Сперва она расхохоталась, а потом заявила, что у чисел фигур не бывает. Ведь они же не люди!
– Конечно, не люди, – согласился я. – Число – понятие воображаемое. Но из чисел можно выкладывать разные геометрические фигуры.
Тут как раз бильярд освободился. Я придвинул к себе горку шаров и выстроил их в одну линию по порядку номеров: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и так далее. Затем положил на середину стола шар номер 1 и пристроил под ним два других под номерами 2 и 3. Получился небольшой равносторонний треугольник, состоящий как бы из двух строк. В первой строке – один шар, во второй – два.
– Перед нами треугольник из двух числовых строк, – сказал я. – Число этих строк можно наращивать до бесконечности и всякий раз получать равносторонний треугольник, состоящий из большего числа шаров. Но мы люди скромные и ограничимся малым. Увеличим наш треугольник до… скажем, до десяти строк. И шары будем выкладывать слева направо, по порядку номеров. А теперь, – продолжал я, нарастив треугольник, – представь себе, что шары у нас не нумерованные. Сможешь ты сказать, сколько шаров пошло на постройку этого треугольника?
– Ну конечно! – фыркнула девочка. – Возьму да сосчитаю.
– Это потому, что треугольник наш невелик. А если б он был много больше? Ведь мысленно его можно продолжить до бесконечности!
– Да, – сказала девочка озадаченно, – тут, пожалуй, со счёта собьёшься…
– Ничего, – сказал я. – У нас-то шары нумерованные! И потому мы можем сразу, ничего не пересчитывая, сказать, сколько шаров пошло на постройку треугольника из двух строк, из трёх, из двадцати, из тысячи, из миллиона… Для этого надо лишь посмотреть, какой шарик стоит справа, в конце последней строки. В первой строке это, конечно, № 1. Один шар мы тоже условно принимаем за треугольник. Во второй – № 3, в третьей – № 6, в четвёртой – № 10, в пятой – № 15, в шестой – № 21, в седьмой – № 28, в восьмой – № 36, в девятой – № 45, в десятой – № 55. Эти-то числа, указывающие, сколько шаров ушло на постройку каждого треугольника, называют в математике треугольными.
– А есть и четырёхугольные? – поинтересовалась девочка.
– Безусловно. Но называют их квадратными. И это уже совсем другой ряд чисел. Он образуется по другому закону. В ряду треугольных чисел каждое новое число обраауется так: первое треугольное число-1. Чтобы получить второе, прибавляем к единице следующее число натурального ряда 2: 1+2=3. Чтобы получить третье, надо прибавить к трём следующим после двух число натурального. ряда: 3+3=6. Далее, поступая каждый раз так же, получаем числа 10(6+4), 15(10+5), 21(15+6), 28(21+7), 36(28+8), 45(36+9), 55(45+10). Как видишь, каждое второе слагаемое в скобках есть следующее по порядку число натурального ряда. Ряд четырёхугольных чисел образуется иначе. Здесь к предыдущему квадратному числу всякий раз прибавляется не просто порядковое натуральное, а порядковое нечётное число. То есть взятое не из натурального ряда 1, 2, 3, 4, 5, 6 и т. д., а из ряда 1, 3, 5, 7, 9, 11 и т. д.
Но девочке надоело слушать, и она перешла от слов к делу: выложила квадрат из четырёх шаров и тут же заявила, что первое квадратное число – это 4.
– Ошибка, – заметил я. – Ты пропустила единицу. По правилам игры все фигурные числа непременно начинаются с фигуры, которая условно изображена шариком № 1. Во-вторых, почему ты думаешь, что 4 – число квадратное?
– Да потому, что оно стоит в последнем ряду справа, – ответила она.
Я усмехнулся и увеличил квадрат, пристроив справа к первой горизонтальной строке шар № 5, ко второй – № 6, а внизу прирастил ещё одну строку из шаров № 7, 8, 9. При этом шар № 4 оказался уже не в конце строки, а внутри квадрата. Девочку зто озадачило. Я снова увеличил квадрат. Теперь крайним справа оказался шар № 16. Потом № 25. Потом № 36…
И тут стало ясно, что квадратные числа расположены не в конце каждой строки, как в треугольнике, а наискосок, по диагонали. И это 1, 4, 9, 16, 25, 36 и т. д. Легко понять, что каждое следующее квадратное число есть сумма предыдущего и очередного нечётного числа натурального ряда: 4 (1+3), 9(4+5); 16(9+7), 25(16+ 9), 36(25+11) и т. д.
