это - государство, все граждане которого составляют правовое и
политическое целое.
Такое столкновение мы видим в трагедиях Эсхила "Ифигения в Авлиде",
"Агамемнон" и "Эвмениды" (VI в. до н.э.). Микенский царь Агамемнон приносит
в жертву богам свою дочь Ифигению ради успеха греческого войска в походе
против троянцев, тем самым подчиняя всеобщим интересам жизнь своего
собственного рода. Жена Агамемнона, Клитемнестра, защищает родовую
нравственность и убивает мужа, возвратившегося из похода победителем. Сын
Агамемнона и Клитемнестры, Орест, чтит свою мать, но по закону он должен
защищать права отца. И Орест мстит за смерть отца, совершая убийство матери.
Аналогичный конфликт изображает Софокл в трагедии "Антигона" (V в. до
н.э.). Брат Антигоны, Полиник, совершил тяжкое преступление против своего
народа, пойдя войной на родной город Фивы. Глава государства, Креонт,
решает предать поруганию тело убитого Полиника: он угрожает смертной казнью
тому, кто посмеет предать земле тело преступника. Антигона предпочитает
пойти на смерть, но схоронить брата и тем снять с него бесчестье: родовые
узы для нее священны.
Здесь еще не обсуждается дилемма "отецЧучитель", о которой мы говорили
выше. Она достигает своей максимальной остроты несколько позже, в эпоху так
называемого греческого Просвещения (V в. до н.э.), когда фигура
учителя-софиста приобретает важное значение в социальной и политической
жизни греческих полисов. Трагическая кульминация этой дилеммы - смерть
афинского философа Сократа, о которой у нас пойдет речь ниже.
Подытоживая сказанное, мы можем сделать вывод, что философия с самого
начала выполняет как мировоззренческую, так и теоретическую функцию. Она
возникает в момент кризиса традиционного уклада жизни и традиционных
ценностей. С одной стороны, философия выступает как критика традиции,
углубляющая сомнение в значимости устоявшихся веками форм жизни и
верований, а с другой Ч пытается найти фундамент, на котором можно было бы
возвести новое здание, новый тип культуры. Фундамент же должен быть врыт
как можно глубже; поэтому греческая философия и ставит вопрос всех
вопросов: что такое бытие? Решая теоретическую проблему, она тем самым ищет
пути преодоления мировоззренческого кризиса.
Спецификой греческой философии, особенно в начальный период ее развития,
является стремление понять сущность природы, космоса, мира в целом. Первые
греческие философы - Фалес, Анаксимандр, Анаксимен, несколько позднее -
пифагорейцы, Гераклит, Эмпедокл и другие - размышляют о происхождении мира,
его строении, пытаются постигнуть его начала и причины. Не случайно их так
и называли - "физиками", от греческого слова "фюсис" - природа.
Направленность интереса ранних греческих мыслителей определялась в первую
очередь характером древнегреческой мифологии, традиционных языческих
верований и культов. А греческая мифология была религией природы, и одним
из важнейших вопросов в ней был вопрос о происхождении мира. Существенное
различие между мифологией и философией состояло, однако, в том, что миф
повествовал, кто родил все сущее, а философ спрашивал, из чего оно
произошло. Гомер в "Илиаде" рассказывает о рождении богов от Океана и
Тефиды; в других вариантах мифа у истоков всего сущего стоят Царица Ночь,
Мать Земля, подземная река Стикс. В "Теогонии" Гесиода читаем, что раньше
всего возник Хаос, затем Земля, Тартар (подземное царство) и Эрос -
любовное влечение. Хаос породил Ночь и Мрак, от их любовного союза возникли
День и Эфир. Нет надобности детально входить в содержание теогонических
мифов, чтобы видеть, что вопрос о возникновении мира - традиционный для
древнегреческого сознания. Традиционно и его решение: первое начало
мыслитсъ как Хаос (бездна), Мрак, Ночь, первобытный океан и т.д.
