Я поведал ему и о том, как безуспешно пытался решить задачу Бармаглот, и о том, как бились над ней Траляля и Труляля, но были вынуждены отступить несмотря на то, что располагали дополнительными сведениями.
Шалтай-Болтай тотчас же извлек карандаш и записную книжку и принялся что-то писать. Наконец он покачал головой и сказал:
- Данных недостаточно! Вот если бы вы могли припомнить, о ком спрашивал Траляля - о втором или о третьем подсудимом, то я, возможно, сумел бы решить задачу, хотя и не уверен, что мне это удалось бы.
- К счастью, - продолжал Белый Рыцарь, - в то время я еще помнил свой разговор с Траляля и сообщил Шалтаю-Болтаю, о котором из двоих подсудимых тот спрашивал.
Я не сказал Шалтаю-Болтаю, что именно сказал тот подсудимый, поскольку его показания уже вылетели у меня из памяти, но указал, чьи показания интересовали Траляля. И тогда Шалтай-Болтай смог решить задачу.
- Вот теперь, - завершил свой рассказ Белый Рыцарь, - ты уже знаешь все необходимое для того, чтобы решить задачу.
- И Алиса действительно справилась с такой задачей?
- спросила в изумлении Алиса.
- Конечно, - ответил я, - и ты справишься. Нужно только как следует сосредоточиться! Кто из троих подсудимых виновен?
Глава 10
Зазеркальная логика
Льюис Кэрролл очень мало рассказал нам о другом Белом Рыцаре. Мы знаем лишь, что второй Белый Рыцарь однажды попытался надеть шлем первого Белого Рыцаря, что было очень неосторожно с его стороны, так как внутри шлема, когда он попытался примерить его, была голова первого Белого Рыцаря!
Когда Алиса повстречала второго Белого Рыцаря, голова у нее пошла кругом! Еще бы! Ведь он высказывал так много ложных утверждений!
"Может быть, он один из тех, кто всегда лжет? - подумала Алиса. Нет, не может быть!" - отвергла она такое предположение. Интуиция подсказывала ей, что второй Белый Рыцарь был абсолютно искренним человеком. Но если бы вы знали, что он говорил! Прежде всего он сказал Алисе, что она Единорог!
- Вы действительно считаете, что я Единорог? - спросила Алиса.
- Нет, - ответил второй Белый Рыцарь. Затем он утверждал, будто Белый Король спит и Алиса ему снится, но тотчас же заявил, что Белому Королю ничего не снится. Затем он высказал два противоположных (или, как говорят логики, контрадикторных) утверждения, не помню, о чем именно, и сначала заявил, что одно из них истинно, а потом стал настаивать, что другое ложно, после чего сказал, что оба утверждения истинны.
Сначала Алиса думала, что второй Белый Рыцарь просто противоречит самому себе, но, как она ни старалась, ей никак не удалось ни разу поймать его на прямом противоречии, то есть на утверждении, о котором бы он сначала сказал, что оно истинно, а потом, что оно ложно, хотя о том же утверждении он мог сказать, что оно одновременно и истинно, и ложно! Не удалось ей добиться от второго Белого Рыцаря и отдельных высказываний о том, что одно утверждение истинно, а другое ложно.
После нескольких часов непрерывных вопросов у Алисы накопилось огромное количество данных, которые она аккуратно заносила в свою записную книжку. Прихватив ее с собой, Алиса отправилась к Шалтаю-Болтаю.
- Все ясно! - сказал Шалтай-Болтай, проглядев Алисины заметки. Все абсолютно ясно!
- Что вы хотите этим сказать? - спросила Алиса. - Что этот Белый Рыцарь лжет?
- Белые Рыцари никогда не лгут! - ответил Шалтай-Болтай.
- Тогда я не понимаю! - чуть не заплакала Алиса.
- Ничего не понимаю!
- Разумеется! - презрительно процедил Шалтай-Болтай. - Ты ничего не понимаешь в зазеркальной логике!
- А что такое зазеркальная логика?
- Разумеется, это логика, которой пользуются зазеркальные логики, последовал ответ.
- А кто такие зазеркальные логики? - удивилась Алиса.
- Разумеется, те, кто пользуется зазеркальной логикой, - ответил Шалтай-Болтай. - Уж об этом ты могла бы догадаться!
Алиса немного подумала. Почему-то ей показалось, что от таких объяснений не так уж много толку!
