числа. При этом буквой F будет обозначаться некоторая произвольная операция, а запись F(X), где X—заданное число (мы будем читать Это выражение как «эф от икс»), будет означать результат выполнения операции F над числом X. Все это как ты прекрасно понимаешь, — вполне обычные математические обозначения. Итак, к примеру, если F есть операция обращения, то число F(X) есть обращение числа X; если же F будет обозначать операцию повторения, а выражение F(X) будет повторением числа X и так далее.
Пусть теперь имеются определенные числа — а фактически любые числа, составленные из цифр 3, 4 или 5, — я их буду называть операционными числами, поскольку они определяют операции, которые может выполнять твоя машина.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23