При бросании трех или даже двух костей сразу появляются проблемы, и можно уже задать, скажем, такой вопрос: какова вероятность появления двух шестерок? Каждая из них появляется независимо с вероятностью, равной 1/6. При выпадении шестерки на одной кости вторая может лечь шестью способами. Значит, вероятность выпадения двух шестерок одновременно будет равна произведению двух вероятностей (1/6·1/6). Это пример так называемой теории умножения вероятностей. Но на этом новые проблемы не кончаются.
В начале XVII века к великому Галилею явился приятель, который захотел получить разъяснение по следующему поводу. Играя в три кости, он заметил, что число 10, как сумма очков на трех костях, появляется чаще, чем число 9. «Как же так, – спрашивал игрок, – ведь как в случае девятки, так и в случае десятки эти числа набираются одинаковым числом способов, а именно шестью?» Приятель был совершенно прав. Посмотрите на рисунок, на котором показано, как можно представить девятку и десятку в виде сумм.
Разбираясь в этом противоречии, Галилей решил одну из первых задач так называемой комбинаторики – основного инструмента расчетов вероятностей.
Итак, в чем же дело? А вот в чем.
Важно не то, как сумма разлагается на слагаемые, а сколько вариантов выпадения костей приводят к суммам в «девять» и «десять» очков. Галилей нашел, что «десять» осуществляется 27 способами, а «девять» – 25. Эмпирическое наблюдение получило теоретическое истолкование. Что же это за разница между числом представлений суммы через слагаемые и числом вариантов выпада костей?
Вот на какую тонкость необходимо обратить внимание. Рассмотрим сначала случай, когда на трех костях три разные цифры, скажем 1, 2, и 6. Этот результат может осуществляться шестью вариантами: единица на первой кости, двойка на второй и шестерка на третьей; единица на первой, шестерка на второй, двойка на третьей; также возможны два случая, когда двойка окажется на первой кости и еще два – когда на первой кости выпадет шестерка (этот вариант приведен в таблице).

Иначе обстоит дело, когда сумма представлена таким образом, что два слагаемых одинаковые, например, 1 + 4 + 4. Только один вариант такого разложения появится, если на первой кости покажется единица, а на двух других четверки, ибо перестановка цифры на второй и третьей костях не дает нового варианта. Второй вариант возникает, когда единичка покажется на второй кости, а третий, если она появится на третьей кости. Итого три возможности.
Наконец, ясно, что если сумма разложена на 3 + 3 + 3, то на костях такое событие осуществляется единственным способом.
В нашей таблице это число вариантов указано в скобках рядом с представлением суммы. Складывая числа в скобках, мы получим 25 и 27, которые нашел Галилей. Вероятности появления на двух костях сумм 9 и 10 относятся как 25 к 27.
Это с виду простое объяснение не лежало на поверхности. Достаточно сказать, что Лейбниц полагал одинаковыми вероятности появления на двух костях как 11 очков, так и 12. После работы Галилея ошибочность такого заключения стала очевидной: 12 осуществляется единственным способом: двумя шестерками, а 11 появляется в двух случаях, когда шестерка на первой кости, а пятерка – на второй, и наоборот.
При бросании двух костей чаще всего появляется сумма, равная 7. Имеется шесть возможностей набора этой суммы. Суммы 8 и 6 осуществляются уже пятью комбинациями каждая. Проверьте, если хотите, сами наше заключение.

Что наша жизнь – игра


«Чекалинский стал метать, руки его тряслись. Направо легла дама, налево туз.
– Туз выиграл! – сказал Герман и открыл свою карту.
– Дама ваша убита, – сказал ласково Чекалинский.
Герман вздрогнул: в самом деле, вместо туза у него стояла пиковая дама. Он не верил своим глазам, не понимал, как мог он обдернуться».

