Следовательно, они могут только лгать вдвоем. Но коль скоро Герцогиня лжет, то крендели украл не кто иной, как Грифон.
Глава 3
14. Гусеница и Ящерка Билль. Гусеница считает, что и она, и Ящерка Билль не в своем уме. Если бы Гусеница была в здравом уме, то мнение о том, что и она, и Ящерка Билль не в своем уме, было бы ложно. Следовательно, Гусеница (будучи в здравом уме) не могла бы придерживаться этого ложного мнения. Значит, Гусеница не в своем уме. Но коль скоро она не в своем уме, то ее представление об окружающих превратно. Следовательно, неверно, что и Гусеница, и Ящерка Билль не в своем уме. Значит, другой партнер (Ящерка Билль)
должен быть в здравом рассудке.
Итак, Гусеница не в своем уме, а Ящерка Билль в здравом рассудке.
15. Кухарка и Кот. Если бы кухарка была не в своем уме, то ее мнение о том, что по крайней мере один из двух - либо она, либо Чеширский Кот не в своем уме, было бы истинным. Но тогда мы имели бы человека, который, будучи не в своем уме, придерживается здравых суждений, что противоречит условиям задачи. Следовательно, кухарка должна быть в здравом рассудке. А поскольку она в здравом уме, то ее суждения истинны, и поэтому один из двух - либо она, либо Чеширский Кот - не в своем уме. Поскольку этот "один" не кухарка, им должен быть Чеширский Кот.
Итак, кухарка в здравом рассудке, а Чеширский Кот не в своем уме.
16. Лакей-Лещ и Лягушонок. Приведенные в условиях задачи сведения не позволяют определить, в здравом ли рассудке или не в своем уме Лакей-Лещ, но мы докажем, что Лягушонок должен быть в здравом рассудке. Будем рассуждать следующим образом.
Имеются две возможности: либо Лакей-Лещ в здравом рассудке, либо он не в своем уме. Покажем, что и в том и в другом случае Лягушонок должен быть в здравом рассудке.
Предположим, что Лакей-Лещ в здравом рассудке. Тогда он судит обо всем правильно. Значит, Лягушонок действительно во всем схож с Лакеем-Лещом. Следовательно, Лягушонок в здравом рассудке.
С другой стороны, предположим, что Лакей-Лещ не в своем уме. Тогда он обо всем судит превратно, поэтому Лягушонок совершенно несхож с Лакеем-Лещом. Так как Лакей-Лещ не в своем уме, то Лягушонок в противоположность ему должен быть в здравом рассудке.
Итак, в любом случае (в здравом ли рассудке Лакей-Лещ или не своем уме) Лягушонок должен быть в здравом уме.
А что если бы Лакей-Лещ считал Лягушонка не во всем схожим, а во всем несхожим с собой? Каким был бы тогда Лакей-Лещ - в здравом рассудке или не в своем уме?
Ответ: Лягушонок в таком случае должен был быть не в своем уме. Доказательство этого утверждения я предоставляю читателю в качестве самостоятельного упражнения.
17. Король и Королева Бубен. Никто из этой августейшей четы не может думать о себе, что он не в своем уме.
Действительно, человек в здравом рассудке знает в соответствии с истиной, что он в своем уме, а безумец ошибочно полагает, что он в своем уме. Следовательно, Королева в действительности не думает, что она не в своем уме. Значит, не в своем уме Король, который считает, что Королева так думает.
Данные задачи не позволяют утверждать что-либо относительно того, в своем ли уме Королева Бубен.
18. Мартовский Заяц, Болванщик и Соня. Предположим, что Болванщик в своем уме. Тогда он обо всем судит здраво.
Значит, Мартовский Заяц не думает, что все три участника безумного чаепития в своем уме. Следовательно, Мартовский Заяц должен быть в своем уме потому, что если бы он был не в своем уме, то разделял бы ложное мнение о том, что все три участника безумного чаепития в своем уме. Но тогда, Соня, считающая, что Мартовский Заяц в здравом рассудке, сама должна быть в своем уме. Значит, все три участника безумного чаепития должны быть в своем уме. Как же в таком случае мог Мартовский Заяц не признавать истинным утверждение о том, что все три участника безумного чаепития в своем уме? Полученное противоречие доказывает, что предположение о том, будто Болванщик в своем уме, ложно: в действительности Болванщик должен быть не в своем уме.
Так как Болванщик должен быть не в своем уме, он судит обо всем превратно, и поэтому Мартовский Заяц думает, что все три участника безумного чаепития в здравом рассудке.