Поэтому не удивительно, что и ранние греческие философы ищут некое
первоначало, фюсис, из которого все произошло: у Фалеса это - вода, у
Анаксимена - воздух, у Гераклита - огонь, у Анаксимандра - "беспредельное",
которое, судя по всему, мыслилось и как "стихия", и как некоторое
первовещество.
Как видим, философское мышление по возможности ищет рациональные (или
представляющиеся таковыми) объяснения происхождения мира и его сущности,
отказываясь (хотя в начале и не полностью) от характерных для мифологии
персонификаций, а тем самым от образа "порождения". На место "порождения"
становится "причина", которая постепенно, ко времени Аристотеля,
расщепляется на четыре разных вида причин. У Гесиода говорится просто: Хаос
родил Мрак, Земля и Небо родили богов и т.д. Аристотель же расщепляет этот
акт, вводя четыре причины любой вещи: 1) кто родил? - действующая причина
(отец); 2) зачем родил? - целевая причина; 3) из чего родил? - материальная
причина (мать); 4) по образцу чего родил? - формальная причина (отцовский
род, генетический код отца).
Однако рационализация вступает в свои права постепенно: первоначально
природа понимается как начало живое и творящее; само слово "фюсис"
происходит от глагола "juw", что значит "рождать", "взращивать". Еще у
Фалеса все полно богов, демонов и душ; мир - живое целое, и души в нем - не
что-то внешнее, а его органические порождения. Тут опять-таки видны следы
языческой мифологии с ее бесчисленными духами гор и полей, лесов, рек и
морей, источников и ручьев, которые, с одной стороны, отождествлялись с
силами природы, а с другой Ч персонифицировались и представлялись в виде
русалок, леших, демонов, оборотней и т.д., стоящих над природой и
управляющих ею. Само "первоначало" - вода, воздух, огонь - представляло
собой не просто вещество, как его понимает современная физика или химия, а
нечто такое, из чего возникает живая природа и все населяющие ее
одушевленные существа. Поэтому вода и огонь здесь - это своего рода
метафоры, они имеют и прямое, и переносное, символическое значение. Так,
например, для греческих натурфилософов характерен вопрос: чем мы мыслим -
кровью, воздухом или огнем? Разумеется, говоря о том, что мы мыслим,
допустим, огнем, натурфилософ хотел показать, что из всех природных стихий
огонь - самая легкая и подвижная, "живая", и в этом его сходство с
мышлением: ведь наша мысль не знает пространственных границ и в мгновение
может достигать самых отдаленных предметов. Но ведь это - метафора,
аналогия, а не логическое понятие. А всякая метафора фиксирует только одну
сторону явления, и потому любое явление можно описать с помощью
бесчисленного множества метафор, поскольку оно имеет бесчисленное множество
сторон. Далее, метафорическое мышление не может быть доказывающим.
Натурфилософ может скорее показать, чем доказать. Так, когда Фалес говорил,
что все из воды, он мог в качестве аргумента лишь указать на живые
существа, которые не могут существовать без влаги.
Уже у первых "физиков" философия мыслится как наука о причинах и началах
всего сущего. И хотя в качестве начала каждый из них предлагает свое,
однако само требование восходить к началам и из них объяснять устройство
космоса, человека, познания - это требование в основном сохраняется у
большинства греческих мыслителей.
В этом подходе сказалась специфика древнегреческой философии, ее интерес к
проблемам онтологии. Ее центральный мотив - выяснить, что действительно
есть, т.е. пребывает неизменным во всех своих изменчивых формах, а что
только кажется существующим.
Освобождение от метафоричности мышления, характерной для ранних
натурфилософов, предполагало переход от знания, обремененного чувственными
образами, к знанию, оперирующему понятиями. Этот переход осуществляется
постепенно. Один из этапов здесь - учение пифагорейцев, последователей
Пифагора, жившего во второй половине VI-V в. до н.э.