- Видишь ли, - продолжал Шалтай-Болтай, - есть здесь кое-кто, кого принято называть зазеркальными логиками. Их утверждения могут показаться тебе несколько необычными, пока ты не подберешь ключ, что, кстати сказать, совсем нетрудно. А коль скоро ключ найден, все, что говорят зазеркальные логики, становится простым и понятным.
- А что это за ключ? - спросила Алиса, сгорая от любопытства.
- Так я тебе и сказал! Впрочем, могу кое-что подсказать. Я изложу тебе пять основных условий, которым должен удовлетворять зазеркальный логик, а ты сможешь найти ключ к разгадке.
Условие 1. Зазеркальный логик абсолютно честен. Он высказывает те и только те утверждения, в истинности которых убежден.
Условие 2. Всякий раз, когда зазеркальный логик заявляет, что некоторое утверждение истинно, он также заявляет, что не убежден в истинности этого утверждения.
- Минуточку, - перебила Шалтая-Болтая Алиса. - Вам не кажется, что вы противоречите самому себе? По первому условию зазеркальный логик всегда говорит только правду. Следовательно, если он говорит, что какое-то утверждение истинно, то должен быть действительно убежден, что оно истинно. Как же в таком случае, не прибегая ко лжи, он может заявить, что не убежден в истинности этого утверждения?
- Хороший вопрос, - одобрительно заметил Шалтай-Болтай. - Дело в том, что я никогда не говорил, что зазеркальные логики точны в своих высказываниях.
Если зазеркальный логик убежден в чем-то, то это вовсе не означает, ни что он знает, что убежден, ни даже что он обязательно убежден, что убежден в этом чем-то. Более того, зазеркальный логик может быть ошибочно убежден, что он в чем-то не убежден.
- Вы хотите сказать, - заговорила в крайнем удивлении Алиса, что кто-то может быть в чем-то убежден и вместе с тем убежден в том, что он не убежден в этом чем-то?
- Если этот кто-то - зазеркальный логик, то да, - ответил Шалтай-Болтай. - С зазеркальными логиками такое происходит непрестанно. Это непосредственно следует из первых двух условий.
- Как так? - удивилась Алиса.
- А вот как, - пояснил Шалтай-Болтай. - Предположим, зазеркальный логик убежден, что утверждение истинно. Тогда по первому условию он заявляет, что утверждение истинно. Затем по второму условию он заявляет, что не убежден в истинности этого утверждения.
Следовательно, по первому условию он должен быть убежден, что не убежден в истинности того утверждения, о котором идет речь.
- Но довольно, - прервал себя Шалтай-Болтай, - а то я все подсказываю тебе да подсказываю! Назову-ка я лучше остальные условия, чтобы ты смогла найти ключ ко всей загадке зазеркальных логиков!
Условие 3. Относительно истинного утверждения (истинность которого достоверно известна) зазеркальный логик заявляет, что убежден в его истинности.
Условие 4. Если зазеркальный логик в чем-то убежден, то он не может быть также убежден в противоположном.
Условие 5. Относительно любого утверждения зазеркальный логик либо убежден в его истинности, либо убежден в истинности противоположного утверждения.
- Это самый полный перечень условий, - с гордостью заметил Шалтай-Болтай. - Из них ты сможешь вывести, какие утверждения зазеркальный логик считает истинными и какие ложными. А теперь я хочу задать тебе несколько вопросов, чтобы проверить, все ли ты поняла.
Вопрос первый. Предположим, зазеркальный логик убежден, что Черный Король спит. Убежден ли зазеркальный логик, что ты снишься Черному Королю или нет?
- Как я могу это узнать? - возмутилась Алиса.
- Очень даже просто, - ответил Шалтай-Болтай. - Ответ следует непосредственно из условий, но как, я скажу тебе потом. А пока мне хотелось бы задать тебе еще один вопрос.
Вопрос второй. Предположим, зазеркальный логик убежден, что либо Черный Король, либо Черная Королева спит.
Следует ли из этого, что он убежден, что Черная Королева спит?
- А почему это должно следовать? - спросила Алиса.
- Это действительно следует, - сказал Шалтай-Болтай, - а вот почему, ты узнаешь потом. А пока попытайся ответить на такой вопрос.
Вопрос третий. Предположим, зазеркальный логик убежден, что Черный Король спит. Обязательно ли он убежден, что Черная Королева спит?
- А почему он должен быть убежден в этом? - вне себя от удивления спросила Алиса.
- Хороший вопрос, - одобрительно заметил Шалтай-Болтай, - мы еще вернемся к нему. А пока попробуй ответить на следующий вопрос.