Разумеется, Мартовский Заяц заблуждается (так как Болванщик не в своем уме), поэтому Мартовский Заяц также не в своем уме. Но тогда и Соня, считающая, что Мартовский Заяц в здравом рассудке, также не в своем уме.
Итак, все трое участников безумного чаепития не в своем уме (что, впрочем, не слишком удивительно!).
19. Грифон, Черепаха Квази и Омар. Прежде всего Грифон и Черепаха Квази должны быть "одинаковыми", то есть либо оба не в своем уме. либо оба в здравом рассудке, так как Черепаха Квази считает, что Грифон в своем уме. Если Черепаха Квази в здравом рассудке, то это означает, что Грифон в своем уме. Если же Черепаха Квази не в своем уме, то он судит обо всем превратно. Значит, Грифон в действительности не в здравом рассудке, а безумен. Таким образом, Грифон и Черепаха Квази оба не в своем уме.
Докажем теперь, что Омар не в своем уме. Будем рассуждать от противного: предположим, что он в своем уме. Тогда Омар обо всем судит здраво и, следовательно. Грифон действительно считает, что ровно один из троих (Грифон, Черепаха Квази и Омар) в своем уме. Но это невозможно, так как если Грифон в своем уме, то Черепаха Квази (равно как и Омар) в своем уме, поэтому утверждение о том, что ровно один из них в своем уме, ложно (так как в своем уме все трое). Следовательно, Грифон, будучи в здравом рассудке, так думать не мог. С другой стороны, если Грифон в своем уме, то утверждение о том, что ровно один из троих (а именно Омар, так как Черепаха Квази не в своем уме) в здравом рассудке, истинно. Но существо, которое не в своем уме, не может мыслить истинными суждениями. Следовательно, предположение о том, что Омар в своем уме, приводит к противоречию. Значит, Омар не может быть в здравом рассудке: он должен быть не в своем уме.
Итак, мы знаем, что Омар не в здравом рассудке. Значит, в действительности неверно, будто Грифон считает, что разумен ровно один из троих (Грифон, Черепаха Квази и Омар). Если Грифон не в своем уме, то Черепаха Квази также не в своем уме, и, таким образом, все трое не в своем уме.
Следовательно, утверждение о том, что не в своем уме ровно один из троих, ложно. Это означает, что Грифон, будучи не в своем уме, должен принимать за истинные все ложные утверждения, в частности утверждение о том, что ровно один из троих в здравом рассудке, хотя, как мы уже доказали, он так не думает. Полученное противоречие показывает, что Грифон не может быть не в своем уме. Следовательно, Грифон в здравом рассудке и Черепаха Квази (будучи таким же безумным или здравомыслящим), как Грифон, должен быть в своем уме.
Ответ: Омар не в своем уме. Грифон и Черепаха Квази оба в здравом рассудке.
20. Король и Королева Червей. Королева Пик думает, что Король Пик думает, что она не в своем уме. Если она в здравом рассудке, то Король действительно думает, что она не в своем уме, а это означает, что не в своем уме должен быть Король. Если же Королева не в своем уме, то Король в действительности не думает, что она не в своем уме, а если бы он был в здравом рассудке, то думал бы. Поэтому и в этом случае Король не в своем уме. Итак, в любом случае Король должен быть не в своем уме. Что же касается Королевы Пик, то она может быть и в здравом рассудке, и не в своем уме.
21. Король и Королева Треф. Не может быть, чтобы Король (Треф) думал, что Королева (Треф) думает, что Король думает, что Королева не в своем уме. Действительно, предположим, что Король так думает. Тогда Королева думает, что Король думает, что она не в своем уме. Но, как было показано в предыдущей задаче, это означает, что не в своем уме Король. Таким образом, если Король в своем уме, то он не в своем уме. Следовательно, Король не может быть в своем уме - Король безумен. Значит, он превратно судит обо всем и Королева в действительности не думает, что Король думает, что она не в своем уме. Но Королева либо в своем уме, либо безумна. Если она в своем уме. то здраво судит обо всем. Значит, верно, что Король не думает, что она не в своем уме, поэтому Король думает, что Королева в здравом рассудке. Но тогда Король мыслит здраво, и мы опять приходим к противоречию: безумный Король мыслит в соответствии с истиной. С другой стороны, если Королева не в своем уме, то она судит обо всем превратно, поэтому Король в действительности думает, что она не в своем уме.
Тем самым Король должен был бы быть в здравом рассудке, между тем как он не в своем уме. Итак, и в одном и в другом случае мы приходим к противоречию.