Любопытно, что каждое следующее квадратное число есть квадрат порядкового числа натурального ряда: 4=22; 9=32; 16=42; 25 = 52; 36=62 и т. д. И всякий раз основание степени указывает, из скольких строк построен квадрат. В первом 1 шар и 1 строка, во втором 4 шара и 2 строки, в третьем 9 шаров и 3 строки… Ну и так далее…
– Занятная игра, – вздохнула девочка, – но какая от неё польза?
– Такая же, как и от любой другой, – сказал я, пожав плечами. – Прежде всего, игра доставляет удовольствие. Но в то же время и тренирует наш мозг, нашу логику. А уж математические игры в особенности! Они приучают нас подмечать числовые зависимости, а это иногда ведёт к нешуточным последствиям. Такая сложная отрасль математики, как теория вероятностей, началась именно с игры, с желания угадать вероятность успеха. Что же до фигурных чисел, так ими увлекались ещё в древности. И это тоже привело к интересным открытиям. К примеру, древнегреческий математик Диофант установил, что если любое треугольное число умножить на 8, а потом прибавить к произведению единицу, то при этом обязательно получится число квадратное.
Конечно, девочка захотела это проверить. Она умножила треугольное число 3 на 8, получила 24, прибавила единицу и… получила квадратное число 25.
Я рассказал, что фигурными числами занимался ещё и Ферма. И он установил, что любое натуральное число можно представить суммой либо двух, либо трёх треугольных. Это легко проверить на тех треугольных числах, которые мы знаем: 1, 3, 6, 10 15, 21, 28, 36.
Возьмём натуральное число 17. Его можно представить суммой семнадцати единиц. Но это будет наибольшее число треугольных слагаемых. А Ферма имел в виду наименьшее. Ясно, что на сей раз это 15+1+1. Или: 10+6+1. На меньшее число треугольных слагаемых 17 не раскладывается. А вот число 20 может быть представлено в виде суммы двух треугольных чисел: 10+10…
– Посмотрите, – перебила меня девочка, – наш дорогой Главный терятель выложил шарики горкой!
– Лучше бы сказать, – пирамидкой, – уточнил тот. – Я получил её, положив в основание треугольник, состоящий из трёх шаров под номерами 1, 2, 3, а номер 4 положил сверху. И получил первые пирамидальные числа 1 и 4…
– Ничего подобного, – сказала девочка, – число 4 квадратное.
– Как видишь, не только квадратное, – возразил я. – Следующее по порядку пирамидальное число 10 в то же время и треугольное. Его мы получим, построив пирамиду с треугольным основанием из трёх строк и шести шаров под номерами с первого по шестой (№ 1–6). На этот треугольник нарастим меньший – из двух строк и трех шаров (№ 7, 8, 9). Сверху положим шар № 10. А зто и есть следующее после четырёх пирамидальное число. Новое пирамидальное число – 20 – получим, построив пирамиду с треугольным основанием из четырёх строк и десяти шаров под номерами с первого по десятый (№ 1-10), на вершине которой окажется шар № 20. Таким образом…
– Таким образом, всякий раз очередное пирамидальное число находится на вершине пирамиды, – подхватила девочка и, подумав, добавила: – А еще фигурные числа неразлучны с геометрией.
Что и говорить, это она правильно подметила! Хотя в дружбе своей с геометрией фигурные числа не одиноки.
Недавно я бездумно чертил на бумаге разные геометрические фигуры и вдруг заметил, что многие из них связаны с совершенными числами. Например, квадрат. У него 4 стороны и 2 диагонали. В сумме это равно шести. А 6 – число совершенное. Или восьмиугольник. У него 8 сторон и 20 диагоналей. В сумме это 28. А 28 опять-таки число совершенное.
Или куб. Это уже шестигранник, фигура объёмная. У него 13 рёбер, по 2 диагонали на каждой грани, да ещё 4 диагонали внутри куба. Всё это в сумме опять-таки составляет совершенное число 28 (12+2х6+4=28).
Я рассмотрел много фигур, плоскостных и объёмных, и мне удалось понять, в каких случаях число их сторон или рёбер вместе с числом диагоналей даёт число совершенное… У меня об этом даже статья напечатана… В журнале «Энэмские математические новости»…
– Тысяча извинений! – перебил мой рассказ Главный терятель. – Очень жаль прерывать вас на таком интересном месте, но что поделаешь! Боюсь позабыть то, что вспомнил…
– Неужто ассоциацию?! – всплеснула руками девочка.
– Вот-вот, – энергично закивал Главный терятель. – Я вспомнил, что значность утерянного номера – число совершенное и в тоже время треугольное.