Я не берусь в деталях объяснять читателю, в чем заключалась игра в штосс, столь распространенная в высшем петербургском обществе особенно в первой половине XIX века. Но основная ее идея проста. Банкомет и понтирующий игрок берут по колоде, распечатывают их, игрок выбирает из колоды карту, на которой записывает куш или кладет на карту деньги. Банкомет начинает метать, то есть кладет в открытую карты – направо, налево, направо, налево…
Та карта, что ложится налево, дана, а направо – бита. Легла выбранная вами карта направо – банкомет забирает деньги, налево – платит вам столько, сколько было поставлено на карту.
В игре есть варианты. Скажем, игроки загибают пароли, или играют мирандолем, или ставят на руте. Не знаете, что это такое? Я тоже. Но главное состоит в том, что штосс – игра с равными шансами для банкомета и партнера. Поэтому сильные в художественном отношении сцены, встречающиеся почти у всех русских романистов, где описывается умелая игра одного и беспомощная другого, лишены, так сказать, научного обоснования.
В «Войне и мире» Долохов обыгрывает Ростова вполне планомерно. Долохов решил продолжать игру до тех пор, пока запись за Ростовым не возрастет до 43 тысяч. Число это было им выбрано потому, что 43 составляло сумму сложенных его годов с годами Сони.
Читатель верит, что смелый, резкий и решительный Долохов, которому удается все, хорошо играет в карты. А мягкий, добрый, неопытный Ростов, кажется, не умеет играть и не может выиграть. Великолепная сцена заставляет нас верить, что результат карточной борьбы предопределен.
Разумеется, это неверно. Сказать про человека, что он хорошо играет в игру, в которой проиграть и выиграть шансы одинаковы, это значит обвинить его в шулерстве.
Не знаю, как другие, но я не могу избавиться от впечатления, что Арбенин в лермонтовском «Маскараде» – вспомните сцену, когда он садится играть за князя, а зрители комментируют: «Зажглось ретивое», – знает недозволенные приемы, не допускает, чтобы они были использованы против него и не брезгует применять их сам. Только в этом смысле можно говорить, что игрок хорошо играет в штосс и другие подобные игры.
Герой мог проиграть, а мог с таким же успехом и выиграть. В «честной» игре выигрыши и проигрыши будут чередоваться по закону случая. При долгой игре число удач и неудач будет, конечно, примерно одинаковым точно так же, как и число выпадов монеты орлом или решкой кверху.
Чтобы оценить реалистичность драматических событий, разыгравшихся в тот вечер, предположим, что Ростов все время ставил на карту одну и ту же сумму, скажем тысячу рублей. Чтобы проиграть сорок тысяч, нужно, чтобы число проигрышей превосходило число выигрышей на сорок.
«Через полтора часа времени большинство игроков уже шутя смотрело на свою собственную игру», – читаем мы в романе.
Таким образом, проигрыш Ростова свершился часа за два-три. Одна талия, то есть одна раскладка карт, длится, конечно, не более чем одну-две минуты. Значит, число игр было никак не меньше двухсот, скажем для определенности, 120 проигрышей и 80 выигрышей. Вероятность того, что из двухсот игр, по крайней мере, 120 будут проиграны, вычисляется по формулам теории: она близка к 0,1. Вы видите, что проигрыш Ростова – явление, не требующее объяснений, выводящих нас за рамки науки. Он мог бы и выиграть, но по замыслу Льва Николаевича ему надо было проиграть.
Есть лишь одно обстоятельство, которое нарушает равенство игроков, сражающихся в такие игры, как игральные кости или штосс, то есть в игры, где игрокам ничего не надо решать, ибо игрой не предусмотрен выбор (за исключением выбора: играть или отказаться): этим обстоятельством является богатство. Нетрудно видеть, что шансы на стороне того игрока, у которого больше денег. Ведь проигрыши и выигрыши чередуются случайно, и в конце концов обязательно встретится то, что называют «полосой везения» или «полосой невезения». Эти полосы могут быть настолько затяжными, что у партнера победнее будут выкачаны все деньги. Вычислить вероятность проигрыша не представляет труда: надо лишь возводить одну вторую в соответствующую степень. Вероятность проиграть два раза подряд – это одна четверть (1/2) 2 , три раза подряд – одна восьмая (1/2) 3 … восемь раз подряд – одна шестьдесят четвертая (1/2) 8 . Если игра повторяется тысячу раз – а это, наверное, вполне возможно, ибо, как пишут в романах, игроки просиживают за картами ночи напролет, проигрыш 8 раз подряд будет делом обычным. Разумный игрок (да простится мне подобное сочетание слов) должен быть готов к таким «полосам», и они не должны «выбивать» его из игры вследствие опустошения карманов.