Оно доказывает просто невозможность такого положения, при котором Король думает, что Королева думает, что она не в своем уме. Таким образом, если бы Герцогиня задала Алисе логическую задачу, то это, несомненно, свидетельствовало бы о том, что Герцогиня не в своем уме. Но в действительности Герцогиня не задавала Алисе такой задачи. Она лишь спросила у Алисы:
- А что бы ты сказала, если бы я сообщила тебе, что...
22. Королева Червей. Все, что мы доказали в предыдущей задаче, применимо не только к Королю и Королеве Треф, но и к Королю и Королеве Червей. Действительно, невозможно, чтобы Король Червей думал, что Королева Червей думает, что Король Червей думает, что она не в своем уме. Так как Королева Червей действительно думает, что Король так думает, то она не в своем уме. Что же касается Короля, то данные задачи не позволяют определить, в своем ли он уме.
23. Додо, Попугайчик Лори и Орленок. Так как Лори думает, что Додо не в своем уме, то Лори и Додо совсем несхожи (если Лори в здравом рассудке, то Додо не в своем уме; если Лори не в своем уме, то Додо в действительности не безумец, а пребывает в здравом рассудке). Так как Орленок думает, что Додо в здравом рассудке, то Орленок совсем несхож с Лори (который думает, что Додо не в своем уме).
Следовательно, Орленок схож с Лори. (То же самое можно доказать иначе: если Орленок в своем уме, то Додо в действительности в здравом рассудке, а если Орленок не в своем уме, то Додо в действительности не в здравом рассудке, а не в своем уме.) Следовательно, Орленок и Додо схожи между собой, а Лори несхож с ними обоими. Так как Лори несхож с Орленком, то Лори должен думать, что Орленок не в своем уме. Значит, Додо судит здраво, поэтому Додо в своем уме.
24. Валет Червей. Докажем, что если Семерка не в своем уме, то Шестерка должен быть в здравом рассудке и, следовательно. Валет Червей здраво рассудил, думая, что Шестерка и Семерка не могут быть оба не в своем уме.
Предположим, что не в своем уме Семерка. Тогда то, что Семерка думает о Пятерке, ложно, поэтому Пятерка в здравом рассудке. Следовательно, Пятерка судит обо всем здраво, поэтому Туз и Четверка либо оба не в своем уме, либо оба в здравом рассудке. Но Туз и Четверка не могут быть оба не в своем уме. (Если бы Четверка был не в своем уме, то он судил бы обо всем превратно. Тогда Тройка и Двойка были бы оба не в своем уме, между тем как безумие Тройки означало бы. что Туз скорее в здравом разуме, чем не в своем уме. Следовательно, если Четверка не в своем уме, то Туз должен быть в здравом рассудке, поэтому Туз и Четверка не могут быть оба не в своем уме.) Таким образом. Туз и Четверка оба в здравом рассудке. А так как Четверка в здравом рассудке. Тройка и Двойка не могут быть оба не в своем уме - по крайней мере один из них в здравом рассудке. Но Тройка не может быть в здравом рассудке, так как он думает, что Туз не в своем уме.
Следовательно, в здравом рассудке должен быть Двойка.
Значит, Туз и Двойка оба в здравом уме. Стало быть.
Шестерка судит здраво, поэтому он должен быть в здравом уме.
Итак, мы доказали, что если Семерка не в своем уме, то Шестерка должен быть в здравом рассудке. Следовательно, не может быть, чтобы Семерка и Шестерка оба были не в своем уме. Так как Валет думает, что они не могут быть оба не в своем уме, сам Валет должен быть в здравом рассудке.
25. Оценка Грифона. В задаче 15 мы доказали, что кухарка в здравом уме. Следовательно, если то, о чем поведала Герцогиня Алисе, было правильно, кухарка была бы в здравом уме. Но Герцогиня сообщает Алисе, что кухарка считает, что она. Герцогиня, не в своем уме. Следовательно, Герцогиня должна была бы быть не в своем уме (поскольку кухарка, будучи в здравом уме. считает, что Герцогиня не в своем уме). Значит, если бы то, о чем Герцогиня рассказала Алисе, было истинно, то Герцогиня должна была бы быть не в своем уме, но тогда ее рассказ не соответствовал бы истине. Таким образом. если бы то, о чем поведала Герцогиня Алисе, было верно, то мы пришли бы к противоречию. Следовательно, то, о чем рассказала Герцогиня, неверно.
Заметим, кстати, что приведенное выше рассуждение отнюдь не предназначается для доказательства безумия Герцогини: у нас нет причин думать, что Герцогиня не в своем уме. Мы доказали лишь, что если бы ее история была правдива, то Герцогиня должна была бы быть не в своем уме.