– Это уже немало! – обрадовался я. – Кажется, нам пора устроить конференцию. Обсудить все наши данные и посмотреть, нельзя ли перейти к выводам.
– Неужели? Неужели это возможно? – заволновался Главный терятель. – В таком случае, чего же мы ждём?
Похоже, он собирался заседать прямо в музее. Но девочка этому решительно воспротивилась. Она заявила, что тут нет кофе. А в таких ответственных случаях ни один сыщик без крепкого кофе не обходится. Это была сущая правда. И мы поспешили в ближайшее кафе.
КОФЕ С ТАРАРАМОМ
В музее не было кофе, но там была тишина. В кафе тишиной и не пахло. Недаром оно называлось «Тарарам»! Зато здесь восхитительно пахло кофе и свежими булочками. Как тут было не вспомнить, что нам давно пора подкрепиться? Правда, вспомнив о еде, мы тут же позабыли о конференции. Но зто оказалось кстати, потому что заседать в таком тарараме не имело никакого смысла. Следовало выждать, пока здешние музыканты сами не вспомнят, что им пора закусить. И, судя по тому, как они надрывались, время зто было не за горами.
Оказывается, нам повезло: сегодня в кафе выступал знаменитый эстрадный ансамбль ПРОМОККМ-4. Музыканты в отчаянно жёлтых куртках и неслыханно зелёных штанах до того обросли волосами, что мало походили на людей. Ещё меньше музыка их походила на музыку. Но я человек современный, бывалый, и не это меня удивило. Я заметил, что исполнители всё время меняются местами, да не как-нибудь, а всякий раз по-новому. Девочке это тоже бросилось в глаза. А Главный терятель громогласно заявил:
– Если бы я не знал, что передо мной знаменитый эстрадный ансамбль ПРОМОККМ-4, я бы подумал, что это знаменитый квартет из басни Ивана Андреевича Крылова.
– Но ведь так оно и есть! – отозвался человек, сидевший за соседним столиком. – Название ПРОМОККМ состоит из начальных букв четырёх имён: Проказница Мартышка, Осёл, Козёл и Косолапый Мишка. Пользуясь любезным разрешением энэмского зоопарка, они выступают в окрестных кафе и ресторанах, а иногда даже выезжают в другие города. При этом музыканты не забывают о математических традициях родного Энэмска. Всякий раз, завершив полный цикл пересадок… виноват, перестановок из числа 4, они непременно оповещают об этом публику через своего постоянного конферансье, попугая Какаду. Но сегодня он, к сожалению, не в голосе…
И правда: объявляя очередной номер, конферансье в разнопёром фраке хрипел и глотал слова. Хотя, на мой взгляд, зто ничему не вредило. Не всё ли равно, как называется пьеса – «Землетрясение в Буги-Вуги» или «Ураган в Шейк-н-рокке», если в музыке и так и так ничего не разобрать?
Но вот очередной раунд пересадок закончился, и попугай вышел на эстраду для торжественной церемонии.
– Дорррогие дрррузья! – начал он бойкой заученной скороговоркой. – Вы, разумеется, поняли, что сегодняшний концерт посвящается мне. Ведь исполняют в нём не какую-нибудь, а ПОП-музыку! Ха-ха-ха… Но это так, шутка, а если говорить всерьёз, произошло знаменательное событие. Наш несравненный ПРОМОККМ-4 завершил очередной цикл пересадок, и я счастлив объявить, что число их равно… кх-кх…
Тут он застыл с отверстым ртом и жестом показал, что у него пропал голос. С минуту в кафе «Тарарам» царила растерянность. И вдруг в проходе между столиками появился чёрный мохнатый клубок.
Он пулей пересек зал, поравнялся с эстрадой, легко вскочил на неё и… Посетители кафе увидели нашего Пусю! Как будущий артист он не мог не выручить собрата, как истый математик не мог допустить нарушения математических традиций города Энэмска. И все услышали, как Пуся тявкнул двадцать четыре раза. Потому что число перестановок из четырёх равно именно двадцати четырём.
Думаю, такого тарарама в кафе «Тарарам» ещё не было! Зал буквально стонал от восторга. Но самое любопытное, что число перестановок Пуся вычислил самостоятельно. Девочке же для этого потребовалась моя помощь, и я научил её находить число перестановок самым простым способом. 4 – четвёртое по счёту число натурального ряда. Чтобы узнать, сколько различных пересадок могут сделать четыре музыканта, надо перемножить числа 1, 2, 3, 4, и получится как раз двадцать четыре.