Вопрос четвертый. Предположим, зазеркальный логик убежден, что Черный Король спит. Обязательно ли он убежден, что Черный Король и Черная Королева оба спят?
- А разве это не тот же самый вопрос, который вы мне уже задавали? - спросила Алиса. - Если зазеркальный логик убежден, что Черный Король спит, то разве не одно и то же быть убежденным, что Черная Королева спит или что Черный Король и Черная Королева оба спят?
- Совсем не одно и то же, - решительно возразил Шалтай-Болтай.
- Но почему? - удивилась Алиса.
- Об этом я расскажу тебе потом, - пообещал Шалтай-Болтай, - а пока попытайся ответить на такой вопрос.
Вопрос пятый. Предположим, зазеркальный логик убежден, что Черный Король и Черная Королева оба спят.
Убежден ли он, что Черный Король спит?
- Думаю, что убежден, - ответила Алиса.
- А вот и нет! - заявил Шалтай-Болтай. - Попробуй-ка лучше ответить на другой вопрос.
Вопрос шестой. Предположим, зазеркальный логик убежден, что Черный Король и Черная Королева либо оба спят, либо оба бодрствуют. Следует ли отсюда, что зазеркальный логик убежден, что один из августейших супругов спит, а другой бодрствует?
- Конечно, не следует! - сказала Алиса.
- А вот и следует! - заметил Шалтай-Болтай. - Почему, я объясню тебе потом, а пока вот тебе еще один вопрос.
Вопрос седьмой. Предположим, зазеркальный логик убежден, что Лев не находится в лесу, если с ним нет Единорога. Убежден ли он, что Лев находится в лесу или нет?
- Не знаю даже, как подступиться к такой задаче, - призналась Алиса.
- Конечно, не знаешь, - презрительно сказал Шалтай-Болтай, - а все потому, что у тебя нет ключа к разгадке. Может быть, сумеешь ответить на другой вопрос?
Вопрос восьмой. Предположим, зазеркальныи логик убежден, что Бармаглот высказал за всю свою жизнь по крайней мере одно истинное утверждение. Следует ли из этого, что он убежден в истинности каждого утверждения, которое когда-либо высказал Бармаглот?
- Почему такой вывод должен следовать? - спросила Алиса. - Это просто глупо!
- А между тем он следует, - сказал Шалтай-Болтай.
- Мне кажется, впрочем, что я слишком много тебе подсказываю! Не сможешь ли ты ответить на такой вопрос?
Вопрос девятый. Предположим, зазеркальныи логик убежден, что у всех грифонов есть крылья. Следует ли отсюда, что грифоны существуют?
- У меня голова идет кругом от всего этого! - чуть не плача, воскликнула Алиса. - Уж теперь-то я заведомо не имею ни малейшего представления о том, что такое зазеркальная логика!
- Тогда попробуй ответить еще на один вопрос, - предложил Шалтай-Болтай.
Вопрос десятый. Предположим, зазеркальный логик убежден, что Алиса не достигнет восьмой горизонтали, не став королевой. Предположим, он также убежден, что Алиса достигнет восьмой горизонтали. Убежден ли он, что Алиса станет королевой или не убежден?
- Думаю, что убежден, - ответила Алиса. - А как на самом деле?
- Видишь ли, - засмеялся Шалтай-Болтай, - мой последний вопрос был с подвохом. Это немного "нечестный"
вопрос, поэтому я и не ждал, что ты сможешь ответить на него.
- Он более нечестен, чем остальные ваши вопросы? - поинтересовалась Алиса.
- Безусловно, - заверил ее Шалтай-Болтай. - Все остальные вопросы абсолютно честные.
- А мне кажется, что они все с подвохом, - призналась Алиса. - Я все еще не понимаю зазеркальную логику!
Если вы, дорогой читатель, дойдя до этого места, признаетесь, что зазеркальная логика остается для вас, как для Алисы, по-прежнему за семью печатями, то я вряд ли смогу поставить вам это в укор. Тем не менее ключ ко всей загадочной истории до смешного прост. Вместо того чтобы приводить решения в конце книги, я предпочел изложить их на этот раз в форме диалога.
Что объяснил Шалтай-Болтай - А теперь самое время попытаться найти ключ к разгадке всех историй, - сказал Шалтай-Болтай.
- Не имею ни малейшего представления, с чего начать!
- Начнем хотя бы с вопроса, может ли зазеркальный логик быть убежденным в истинности истинного утверждения, - предложил Шалтай-Болтай.
- Как же иначе? - удивилась Алиса.