Следовательно, рассказанная Герцогиней история не соответствует истинному положению вещей. Но это отнюдь не означает, что Герцогиня обо всем судит превратно. Мы доказали лишь то, что кое о чем она судит превратно!
Глава 4
26. Сколько кренделей у каждого? Назовем одной порцией все крендельки, которые достались Соне, сколько бы их ни было.
Тогда Соне досталась 1 порция. Мартовскому Зайцу досталось вдвое больше крендельков, чем Соне (потому что Соню Болванщик посадил на такое место, где крендельков было вдвое меньше, чем у Мартовского Зайца), то есть Мартовскому Зайцу досталось 2 порции. Сам Болванщик сел на такое место, где крендельков было втрое больше, чем у Мартовского Зайца, поэтому Болванщику досталось 6 порций. Так как у Болванщика оказалось 6 порций, а у Сони только 1 порция, Болванщику досталось на 5 порций больше, чем Соне. Кроме того, известно, что у Болванщика оказалось на 20 кренделей больше, чем у Сони. Следовательно, 5 порций крендельков соответствует 20 кренделькам и 1 порцию составляют 4 кренделька. Таким образом, Соне досталось 4 кренделька, Мартовскому Зайцу - 8 крендельков и Болванщику - -- 24 кренделька, то есть на 20 крендельков больше, чем Соне.
27. Возмездие. После того как Мартовский Заяц съел 5/16 кренделей, на тарелке осталось 11/16. Соня съела 7/11 оставшихся кренделей, то есть 7/11 от 11/16. Так как 7/11*11/16=7/16, Соня съела 7/16 всех кренделей. Вместе с Мартовским Зайцем, съевшим 5/16 всех кренделей, они съели вдвоем 7/16+5/16= 12/16, то есть 12/16 всех кренделей.
Болванщику они оставили 4/16, или 1/4, кренделей.
Поскольку Болванщику досталось 8 кренделей, эти 8 кренделей составляют 1/4 всех кренделей. Следовательно, всего было 32 кренделя. От 32 кренделей 1/16 составляет 2 кренделя, а 5/16 - 10 кренделей. Следовательно, Мартовский Заяц съел 10 кренделей, после чего на тарелке осталось 22 кренделя.
Затем Соня съела 7/11 от 22 оставшихся кренделей, что составляет 14 кренделей (так как 1/11 от 22 кренделей равна 2 кренделям, а 7/11 - 14 кренделям). На тарелке осталось 8 кренделей для Болванщика, так что все сходится.
28. Сколько фаворитов? Эта задача, обычно решаемая с помощью алгебры, очень проста, если подойти к ней следующим образом. Раздадим сначала по 3 кренделя каждому из 30 гостей Королевы. У нас останется 10 кренделей. При этом все нефавориты получат все крендели, которые им причитаются, а каждому из фаворитов еще предстоит получить по 1 кренделю.
Следовательно, все оставшиеся крендели предназначаются фаворитам - по 1 кренделю каждому фавориту. Значит, фаворитов должно быть 10.
Проверка. Каждый из 10 фаворитов должен получить по 4 кренделя, что составляет 40 кренделей на всех фаворитов.
Каждый из остальных 20 гостей получит по 3 кренделя, что составляет еще 60 кренделей. 40+60=100. Следовательно, наше решение правильно.
29. Крендели и крендельки. Так как каждый крендель стоит столько, сколько один кренделек, то 7 кренделей стоят столько же, сколько 21 кренделек, а 7 кренделей и 4 кренделька - столько же, сколько 25 крендельков. С другой стороны, 4 кренделя и 7 крендельков стоят столько, сколько 19 крендельков (так как 4 кренделя стоят столько же, сколько 12 крендельков). Таким образом, разность в стоимости 25 и 19 крендельков составляет 12 центов. Значит, 6 крендельков (25-19=6) стоят 12 центов, 1 кренделек - 2 цента, а 1 крендель - 6 центов.
Проверка. 4 кренделя и 7 крендельков стоят 24+14=38 центов, а 7 кренделей и 4 кренделька стоят 42+8=50 центов, то есть действительно на 12 центов дороже, чем в первом случае.
30. В гостях у Герцогини, кухарки и Чеширского Кота.
Чеширский Кот должен обнаружить на подносе 2 кренделя:
после того как он съест половину кренделей и еще 1 крендель, на подносе не останется ничего. Соня должна обнаружить на подносе 6 кренделей: после того как она съест половину кренделей и еще 1 крендель, на подносе останется 2 кренделя для Чеширского Кота.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18