После этого девочка… виноват, Главный секретарь операции «Пуся» открыла свой блокнот, а заодно и конференцию, потому что ПРОМОККМ-4 удалился на заслуженный отдых, и в нашем распоряжении оказалось пятнадцать минут тишины.
Сначала мы освежили в памяти список примет: 1) Все цифры в номере разные. 2) В номере нет нулей. 3) Номер чётный. 4) Номер делится на 11, причём сумма цифр, стоящих на нечётных местах, равна сумме цифр, стоящих на чётных. 5) Последние три цифры номера – последовательно возрастающие. И наконец 6) Значность номера – число совершенное и в то же время треугольное.
Окинув намётанным глазом это обширное хозяйство, я сразу сообразил, что самая важная примета – шестая, последняя, поскольку касается она значности числа. Выходит, с неё и надо начинать. Но прежде я напомнил участникам конференции об одной особенности совершенных чисел. Они растут как на дрожжах! Если первое из них – 6 –число однозначное, второе – 28 – двузначное, то третье – 496 – уже трёхзначное, а последнее из известных совершенных чисел записывается более чем шестью тысячами знаков!
Совершенно ясно, что лотерейный номер не может быть таким длинным. Речь, стало быть, может идти только о двух первых совершенных числах, которые, кстати, оба треугольные. Но второе из них – 28 – придётся отмести. Почему? Да потому, что в числе, состоящем из двадцати восьми цифр, какие-то непременно повторяются. А это противоречит первой примете: все цифры в номере разные. Остаётся число 6. И стало быть, номер – шестизначный. Вот и всё, что мы можем пока извлечь из наших многочисленных признаков.
– Негусто, – вздохнул Главный те рятель, уныло допивая остывший кофе.
– Но и не так уж мало, – бодро возразил я. – Всё-таки некоторые ассоциации привели нас к существенным результатам. И потому – двинемся за новыми!
Двинуться, однако, не удалось, потому что в это время к нам подошёл тот самый человек, который расшифровал название ансамбля.
– Извините великодушно, – сказал он, – у вас такая удивительная собака! Вот я и подумал, что вы, должно быть, тоже любите математику…
– Конечно, любим! А иногда и знаем, – сказала девочка, лукаво взглянув на меня.
– Очень, очень приятно! – обрадовался незнакомец. – Недаром я сразу почувствовал, что здесь мне помогут. Видите ли, я дрессировщик. Выступаю с группой обезьян. Недавно я выписал для них бананы. Мои обезьяны без бананов не могут, и я всегда делаю большие запасы. На сей раз поставщик оказался шутником. Он заявил, что числа отправленных бананов не помнит. Знает лишь, что оно было наименьшим из возможных, оканчивается четвёркой, и что эта четвёрка, будучи переставлена в начало числа, увеличит его вчетверо. Так вот, если я отгадаю, сколько штук бананов отправлено, он обязуется посылать мне каждый месяц столько же, и мои обезьяны будут обеспечены бананами до скончания века. Не поможете ли мне узнать, что это за число?
– С величайшим удовольствием! – отвечал я. – Находить числа – моя святая обязанность. Правда, ваш случай не из лёгких. Но у меня есть один приём, и он нас выручит. Итак, мы ищем число с четвёркой на конце, и эта четвёрка, очутившись в начале числа, увеличит его вчетверо. Так узнаем сперва зто учетверённое число. Попробуем неизвестное нам число отправленных бананов умножить на 4. «Как?! – воскликнете вы. – Как же это возможно? Ведь оно неизвестное!» Да, отвечу я, но не совсем. У него есть кончик – четвёрка. Ухватимся за этот кончик и попробуем вытащить всё число. Для начала умножим четвёрку на 4, чтобы получить последнюю цифру учетверённого числа. 4x4=16. Вот вам и число единиц в новом числе: это 6. Причём в уме у нас остаётся единица, которая перейдёт в следующий разряд. А теперь… Теперь вступает в силу мой приём. Умножим последнюю цифру учетверённого числа 6 на 4, не забыв прибавить к произведению единицу. Получим 25: 6x4=24; 24+1=25. Вот у нас появилась и вторая цифра с конца – 5, при этом 2 остаётся в уме. Снова умножаем 5 на 4 и прибавляем к произведению двойку. Получаем 22: 5x4=20; 20+2=22. Вот вам и третья цифра с конца – 2, а два придерживаем в уме. Снова умножаем 2 на 4, прибавляем двойку и получаем 10. Теперь у нас уже есть четвёртая цифра с конца – 0, да единица в уме. Умножаем 0 на 4, затем прибавляем к произведению единицу и получаем 1: 0x4=0; 0+1=1. Это уже пятая цифра с конца.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
– Конечно, не люди, – согласился я. – Число – понятие воображаемое. Но из чисел можно выкладывать разные геометрические фигуры.