В начале XIX века к «чистым» азартным играм, не требующим от игрока даже ничтожных умственных усилий, прибавилась рулетка. На первых порах она не получила распространения, но уже к 1863 году в столице карликового государства Монако – Монте-Карло создается грандиозное рулеточное предприятие. Игорный дом в Монте-Карло быстро стал знаменит. Во многих романах и повестях Монте-Карло выбиралось местом действия, а героем – безумец, собирающийся обогатиться за счет его величества случая или, того хуже, за счет изобретения беспроигрышной системы.
Произведения эти вполне реалистичны. Если их дополнить еще полицейскими протоколами о неудачниках, покончивших с собой из-за крушения надежд стать Крезом за счет княжества Монакского, то получится увесистый отчет о пагубном очаровании, которое таит в себе игорный дом.
Наверное, можно было бы не описывать рулеточное колесо и разграфленное поле, на клетки которого бросают денежные жетоны. И все же несколько слов для читателей, незнакомых с художественной литературой о Монте-Карло, сказать стоит. Рулетка – это большая тарелка, дно которой может вращаться относительно неподвижных бортов. Дно-колесо разбито на 37 ячеек, пронумерованных от 0 до 36 и покрашенных в два цвета: черный и красный. Колесо закручивается, и на него бросается шарик. Он танцует, беспорядочно перепрыгивая из ячейки в ячейку. Темп колеса замедляется, шарик делает последние нерешительные прыжки и останавливается. Выиграло, скажем, число 14 – красный цвет.
Игроки могут ставить на красное или черное; на чет или нечет; первую, вторую или третью дюжину и, наконец, на номер.
За угадывание цвета или четности вы получаете денег вдвое больше, чем внесли на игру, за выигрыш дюжины – втрое, за выигрыш номера – в тридцать шесть раз. Эти числа строго соответствовали бы вероятностям появления, если бы не одно маленькое «но» – это ноль (зеро). Зеро – выигрыш банкомета. При нем проигрывают и поставившие на черное, и те, кто надеялся на красный цвет.
Ставя на красное, искатель счастья действует с шансом на выигрыш, равным 18/37: чуть-чуть меньше половины. Но за счет этого «чуть-чуть» существует государство Монако и получают хорошие дивиденды пайщики Монте-Карло. Из-за зеро игра в рулетку уже не равноценна для игрока и банкомета. Поставив 37 раз по франку, я в среднем выиграю 18 раз, а проиграю 19.
Если я 37 раз ставлю по франку на 14-й (или какой-либо другой) номер, то в среднем я выиграю один раз из тридцати семи, и за этот выигрыш мне уплатят лишь 36 франков. Так что, как ни крути, при длительной игре проигрыш обеспечен.
Значит, нельзя выиграть в рулетку? Да нет. Конечно, можно. И мы легко подсчитаем вероятность выигрыша. Для простоты положим, что игрок пробует свое счастье каждый день. Ровно в 18.00 он появляется в казино и ставит пять раз по франку на красное.
За год игры герой встретится со всеми возможными вариантами красного и черного (точнее, не красного, так как и зеро мы отнесем к черному). Вот эти варианты:

Как видно, их всего 32 варианта. Один из них содержит пять к , пять – состоят из четырех к , десять – из трех к . Разумеется, те же числа будут и при подсчете черных случаев ( ч ).
Из составленной таблички мы сейчас увидим все «секреты» рулетной игры. Будем считать, что в году 320 дней рабочих и полтора месяца выходных: работа ведь нелегкая – сплошная трепка нервов. Количество дней с разными выигрышами и проигрышами получается от умножения на 10 числа различных комбинаций, приведенных в таблице. Таким образом, счастливых дней в «среднем» году будет десять. Но зато столько же будет «черных» дней сплошного проигрыша. На число «хороших» дней, когда фортуна откажет лишь один раз, придется столько же дней неудачных, когда лишь один раз появится красный цвет, – их будет пятьдесят. Чаще всего – по сто дней – мы встретимся со случаями, когда выигрышей выпадет три, а проигрышей – два, или наоборот, когда проигрышей три, а выигрышей – два.
Пока результат нашего сражения с рулеткой нулевой. Так что занятие можно было бы считать безобидным, если бы не упомянутое зеро. Мы говорили, что вероятность красного цвета не 1/2, а 18/37. Поэтому проигрыши и выигрыши в среднем не уравновесятся, и год закончится с убытком для клиентов, поскольку число грустных дней для них будет несколько превышать число радостных. Например, вероятность полностью «красного» дня равна 18/37 в пятой степени, а сплошь «черного» – 19/37 в пятой степени. Если вы не поленитесь заняться арифметикой, то найдете, что эти вероятности равны соответственно 0,027 и 0,036. Это значит, что один «красный» день в среднем приходится уже не на 32 дня, а на 36, а один «черный» будет встречаться через 28 дней.
Я отдаю себе полностью отчет, что все эти доказательства о проигрыше «в среднем» не подействуют на азартного игрока. Из наших чисел он прежде всего обратит внимание на то, что все-таки десяток «красных» дней на год приходится. Кто его знает, подумает он, может быть, именно сегодняшний день и будет таким! Хорошо бы было, если бы этот день оказался для него «черным». Он отбил бы у него охоту к играм, и на этом он наверняка выиграл бы, дело это добром никогда не кончается.
А теперь оставим моральные поучения, к которым азартные игроки скорее всего глухи, и рассмотрим еще несколько рулеточных проблем.
Стоит, пожалуй, обсудить вопрос о «счастливом месяце».
«В этот летний месяц, – прочитал я в воспоминаниях какого-то любителя острых ощущений, – мне здорово везло. За весь месяц я проиграл лишь два раза, не пропустив ни одного дня».
Для простоты будем считать, что вероятность выигрыша равна одной второй (1/2). Тогда так же, как при составлении таблички к и ч , можно подсчитать вероятности появления «черных» дней за месяц. Что же окажется?
Выигрывать 29 и 30 дней в месяц совершенно немыслимо; 28 выигрышных дней имеют вероятность одну миллионную долю; выигрывать 27 дней в месяц можно с шансом одна стотысячная; 26 дней – одна пятнадцатитысячная; 25 дней – одна трехтысячная и 24 выигрышных дня осуществляются с вероятностью в одну тысячную. Лишь это число может внушить мне доверие к автору упомянутого мемуара. Что же касается случая, когда число «красных» дней, по крайней мере, в два раза больше «черных» (двадцать и десять), то это уже вполне реальная вещь, ибо соответствующая вероятность равна одной десятой. Тот, кто играет всю свою жизнь, переживал такие счастливые месяцы, но… не надо забывать, что ему пришлось претерпеть такое же число несчастливых месяцев.
Игроки в рулетку (или в другие игры, где ни расчет, ни психологический анализ «не работают») могут быть поделены на два семейства. Одни играют как попало или по приметам. Скажем, сегодня двадцать третье число, рассуждает такой игрок, это день рождения моей невесты, значит, число двадцать три принесет мне счастье. Или, думает другой, среди игроков есть некто, которому сегодня дико везет, – играю как он. И так далее до бесконечности.
Другая группа игроков пытается уловить систему. Разумеется, в этом деле никакой системы нет и быть не может. Такова уж природа случая. И тем не менее я нисколько не сомневаюсь, что по мере роста серии ккккк … число игроков, ставящих на «черное», будет непрерывно расти. «А как же иначе, – обычно рассуждают они, – ведь длинные серии одинакового цвета встречаются значительно реже. Значит, после пяти или шести «красных» уж наверное появится «черное».

Абсурдность этого рассуждения очевидна. Оно противоречит очень простой мысли: у рулетки нет памяти, рулетка не знает, что было раньше, и перед каждым броском шарик все прошлое стирает. А если так, то перед каждым броском (даже и таким, который следует после двадцати «красных») вероятность «черного» и «красного» одинакова.
Правильно? Вы не находите аргументов против этого простого рассуждения? Да их и нет.
– Позвольте, – вмешивается читатель, которого назовем рассеянным, – вы же сами писали, что длинные серии бывают редко. И чем они длиннее, тем реже выпадают.
– Ну и что же? – поддерживает автора читатель внимательный. – Это не имеет ни малейшего отношения к утверждению, что у рулетки отсутствует память
– То есть как не имеет? – сердится рассеянный читатель. – Пять «красных» бывает реже, чем четыре, а шесть реже, чем пять. Значит, если я ставлю на «черное» после того, как «красное» вышло четыре раза подряд, я и следую теории вероятностей, которую автор пытается нам втолковать.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27