- А ты помнишь, что я тебе доказывал? - спросил Шалтай-Болтай. Всякий раз, когда зазеркальный логик в чем-то уверен, он также уверен, что не уверен в этом.
- Еще как помню! - сказала Алиса. - Только забыла, как вы это доказывали. Не могли бы вы повторить доказательство еще раз?
- Сколько угодно! - охотно согласился ШалтайБолтай.
- Возьмем любое утверждение, в истинности которого убежден зазеркальный логик. Так как он убежден в истинности этого утверждения, то (по условию 1) он заявляет, что оно истинно. Следовательно (по условию 2), он заявляет также, что не убежден в истинности этого утверждения. В свою очередь (по условию 1) отсюда следует, что он убежден, что не убежден в истинности этого утверждения.
- Вот теперь я вспомнила! - обрадовалась Алиса.
- Для большей уверенности, что ты больше не забудешь его, попрошу тебя записать мое утверждение в записную книжку под заглавием "Утверждение 1". Так Алиса и сделала. Вот что она записала:
"Утверждение 1. Всякий раз, когда зазеркальный логик убежден в чем-нибудь, он убежден, что не убежден в этом".
- Но это еще не все, - сказал Шалтай-Болтай. - Необходимо также иметь в виду, что если дано любое истинное утверждение, то зазеркальный логик убежден, что он убежден в его истинности.
- Почему? - спросила Алиса.
- Это легко доказать! - ответил Шалтай-Болтай. - Возьмем любое истинное утверждение. По условию 3 зазеркальный логик заявляет, что убежден в его истинности.
Поскольку он заявляет, что убежден в истинности истинного утверждения, то он (по условию 1) честен. Следовательно, он убежден, что убежден в истинности истинного утверждения.
- Понятно! - сказала Алиса.
- Запиши-ка себе все это в записную книжку и озаглавь "Утверждение 2", - предложил ШалтайБолтай. И Алиса записала:
"Утверждение 2. Если дано любое истинное утверждение, то зазеркальный логик убежден, что он убежден в истинности этого утверждения".
- Теперь ты понимаешь, - спросил ШалтайБолтай, - почему зазеркальный логик не может быть убежденным в истинности истинного утверждения?
- Не совсем, - призналась Алиса.
- Такое заключение нетрудно вывести из утверждения 1, утверждения 2 и условия 4, - сказал ШалтайБолтай. - Возьмем любое утверждение, в истинности которого убежден зазеркальный логик. По утверждению 1 он убежден, что не убежден в истинности этого утверждения. Но он не может быть одновременно убежденным, что он убежден в истинности этого утверждения (так как по условию 4 он не может быть убежденным в чем-то и одновременно быть убежденным в противоположном). А так как он не убежден, что убежден в истинности утверждения, то оно не может быть истинным, потому что если бы оно было истинным, то по утверждению 2 зазеркальный логик был бы убежден, что убежден в его истинности. Но в действительности он не убежден, что убежден в истинности рассматриваемого утверждения.
Следовательно, оно не может быть истинным. Итак, ты видишь, что зазеркальный логик никогда не бывает убежден в истинности любого истинного утверждения. Все утверждения, в истинности которых убежден зазеркальный логик, ложны.
Алисе пришлось изрядно поразмыслить над сказанным.
- Весьма сложное доказательство! - наконец сказала она.
- Ничего, со временем привыкнешь! - заверил ее Шалтай-Болтай.
Алиса поразмыслила еще немного.
- Мне хотелось бы спросить, - обратилась она к Шалтаю-Болтаю, обязательно ли зазеркальный логик должен быть убежден в истинности всех ложных утверждений или просто он убежден в истинности только ложных утверждений?
- Хороший вопрос, дитя мое! - одобрил ШалтайБолтай.
- И ответ на него хороший: "Да". Возьмем любое ложное утверждение. По условию 5 зазеркальный логик либо убежден в истинности этого утверждения, либо убежден в истинности противоположного утверждения. Но в истинности противоположного утверждения он не может быть убежден, так как оно истинно. Следовательно, зазеркальный логик убежден в истинности ложного утверждения.
- Как необычно!-воскликнула Алиса. - Подумать только! Зазеркальный логик убежден в истинности всех ложных и не убежден в истинности истинных утверждений!