Тут как раз бильярд освободился. Я придвинул к себе горку шаров и выстроил их в одну линию по порядку номеров: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и так далее. Затем положил на середину стола шар номер 1 и пристроил под ним два других под номерами 2 и 3. Получился небольшой равносторонний треугольник, состоящий как бы из двух строк. В первой строке – один шар, во второй – два.
– Перед нами треугольник из двух числовых строк, – сказал я. – Число этих строк можно наращивать до бесконечности и всякий раз получать равносторонний треугольник, состоящий из большего числа шаров. Но мы люди скромные и ограничимся малым. Увеличим наш треугольник до… скажем, до десяти строк. И шары будем выкладывать слева направо, по порядку номеров. А теперь, – продолжал я, нарастив треугольник, – представь себе, что шары у нас не нумерованные. Сможешь ты сказать, сколько шаров пошло на постройку этого треугольника?
– Ну конечно! – фыркнула девочка. – Возьму да сосчитаю.
– Это потому, что треугольник наш невелик. А если б он был много больше? Ведь мысленно его можно продолжить до бесконечности!
– Да, – сказала девочка озадаченно, – тут, пожалуй, со счёта собьёшься…
– Ничего, – сказал я. – У нас-то шары нумерованные! И потому мы можем сразу, ничего не пересчитывая, сказать, сколько шаров пошло на постройку треугольника из двух строк, из трёх, из двадцати, из тысячи, из миллиона… Для этого надо лишь посмотреть, какой шарик стоит справа, в конце последней строки. В первой строке это, конечно, № 1. Один шар мы тоже условно принимаем за треугольник. Во второй – № 3, в третьей – № 6, в четвёртой – № 10, в пятой – № 15, в шестой – № 21, в седьмой – № 28, в восьмой – № 36, в девятой – № 45, в десятой – № 55. Эти-то числа, указывающие, сколько шаров ушло на постройку каждого треугольника, называют в математике треугольными.
– А есть и четырёхугольные? – поинтересовалась девочка.
– Безусловно. Но называют их квадратными. И это уже совсем другой ряд чисел. Он образуется по другому закону. В ряду треугольных чисел каждое новое число обраауется так: первое треугольное число-1. Чтобы получить второе, прибавляем к единице следующее число натурального ряда 2: 1+2=3. Чтобы получить третье, надо прибавить к трём следующим после двух число натурального. ряда: 3+3=6. Далее, поступая каждый раз так же, получаем числа 10(6+4), 15(10+5), 21(15+6), 28(21+7), 36(28+8), 45(36+9), 55(45+10). Как видишь, каждое второе слагаемое в скобках есть следующее по порядку число натурального ряда. Ряд четырёхугольных чисел образуется иначе. Здесь к предыдущему квадратному числу всякий раз прибавляется не просто порядковое натуральное, а порядковое нечётное число. То есть взятое не из натурального ряда 1, 2, 3, 4, 5, 6 и т. д., а из ряда 1, 3, 5, 7, 9, 11 и т. д.
Но девочке надоело слушать, и она перешла от слов к делу: выложила квадрат из четырёх шаров и тут же заявила, что первое квадратное число – это 4.
– Ошибка, – заметил я. – Ты пропустила единицу. По правилам игры все фигурные числа непременно начинаются с фигуры, которая условно изображена шариком № 1. Во-вторых, почему ты думаешь, что 4 – число квадратное?
– Да потому, что оно стоит в последнем ряду справа, – ответила она.
Я усмехнулся и увеличил квадрат, пристроив справа к первой горизонтальной строке шар № 5, ко второй – № 6, а внизу прирастил ещё одну строку из шаров № 7, 8, 9. При этом шар № 4 оказался уже не в конце строки, а внутри квадрата. Девочку зто озадачило. Я снова увеличил квадрат. Теперь крайним справа оказался шар № 16. Потом № 25. Потом № 36…
И тут стало ясно, что квадратные числа расположены не в конце каждой строки, как в треугольнике, а наискосок, по диагонали. И это 1, 4, 9, 16, 25, 36 и т. д. Легко понять, что каждое следующее квадратное число есть сумма предыдущего и очередного нечётного числа натурального ряда: 4 (1+3), 9(4+5); 16(9+7), 25(16+ 9), 36(25+11) и т. д.