Первоначальное пифагорейство возникло как религиозная община, созданная ее
основателем - Пифагором - с целью спасения души; однако в отличие от других
религиозных общин-орфиков, позднее - христиан, пифагорейское братство одно
из важнейших средств спасения - наряду с аскетической и ритуальной
практикой - видело в научно-теоретической деятельности. В результате
занятие науками, особенно математикой, получило нравственно-религиозный
ореол, какого оно ранее не имело ни на Древнем Востоке, ни в самой Элладе.
Видимо, это обстоятельство сыграло немаловажную роль в становлении
математики как теоретической науки, а такой она стала именно в Древней
Греции, и значение пифагорейской школы в этом процессе становления
греческой математики трудно переоценить.


Глава 2

ПИФАГОРЕИЗМ И ИСТОКИ ДРЕВНЕГРЕЧЕСКОЙ МАТЕМАТИКИ
Отличие древнегреческой математики от математики Древнего Востока
Предпосылки для превращения математики в теоретическую науку, какой мы
находим ее в "Началах" Евклида, впервые возникли в Древней Греции. Особенно
важную роль в формировании древнегреческой математики сыграла пифагорейская
школа. Однако может возникнуть вопрос: почему, исследуя, когда и как
возникла математика как наука, мы обращаемся к древнегреческим мыслителям,
в то время как уже до греков, в Вавилоне и Египте, существовала математика
и, стало быть, здесь и следует искать ее истоки?
Действительно, математика возникла на Древнем Востоке, по-видимому, задолго
до греков. Но особенностью древнеегипетской и вавилонской математики было
отсутствие в ней (за исключением отдельных элементов) единой системы
доказательств, которая впервые появляется именно у греков. "Большое
различие между греческой и древневосточной наукой, - пишет венгерский
историк науки Арпад Сабо, - состоит именно в том, что греческая математика
представляет собой систему знаний, искусно построенную с помощью
дедуктивного метода, в то время как древневосточные тексты математического
содержания содержат только интересные инструкции, так сказать, рецепты и
зачастую примеры того, как надо решать определенную задачу".
Древневосточная математика представляет собой совокупность определенных
правил вычисления; то обстоятельство, что древние египтяне и вавилоняне
могли осуществлять весьма сложные вычислительные операции, ничего не меняет
в общем характере их математики.
Эти особенности древневосточной математики объясняются тем, что она носила
практически-прикладной характер; с помощью арифметики египетские писцы
решали задачи "о расчете заработной платы, о хлебе или пиве и т.д.", а с
помощью геометрии вычисляли площади или объемы. "...В обоих случаях
вычислитель должен был знать правила, по которым следовало производить
вычисление. Но что касается систематического вывода правил для этих
расчетов, то о них нет речи, да и не может идти, ибо часто (как, например,
при определении площади круга) употребляются только приближенные формулы".
Поскольку древневосточная математика носила практический характер, она не
проводила существенного различия между вычислением количества зерна, числа
кирпичей или размера площади, т.е. между решением задач, которые
впоследствии разделялись бы на арифметические и геометрические.
"Центральной задачей математики на ранней стадии ее развития, - пишет
Нейгебауэр, - является численное нахождение решения, удовлетворяющего
некоторым условиям. На этом уровне нет существенного различия между
делением суммы денег согласно определенным правилам или делением поля
данного размера на, скажем, участки равной площади. Во всех случаях нужно
соблюдать внешние условия, в одном случае условия наследования, в другом -
правила для определения площади, или отношения между мерами, или
установившиеся нормы оплаты работников. Математическая ценность задачи
состоит в ее арифметическом решении, "геометрия" является лишь одним из
многих объектов практической жизни, к которым можно применить
арифметические методы". В этом отношении характерны специальные тексты,
предназначенные для писцов, занимавшихся решением математических задач.
Писцы должны были знать все численные "коэффициенты", нужные им для
вычислений. В списках "коэффициентов" содержатся "коэффициенты" для
"кирпичей", для "стен", затем для "треугольника", для "сегмента круга",
далее для "меди", "серебра", "золота", для "грузового судна", "ячменя", для
"диагонали", "резки тростника" и т.д.