- Совершенно верно! - сказал Шалтай-Болтай. - И это самое прекрасное в зазеркальной логике! Не могу не отметить еще одну весьма интересную ее особенность, - добавил он. - Всякий, кто убежден в истинности всех ложных и не убежден в истинности истинных утверждений и честно выражает свои убеждения, повторяю, всякий, кто придерживается таких убеждений, удовлетворяет пяти основным условиям, характеризующим зазеркальных логиков.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Шалтай-Болтай тотчас же извлек карандаш и записную книжку и принялся что-то писать. Наконец он покачал головой и сказал:
- Данных недостаточно! Вот если бы вы могли припомнить, о ком спрашивал Траляля - о втором или о третьем подсудимом, то я, возможно, сумел бы решить задачу, хотя и не уверен, что мне это удалось бы.
- К счастью, - продолжал Белый Рыцарь, - в то время я еще помнил свой разговор с Траляля и сообщил Шалтаю-Болтаю, о котором из двоих подсудимых тот спрашивал.
Я не сказал Шалтаю-Болтаю, что именно сказал тот подсудимый, поскольку его показания уже вылетели у меня из памяти, но указал, чьи показания интересовали Траляля. И тогда Шалтай-Болтай смог решить задачу.
- Вот теперь, - завершил свой рассказ Белый Рыцарь, - ты уже знаешь все необходимое для того, чтобы решить задачу.
- И Алиса действительно справилась с такой задачей?
- спросила в изумлении Алиса.
- Конечно, - ответил я, - и ты справишься. Нужно только как следует сосредоточиться! Кто из троих подсудимых виновен?
Глава 10
Зазеркальная логика
Льюис Кэрролл очень мало рассказал нам о другом Белом Рыцаре. Мы знаем лишь, что второй Белый Рыцарь однажды попытался надеть шлем первого Белого Рыцаря, что было очень неосторожно с его стороны, так как внутри шлема, когда он попытался примерить его, была голова первого Белого Рыцаря!
Когда Алиса повстречала второго Белого Рыцаря, голова у нее пошла кругом! Еще бы! Ведь он высказывал так много ложных утверждений!
"Может быть, он один из тех, кто всегда лжет? - подумала Алиса. Нет, не может быть!" - отвергла она такое предположение. Интуиция подсказывала ей, что второй Белый Рыцарь был абсолютно искренним человеком. Но если бы вы знали, что он говорил! Прежде всего он сказал Алисе, что она Единорог!
- Вы действительно считаете, что я Единорог? - спросила Алиса.
- Нет, - ответил второй Белый Рыцарь. Затем он утверждал, будто Белый Король спит и Алиса ему снится, но тотчас же заявил, что Белому Королю ничего не снится. Затем он высказал два противоположных (или, как говорят логики, контрадикторных) утверждения, не помню, о чем именно, и сначала заявил, что одно из них истинно, а потом стал настаивать, что другое ложно, после чего сказал, что оба утверждения истинны.
Сначала Алиса думала, что второй Белый Рыцарь просто противоречит самому себе, но, как она ни старалась, ей никак не удалось ни разу поймать его на прямом противоречии, то есть на утверждении, о котором бы он сначала сказал, что оно истинно, а потом, что оно ложно, хотя о том же утверждении он мог сказать, что оно одновременно и истинно, и ложно! Не удалось ей добиться от второго Белого Рыцаря и отдельных высказываний о том, что одно утверждение истинно, а другое ложно.
После нескольких часов непрерывных вопросов у Алисы накопилось огромное количество данных, которые она аккуратно заносила в свою записную книжку. Прихватив ее с собой, Алиса отправилась к Шалтаю-Болтаю.
- Все ясно! - сказал Шалтай-Болтай, проглядев Алисины заметки. Все абсолютно ясно!
- Что вы хотите этим сказать? - спросила Алиса. - Что этот Белый Рыцарь лжет?
- Белые Рыцари никогда не лгут! - ответил Шалтай-Болтай.
- Тогда я не понимаю! - чуть не заплакала Алиса.
- Ничего не понимаю!
- Разумеется! - презрительно процедил Шалтай-Болтай. - Ты ничего не понимаешь в зазеркальной логике!
- А что такое зазеркальная логика?
- Разумеется, это логика, которой пользуются зазеркальные логики, последовал ответ.
- А кто такие зазеркальные логики? - удивилась Алиса.
- Разумеется, те, кто пользуется зазеркальной логикой, - ответил Шалтай-Болтай. - Уж об этом ты могла бы догадаться!
Алиса немного подумала. Почему-то ей показалось, что от таких объяснений не так уж много толку!
- Видишь ли, - продолжал Шалтай-Болтай, - есть здесь кое-кто, кого принято называть зазеркальными логиками. Их утверждения могут показаться тебе несколько необычными, пока ты не подберешь ключ, что, кстати сказать, совсем нетрудно. А коль скоро ключ найден, все, что говорят зазеркальные логики, становится простым и понятным.