Любопытно, что каждое следующее квадратное число есть квадрат порядкового числа натурального ряда: 4=22; 9=32; 16=42; 25 = 52; 36=62 и т. д. И всякий раз основание степени указывает, из скольких строк построен квадрат. В первом 1 шар и 1 строка, во втором 4 шара и 2 строки, в третьем 9 шаров и 3 строки… Ну и так далее…
– Занятная игра, – вздохнула девочка, – но какая от неё польза?
– Такая же, как и от любой другой, – сказал я, пожав плечами. – Прежде всего, игра доставляет удовольствие. Но в то же время и тренирует наш мозг, нашу логику. А уж математические игры в особенности! Они приучают нас подмечать числовые зависимости, а это иногда ведёт к нешуточным последствиям. Такая сложная отрасль математики, как теория вероятностей, началась именно с игры, с желания угадать вероятность успеха. Что же до фигурных чисел, так ими увлекались ещё в древности. И это тоже привело к интересным открытиям. К примеру, древнегреческий математик Диофант установил, что если любое треугольное число умножить на 8, а потом прибавить к произведению единицу, то при этом обязательно получится число квадратное.
Конечно, девочка захотела это проверить. Она умножила треугольное число 3 на 8, получила 24, прибавила единицу и… получила квадратное число 25.
Я рассказал, что фигурными числами занимался ещё и Ферма. И он установил, что любое натуральное число можно представить суммой либо двух, либо трёх треугольных. Это легко проверить на тех треугольных числах, которые мы знаем: 1, 3, 6, 10 15, 21, 28, 36.
Возьмём натуральное число 17. Его можно представить суммой семнадцати единиц. Но это будет наибольшее число треугольных слагаемых. А Ферма имел в виду наименьшее. Ясно, что на сей раз это 15+1+1. Или: 10+6+1. На меньшее число треугольных слагаемых 17 не раскладывается. А вот число 20 может быть представлено в виде суммы двух треугольных чисел: 10+10…
– Посмотрите, – перебила меня девочка, – наш дорогой Главный терятель выложил шарики горкой!
– Лучше бы сказать, – пирамидкой, – уточнил тот. – Я получил её, положив в основание треугольник, состоящий из трёх шаров под номерами 1, 2, 3, а номер 4 положил сверху. И получил первые пирамидальные числа 1 и 4…
– Ничего подобного, – сказала девочка, – число 4 квадратное.
– Как видишь, не только квадратное, – возразил я. – Следующее по порядку пирамидальное число 10 в то же время и треугольное. Его мы получим, построив пирамиду с треугольным основанием из трёх строк и шести шаров под номерами с первого по шестой (№ 1–6). На этот треугольник нарастим меньший – из двух строк и трех шаров (№ 7, 8, 9). Сверху положим шар № 10. А зто и есть следующее после четырёх пирамидальное число. Новое пирамидальное число – 20 – получим, построив пирамиду с треугольным основанием из четырёх строк и десяти шаров под номерами с первого по десятый (№ 1-10), на вершине которой окажется шар № 20. Таким образом…
– Таким образом, всякий раз очередное пирамидальное число находится на вершине пирамиды, – подхватила девочка и, подумав, добавила: – А еще фигурные числа неразлучны с геометрией.
Что и говорить, это она правильно подметила! Хотя в дружбе своей с геометрией фигурные числа не одиноки.
Недавно я бездумно чертил на бумаге разные геометрические фигуры и вдруг заметил, что многие из них связаны с совершенными числами. Например, квадрат. У него 4 стороны и 2 диагонали. В сумме это равно шести. А 6 – число совершенное. Или восьмиугольник. У него 8 сторон и 20 диагоналей. В сумме это 28. А 28 опять-таки число совершенное.
Или куб. Это уже шестигранник, фигура объёмная. У него 13 рёбер, по 2 диагонали на каждой грани, да ещё 4 диагонали внутри куба. Всё это в сумме опять-таки составляет совершенное число 28 (12+2х6+4=28).
Я рассмотрел много фигур, плоскостных и объёмных, и мне удалось понять, в каких случаях число их сторон или рёбер вместе с числом диагоналей даёт число совершенное… У меня об этом даже статья напечатана… В журнале «Энэмские математические новости»…
– Тысяча извинений! – перебил мой рассказ Главный терятель. – Очень жаль прерывать вас на таком интересном месте, но что поделаешь! Боюсь позабыть то, что вспомнил…
– Неужто ассоциацию?! – всплеснула руками девочка.
– Вот-вот, – энергично закивал Главный терятель. – Я вспомнил, что значность утерянного номера – число совершенное и в тоже время треугольное.