В Греции мы наблюдаем появление того, что можно назвать теоретической
системой математики: греки впервые стали строго выводить одни
математические положения из других, т.е. ввели в математику доказательство.
"Отдельные математические теории, - пишет историк математики И.Г.
Башмакова, - строятся как системы, основанные на доказательстве.
Доказательство, система доказательств играют в нашей науке особую роль.
Ведь большинство высказываний математики относится к бесконечному множеству
объектов. Так, положение о том, что сумма углов треугольника равна 2d, не
может быть установлено никаким конечным числом проверок: во-первых, потому,
что треугольников бесконечно много и, во-вторых, каждое практическое
измерение производится только с некоторой определенной степенью точности.
Без доказательства никогда не могла бы быть открыта несоизмеримость
величин, а без этого не существовало бы важнейших разделов современной
математики. Можно сказать, что математика как наука стала существовать
только после систематического введения в нее доказательств" (курсив мой. -
П.Г.). Одной из причин того, что математика стала в Древней Греции
теоретической наукой, опирающейся на доказательство, был ее тесный союз с
философией. Этот союз определил характер не только древнегреческой
математики, но и философии, особенно таких ее направлений, как
пифагорейство, платонизм, а позднее - неоплатонизм. Не случайно время
возникновения философии - конец VI-V вв. до н.э. совпадает с периодом
становления теоретической математики.
Надо отметить, что в Древней Греции так же, как и в Вавилоне и Египте,
разрабатывалась техника вычислений, без которой невозможно было решать
практические задачи строительства, военного дела, торговли, мореходства и
т.д. Но важно иметь в виду, что сами греки называли приемы вычислительной
арифметики и алгебры логистикой (logistika - счетное искусство, техника
счисления) и отличали логистику как искусство вычисления от теоретической
математики. Правила вычислений, стало быть, разрабатывались в Греции точно
так же, как и на Востоке, и, конечно, греки при этом могли заимствовать
очень многое как у египтян, так и в особенности у вавилонян.
О логистике греков, как и о математических вычислениях на Востоке, можно
сказать, что она носила практически-прикладной характер. "В состав
логистики входили: счет, арифметические действия с целыми числами вплоть до
извлечения квадратных и кубических корней, действия на счетном приборе -
абаке, операции с дробями и приемы численного решения задач на уравнения
первой и второй степени. В логистике рассматривались также приложения
арифметики к землемерию и иным задачам повседневной жизни. Сами греки
отличали логистику от теоретической арифметики, которую они называли просто
арифметикой. Правила логистики излагались догматически и, вообще говоря, не
снабжались доказательствами так же, как это было принято в египетских
папирусах" (курсив мой. - П.Г.).
Таким образом, в Греции имела место как практически-прикладная математика
(искусство счисления), сходная с египетской и вавилонской, так и
теоретическая математика, предполагавшая систематическую связь
математических высказываний, строгий переход от одного предложения к
другому с помощью доказательства. Именно математика как систематическая
теория была впервые создана в Греции.
Сравнивая греческую математику с древнеегипетской, голландский историк
математики ван дер Варден указывает на ту границу, которая проходит между
греками и их восточными предшественниками: "Достоверно, что египетский
способ умножения и вычисления с основными дробями греки получили от
египтян, а затем развили его до той степени, какую показывает нам Ахмимский
папирус эллинистической эпохи. Но вычисление - это еще не математика.
Точно так же греки могли заимствовать у египтян правила вычисления площадей
и объемов. Однако такие правила до греков еще не составляли математики;
именно они поставили вопрос: как это доказать?"
Надо полагать, что становление математики как систематической теории, какой
мы ее находим в евклидовых "Началах", представляло собой длительный
процесс: от первых греческих математиков (конец VI-V в. до н.э.) до III в.
до н.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43