- А что это за ключ? - спросила Алиса, сгорая от любопытства.
- Так я тебе и сказал! Впрочем, могу кое-что подсказать. Я изложу тебе пять основных условий, которым должен удовлетворять зазеркальный логик, а ты сможешь найти ключ к разгадке.
Условие 1. Зазеркальный логик абсолютно честен. Он высказывает те и только те утверждения, в истинности которых убежден.
Условие 2. Всякий раз, когда зазеркальный логик заявляет, что некоторое утверждение истинно, он также заявляет, что не убежден в истинности этого утверждения.
- Минуточку, - перебила Шалтая-Болтая Алиса. - Вам не кажется, что вы противоречите самому себе? По первому условию зазеркальный логик всегда говорит только правду. Следовательно, если он говорит, что какое-то утверждение истинно, то должен быть действительно убежден, что оно истинно. Как же в таком случае, не прибегая ко лжи, он может заявить, что не убежден в истинности этого утверждения?
- Хороший вопрос, - одобрительно заметил Шалтай-Болтай. - Дело в том, что я никогда не говорил, что зазеркальные логики точны в своих высказываниях.
Если зазеркальный логик убежден в чем-то, то это вовсе не означает, ни что он знает, что убежден, ни даже что он обязательно убежден, что убежден в этом чем-то. Более того, зазеркальный логик может быть ошибочно убежден, что он в чем-то не убежден.
- Вы хотите сказать, - заговорила в крайнем удивлении Алиса, что кто-то может быть в чем-то убежден и вместе с тем убежден в том, что он не убежден в этом чем-то?
- Если этот кто-то - зазеркальный логик, то да, - ответил Шалтай-Болтай. - С зазеркальными логиками такое происходит непрестанно. Это непосредственно следует из первых двух условий.
- Как так? - удивилась Алиса.
- А вот как, - пояснил Шалтай-Болтай. - Предположим, зазеркальный логик убежден, что утверждение истинно. Тогда по первому условию он заявляет, что утверждение истинно. Затем по второму условию он заявляет, что не убежден в истинности этого утверждения.
Следовательно, по первому условию он должен быть убежден, что не убежден в истинности того утверждения, о котором идет речь.
- Но довольно, - прервал себя Шалтай-Болтай, - а то я все подсказываю тебе да подсказываю! Назову-ка я лучше остальные условия, чтобы ты смогла найти ключ ко всей загадке зазеркальных логиков!
Условие 3. Относительно истинного утверждения (истинность которого достоверно известна) зазеркальный логик заявляет, что убежден в его истинности.
Условие 4. Если зазеркальный логик в чем-то убежден, то он не может быть также убежден в противоположном.
Условие 5. Относительно любого утверждения зазеркальный логик либо убежден в его истинности, либо убежден в истинности противоположного утверждения.
- Это самый полный перечень условий, - с гордостью заметил Шалтай-Болтай. - Из них ты сможешь вывести, какие утверждения зазеркальный логик считает истинными и какие ложными. А теперь я хочу задать тебе несколько вопросов, чтобы проверить, все ли ты поняла.
Вопрос первый. Предположим, зазеркальный логик убежден, что Черный Король спит. Убежден ли зазеркальный логик, что ты снишься Черному Королю или нет?
- Как я могу это узнать? - возмутилась Алиса.
- Очень даже просто, - ответил Шалтай-Болтай. - Ответ следует непосредственно из условий, но как, я скажу тебе потом. А пока мне хотелось бы задать тебе еще один вопрос.
Вопрос второй. Предположим, зазеркальный логик убежден, что либо Черный Король, либо Черная Королева спит.
Следует ли из этого, что он убежден, что Черная Королева спит?
- А почему это должно следовать? - спросила Алиса.
- Это действительно следует, - сказал Шалтай-Болтай, - а вот почему, ты узнаешь потом. А пока попытайся ответить на такой вопрос.
Вопрос третий. Предположим, зазеркальный логик убежден, что Черный Король спит. Обязательно ли он убежден, что Черная Королева спит?
- А почему он должен быть убежден в этом? - вне себя от удивления спросила Алиса.
- Хороший вопрос, - одобрительно заметил Шалтай-Болтай, - мы еще вернемся к нему. А пока попробуй ответить на следующий вопрос.
Вопрос четвертый. Предположим, зазеркальный логик убежден, что Черный Король спит. Обязательно ли он убежден, что Черный Король и Черная Королева оба спят?