– Это уже немало! – обрадовался я. – Кажется, нам пора устроить конференцию. Обсудить все наши данные и посмотреть, нельзя ли перейти к выводам.
– Неужели? Неужели это возможно? – заволновался Главный терятель. – В таком случае, чего же мы ждём?
Похоже, он собирался заседать прямо в музее. Но девочка этому решительно воспротивилась. Она заявила, что тут нет кофе. А в таких ответственных случаях ни один сыщик без крепкого кофе не обходится. Это была сущая правда. И мы поспешили в ближайшее кафе.
КОФЕ С ТАРАРАМОМ
В музее не было кофе, но там была тишина. В кафе тишиной и не пахло. Недаром оно называлось «Тарарам»! Зато здесь восхитительно пахло кофе и свежими булочками. Как тут было не вспомнить, что нам давно пора подкрепиться? Правда, вспомнив о еде, мы тут же позабыли о конференции. Но зто оказалось кстати, потому что заседать в таком тарараме не имело никакого смысла. Следовало выждать, пока здешние музыканты сами не вспомнят, что им пора закусить. И, судя по тому, как они надрывались, время зто было не за горами.
Оказывается, нам повезло: сегодня в кафе выступал знаменитый эстрадный ансамбль ПРОМОККМ-4. Музыканты в отчаянно жёлтых куртках и неслыханно зелёных штанах до того обросли волосами, что мало походили на людей. Ещё меньше музыка их походила на музыку. Но я человек современный, бывалый, и не это меня удивило. Я заметил, что исполнители всё время меняются местами, да не как-нибудь, а всякий раз по-новому. Девочке это тоже бросилось в глаза. А Главный терятель громогласно заявил:
– Если бы я не знал, что передо мной знаменитый эстрадный ансамбль ПРОМОККМ-4, я бы подумал, что это знаменитый квартет из басни Ивана Андреевича Крылова.
– Но ведь так оно и есть! – отозвался человек, сидевший за соседним столиком. – Название ПРОМОККМ состоит из начальных букв четырёх имён: Проказница Мартышка, Осёл, Козёл и Косолапый Мишка. Пользуясь любезным разрешением энэмского зоопарка, они выступают в окрестных кафе и ресторанах, а иногда даже выезжают в другие города. При этом музыканты не забывают о математических традициях родного Энэмска. Всякий раз, завершив полный цикл пересадок… виноват, перестановок из числа 4, они непременно оповещают об этом публику через своего постоянного конферансье, попугая Какаду. Но сегодня он, к сожалению, не в голосе…
И правда: объявляя очередной номер, конферансье в разнопёром фраке хрипел и глотал слова. Хотя, на мой взгляд, зто ничему не вредило. Не всё ли равно, как называется пьеса – «Землетрясение в Буги-Вуги» или «Ураган в Шейк-н-рокке», если в музыке и так и так ничего не разобрать?
Но вот очередной раунд пересадок закончился, и попугай вышел на эстраду для торжественной церемонии.
– Дорррогие дрррузья! – начал он бойкой заученной скороговоркой. – Вы, разумеется, поняли, что сегодняшний концерт посвящается мне. Ведь исполняют в нём не какую-нибудь, а ПОП-музыку! Ха-ха-ха… Но это так, шутка, а если говорить всерьёз, произошло знаменательное событие. Наш несравненный ПРОМОККМ-4 завершил очередной цикл пересадок, и я счастлив объявить, что число их равно… кх-кх…
Тут он застыл с отверстым ртом и жестом показал, что у него пропал голос. С минуту в кафе «Тарарам» царила растерянность. И вдруг в проходе между столиками появился чёрный мохнатый клубок.
Он пулей пересек зал, поравнялся с эстрадой, легко вскочил на неё и… Посетители кафе увидели нашего Пусю! Как будущий артист он не мог не выручить собрата, как истый математик не мог допустить нарушения математических традиций города Энэмска. И все услышали, как Пуся тявкнул двадцать четыре раза. Потому что число перестановок из четырёх равно именно двадцати четырём.
Думаю, такого тарарама в кафе «Тарарам» ещё не было! Зал буквально стонал от восторга. Но самое любопытное, что число перестановок Пуся вычислил самостоятельно. Девочке же для этого потребовалась моя помощь, и я научил её находить число перестановок самым простым способом. 4 – четвёртое по счёту число натурального ряда. Чтобы узнать, сколько различных пересадок могут сделать четыре музыканта, надо перемножить числа 1, 2, 3, 4, и получится как раз двадцать четыре.