- А разве это не тот же самый вопрос, который вы мне уже задавали? - спросила Алиса. - Если зазеркальный логик убежден, что Черный Король спит, то разве не одно и то же быть убежденным, что Черная Королева спит или что Черный Король и Черная Королева оба спят?
- Совсем не одно и то же, - решительно возразил Шалтай-Болтай.
- Но почему? - удивилась Алиса.
- Об этом я расскажу тебе потом, - пообещал Шалтай-Болтай, - а пока попытайся ответить на такой вопрос.
Вопрос пятый. Предположим, зазеркальный логик убежден, что Черный Король и Черная Королева оба спят.
Убежден ли он, что Черный Король спит?
- Думаю, что убежден, - ответила Алиса.
- А вот и нет! - заявил Шалтай-Болтай. - Попробуй-ка лучше ответить на другой вопрос.
Вопрос шестой. Предположим, зазеркальный логик убежден, что Черный Король и Черная Королева либо оба спят, либо оба бодрствуют. Следует ли отсюда, что зазеркальный логик убежден, что один из августейших супругов спит, а другой бодрствует?
- Конечно, не следует! - сказала Алиса.
- А вот и следует! - заметил Шалтай-Болтай. - Почему, я объясню тебе потом, а пока вот тебе еще один вопрос.
Вопрос седьмой. Предположим, зазеркальный логик убежден, что Лев не находится в лесу, если с ним нет Единорога. Убежден ли он, что Лев находится в лесу или нет?
- Не знаю даже, как подступиться к такой задаче, - призналась Алиса.
- Конечно, не знаешь, - презрительно сказал Шалтай-Болтай, - а все потому, что у тебя нет ключа к разгадке. Может быть, сумеешь ответить на другой вопрос?
Вопрос восьмой. Предположим, зазеркальныи логик убежден, что Бармаглот высказал за всю свою жизнь по крайней мере одно истинное утверждение. Следует ли из этого, что он убежден в истинности каждого утверждения, которое когда-либо высказал Бармаглот?
- Почему такой вывод должен следовать? - спросила Алиса. - Это просто глупо!
- А между тем он следует, - сказал Шалтай-Болтай.
- Мне кажется, впрочем, что я слишком много тебе подсказываю! Не сможешь ли ты ответить на такой вопрос?
Вопрос девятый. Предположим, зазеркальныи логик убежден, что у всех грифонов есть крылья. Следует ли отсюда, что грифоны существуют?
- У меня голова идет кругом от всего этого! - чуть не плача, воскликнула Алиса. - Уж теперь-то я заведомо не имею ни малейшего представления о том, что такое зазеркальная логика!
- Тогда попробуй ответить еще на один вопрос, - предложил Шалтай-Болтай.
Вопрос десятый. Предположим, зазеркальный логик убежден, что Алиса не достигнет восьмой горизонтали, не став королевой. Предположим, он также убежден, что Алиса достигнет восьмой горизонтали. Убежден ли он, что Алиса станет королевой или не убежден?
- Думаю, что убежден, - ответила Алиса. - А как на самом деле?
- Видишь ли, - засмеялся Шалтай-Болтай, - мой последний вопрос был с подвохом. Это немного "нечестный"
вопрос, поэтому я и не ждал, что ты сможешь ответить на него.
- Он более нечестен, чем остальные ваши вопросы? - поинтересовалась Алиса.
- Безусловно, - заверил ее Шалтай-Болтай. - Все остальные вопросы абсолютно честные.
- А мне кажется, что они все с подвохом, - призналась Алиса. - Я все еще не понимаю зазеркальную логику!
Если вы, дорогой читатель, дойдя до этого места, признаетесь, что зазеркальная логика остается для вас, как для Алисы, по-прежнему за семью печатями, то я вряд ли смогу поставить вам это в укор. Тем не менее ключ ко всей загадочной истории до смешного прост. Вместо того чтобы приводить решения в конце книги, я предпочел изложить их на этот раз в форме диалога.
Что объяснил Шалтай-Болтай - А теперь самое время попытаться найти ключ к разгадке всех историй, - сказал Шалтай-Болтай.
- Не имею ни малейшего представления, с чего начать!
- Начнем хотя бы с вопроса, может ли зазеркальный логик быть убежденным в истинности истинного утверждения, - предложил Шалтай-Болтай.
- Как же иначе? - удивилась Алиса.
- А ты помнишь, что я тебе доказывал? - спросил Шалтай-Болтай. Всякий раз, когда зазеркальный логик в чем-то уверен, он также уверен, что не уверен в этом.