После этого девочка… виноват, Главный секретарь операции «Пуся» открыла свой блокнот, а заодно и конференцию, потому что ПРОМОККМ-4 удалился на заслуженный отдых, и в нашем распоряжении оказалось пятнадцать минут тишины.
Сначала мы освежили в памяти список примет: 1) Все цифры в номере разные. 2) В номере нет нулей. 3) Номер чётный. 4) Номер делится на 11, причём сумма цифр, стоящих на нечётных местах, равна сумме цифр, стоящих на чётных. 5) Последние три цифры номера – последовательно возрастающие. И наконец 6) Значность номера – число совершенное и в то же время треугольное.
Окинув намётанным глазом это обширное хозяйство, я сразу сообразил, что самая важная примета – шестая, последняя, поскольку касается она значности числа. Выходит, с неё и надо начинать. Но прежде я напомнил участникам конференции об одной особенности совершенных чисел. Они растут как на дрожжах! Если первое из них – 6 –число однозначное, второе – 28 – двузначное, то третье – 496 – уже трёхзначное, а последнее из известных совершенных чисел записывается более чем шестью тысячами знаков!
Совершенно ясно, что лотерейный номер не может быть таким длинным. Речь, стало быть, может идти только о двух первых совершенных числах, которые, кстати, оба треугольные. Но второе из них – 28 – придётся отмести. Почему? Да потому, что в числе, состоящем из двадцати восьми цифр, какие-то непременно повторяются. А это противоречит первой примете: все цифры в номере разные. Остаётся число 6. И стало быть, номер – шестизначный. Вот и всё, что мы можем пока извлечь из наших многочисленных признаков.
– Негусто, – вздохнул Главный те рятель, уныло допивая остывший кофе.
– Но и не так уж мало, – бодро возразил я. – Всё-таки некоторые ассоциации привели нас к существенным результатам. И потому – двинемся за новыми!
Двинуться, однако, не удалось, потому что в это время к нам подошёл тот самый человек, который расшифровал название ансамбля.
– Извините великодушно, – сказал он, – у вас такая удивительная собака! Вот я и подумал, что вы, должно быть, тоже любите математику…
– Конечно, любим! А иногда и знаем, – сказала девочка, лукаво взглянув на меня.
– Очень, очень приятно! – обрадовался незнакомец. – Недаром я сразу почувствовал, что здесь мне помогут. Видите ли, я дрессировщик. Выступаю с группой обезьян. Недавно я выписал для них бананы. Мои обезьяны без бананов не могут, и я всегда делаю большие запасы. На сей раз поставщик оказался шутником. Он заявил, что числа отправленных бананов не помнит. Знает лишь, что оно было наименьшим из возможных, оканчивается четвёркой, и что эта четвёрка, будучи переставлена в начало числа, увеличит его вчетверо. Так вот, если я отгадаю, сколько штук бананов отправлено, он обязуется посылать мне каждый месяц столько же, и мои обезьяны будут обеспечены бананами до скончания века. Не поможете ли мне узнать, что это за число?
– С величайшим удовольствием! – отвечал я. – Находить числа – моя святая обязанность. Правда, ваш случай не из лёгких. Но у меня есть один приём, и он нас выручит. Итак, мы ищем число с четвёркой на конце, и эта четвёрка, очутившись в начале числа, увеличит его вчетверо. Так узнаем сперва зто учетверённое число. Попробуем неизвестное нам число отправленных бананов умножить на 4. «Как?! – воскликнете вы. – Как же это возможно? Ведь оно неизвестное!» Да, отвечу я, но не совсем. У него есть кончик – четвёрка. Ухватимся за этот кончик и попробуем вытащить всё число. Для начала умножим четвёрку на 4, чтобы получить последнюю цифру учетверённого числа. 4x4=16. Вот вам и число единиц в новом числе: это 6. Причём в уме у нас остаётся единица, которая перейдёт в следующий разряд. А теперь… Теперь вступает в силу мой приём. Умножим последнюю цифру учетверённого числа 6 на 4, не забыв прибавить к произведению единицу. Получим 25: 6x4=24; 24+1=25. Вот у нас появилась и вторая цифра с конца – 5, при этом 2 остаётся в уме. Снова умножаем 5 на 4 и прибавляем к произведению двойку. Получаем 22: 5x4=20; 20+2=22. Вот вам и третья цифра с конца – 2, а два придерживаем в уме. Снова умножаем 2 на 4, прибавляем двойку и получаем 10. Теперь у нас уже есть четвёртая цифра с конца – 0, да единица в уме. Умножаем 0 на 4, затем прибавляем к произведению единицу и получаем 1: 0x4=0; 0+1=1. Это уже пятая цифра с конца.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10