- Еще как помню! - сказала Алиса. - Только забыла, как вы это доказывали. Не могли бы вы повторить доказательство еще раз?
- Сколько угодно! - охотно согласился ШалтайБолтай.
- Возьмем любое утверждение, в истинности которого убежден зазеркальный логик. Так как он убежден в истинности этого утверждения, то (по условию 1) он заявляет, что оно истинно. Следовательно (по условию 2), он заявляет также, что не убежден в истинности этого утверждения. В свою очередь (по условию 1) отсюда следует, что он убежден, что не убежден в истинности этого утверждения.
- Вот теперь я вспомнила! - обрадовалась Алиса.
- Для большей уверенности, что ты больше не забудешь его, попрошу тебя записать мое утверждение в записную книжку под заглавием "Утверждение 1". Так Алиса и сделала. Вот что она записала:
"Утверждение 1. Всякий раз, когда зазеркальный логик убежден в чем-нибудь, он убежден, что не убежден в этом".
- Но это еще не все, - сказал Шалтай-Болтай. - Необходимо также иметь в виду, что если дано любое истинное утверждение, то зазеркальный логик убежден, что он убежден в его истинности.
- Почему? - спросила Алиса.
- Это легко доказать! - ответил Шалтай-Болтай. - Возьмем любое истинное утверждение. По условию 3 зазеркальный логик заявляет, что убежден в его истинности.
Поскольку он заявляет, что убежден в истинности истинного утверждения, то он (по условию 1) честен. Следовательно, он убежден, что убежден в истинности истинного утверждения.
- Понятно! - сказала Алиса.
- Запиши-ка себе все это в записную книжку и озаглавь "Утверждение 2", - предложил ШалтайБолтай. И Алиса записала:
"Утверждение 2. Если дано любое истинное утверждение, то зазеркальный логик убежден, что он убежден в истинности этого утверждения".
- Теперь ты понимаешь, - спросил ШалтайБолтай, - почему зазеркальный логик не может быть убежденным в истинности истинного утверждения?
- Не совсем, - призналась Алиса.
- Такое заключение нетрудно вывести из утверждения 1, утверждения 2 и условия 4, - сказал ШалтайБолтай. - Возьмем любое утверждение, в истинности которого убежден зазеркальный логик. По утверждению 1 он убежден, что не убежден в истинности этого утверждения. Но он не может быть одновременно убежденным, что он убежден в истинности этого утверждения (так как по условию 4 он не может быть убежденным в чем-то и одновременно быть убежденным в противоположном). А так как он не убежден, что убежден в истинности утверждения, то оно не может быть истинным, потому что если бы оно было истинным, то по утверждению 2 зазеркальный логик был бы убежден, что убежден в его истинности. Но в действительности он не убежден, что убежден в истинности рассматриваемого утверждения.
Следовательно, оно не может быть истинным. Итак, ты видишь, что зазеркальный логик никогда не бывает убежден в истинности любого истинного утверждения. Все утверждения, в истинности которых убежден зазеркальный логик, ложны.
Алисе пришлось изрядно поразмыслить над сказанным.
- Весьма сложное доказательство! - наконец сказала она.
- Ничего, со временем привыкнешь! - заверил ее Шалтай-Болтай.
Алиса поразмыслила еще немного.
- Мне хотелось бы спросить, - обратилась она к Шалтаю-Болтаю, обязательно ли зазеркальный логик должен быть убежден в истинности всех ложных утверждений или просто он убежден в истинности только ложных утверждений?
- Хороший вопрос, дитя мое! - одобрил ШалтайБолтай.
- И ответ на него хороший: "Да". Возьмем любое ложное утверждение. По условию 5 зазеркальный логик либо убежден в истинности этого утверждения, либо убежден в истинности противоположного утверждения. Но в истинности противоположного утверждения он не может быть убежден, так как оно истинно. Следовательно, зазеркальный логик убежден в истинности ложного утверждения.
- Как необычно!-воскликнула Алиса. - Подумать только! Зазеркальный логик убежден в истинности всех ложных и не убежден в истинности истинных утверждений!
- Совершенно верно! - сказал Шалтай-Болтай. - И это самое прекрасное в зазеркальной логике! Не могу не отметить еще одну весьма интересную ее особенность, - добавил он. - Всякий, кто убежден в истинности всех ложных и не убежден в истинности истинных утверждений и честно выражает свои убеждения, повторяю, всякий, кто придерживается таких убеждений, удовлетворяет пяти основным условиям, характеризующим зазеркальных логиков.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18