Ты что, хочешь голову сломать?
Снова загудели моторы, и на площадь опустился многоместный самолёт. Из него стали выходить пассажиры. Они прижимали к глазам маленькие белые платочки.
Сразу же все на площади перестали смеяться и сделались грустными. Площадь Радостей превратилась в площадь Огорчений.
– Какое несчастье! Какое горе! – причитала какая-то Девятка, спускаясь по трапу. – Пропал, пропал бедный маленький Нулик. Утром на площади Добрых Напутствий с нами было сорок три нулика. Потом нас отправили в школу, в третий класс. Там было так хорошо, так весело! Школьники учились делить целые числа. Мы перебегали с парты на парту, из тетради в тетрадь. А потом, когда мы сели в самолёт, чтобы возвращаться домой, у нас оказалось только сорок два нулика! Один пропал. Какое горе!
– Это мой сыночек пропал! – заголосила знакомая толстая Восьмёрка. Она уже успела пересмотреть всех прибывших нуликов. – Почему я не поехала с ним? Что я буду без него делать?
– Может быть, он ещё вернётся? Может быть, он сел по ошибке в другой самолёт? – утешали бедную маму.
– А может быть, – сказала наша Четвёрка с бантиком, – он и не уезжал отсюда? Он у вас такой баловник! Утром при посадке спрятался, а потом убежал в кино.
– Нет, скорее всего, – предположила какая-то Единица, – на футбольный матч.
– А может быть, он в цирке делает двойное сальто? – сказала крошка Двойка.
– Бедный мой сыночек! Где ты сейчас? – не унималась мама-Восьмёрка.
– Успокойтесь, – сказала Четвёрка, – найдётся ваш Нулик. Утро вечера мудренее. Если он не появится сегодня, завтра перевернём всё Арифметическое государство и найдём его обязательно.
В это время объявили о прибытии самолёта с малышами. Четвёрка озабоченно пересчитала своих питомцев и облегчённо вздохнула. Они оказались целы и невредимы.
Все вместе мы возвращались обратно. По дороге малыши наперебой рассказывали о своих приключениях.
Мы дошли до Числовой площади, где пожелали друг другу спокойной ночи и расстались.
Так закончился наш первый день в Карликании.
День второй
Простота…
Проснувшись утром, мы обнаружили, что Сева исчез. Так как все знали его непоседливый характер, никто не стал особенно беспокоиться.
Мы были правы. Через некоторое время он прибежал огорчённый: Нулик так и не нашёлся!
Сева нарочно встал пораньше, чтобы разузнать в городе о пропавшем малыше.
– Давайте сразу же после завтрака отправимся на поиски, – предложила Таня.
– Верно! – обрадовался Сева. – Я слышал, в Карликании есть какое-то местечко. Называется Рим.
– Почему – местечко? Рим – это город, он в Италии, – сказала Таня.
– В Италии один Рим, а в Карликании другой! – отрезал Сева.
– Рим – древнее государство, – сказал Олег. – Его уже давно не существует, а вот остатки Рима, наверное, сохранились здесь.
Я слушал, не вмешиваясь в разговор. Сева спросил меня:
– Не попал ли Нулик в Рим?
– Он не мог туда попасть, – ответил я, – ему там совершенно нечего делать.
– Почему вы знаете?! – кипятился Сева. – Искать – так всюду.
– Ну что ж, я не прочь, – согласился я. – Кстати, познакомимся с обитателями этого «местечка».
Мы пересекли Числовую площадь, прошли кусочек Автоматической улицы и свернули налево.
Перед нами была бесконечная аллея. У входа в неё сидел старый-престарый карликан и смотрел в телескоп.
– Не видно, опять не видно… – бормотал он себе под нос.
– Чего не видно? – заинтересовался Сева. – Дайте мне взглянуть. Может быть, я увижу.
– Ну как же вы можете увидеть то, чего не видно? Не видно конца! Ещё только вчера я заметил в самом конце аллеи огромнейшее число и подумал: «Ну вот, теперь всё. Дальше ничего не может быть». А сегодня взглянул: за тем числом ещё число, да больше вчерашнего!
– А что это за число? – спросила Таня.
– Так вам сразу и объясняй! Какие прыткие! Лучше пройдитесь по этой аллее и глядите во все глаза. Может быть, тогда и поймёте. Может быть!… – И старый ворчун уткнулся в свой телескоп.
Мы пошли по левой стороне аллеи и вдруг услышали команду:
– По порядку номеров ра-а-а-ассчитайсь!
– Это что же, утренняя перекличка? – спросил Сева.
Стоящие по левую сторону числа стали выкрикивать:
– Два, три, пять, семь, одиннадцать, тринадцать…
Голоса становились всё глуше, уходя вдаль.
– Это уже не порядок, а беспорядок номеров, – заметила Таня.
Однако числа называли себя точно в той последовательности, в какой они стояли:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37 и так далее.
– Что за сумасшедшие числа? – недоумевал Сева.
– Сами вы сумасшедшие! – возмутился старый карликан. – Да ещё и невежды. Неужели вы не прочитали надписи при входе?
– Нет, – растерялся Сева.
– Ведь это же аллея Простых Чисел! Поняли?
– А что такое простые числа?
– Посмотрите направо, – сказал карликан, – может быть, это прояснит вам мозги.
По правую сторону аллеи стояли совсем другие числа: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27 и так далее.
– Это как раз те числа, – сказала Таня, – которых недостаёт на левой стороне аллеи.
– А им туда нельзя! – захихикал карликан. – Это же составные числа, а не простые.
– Зачем же их здесь держат?
– У меня, кажется, начинает болеть печень от ваших нелепых вопросов! Разве вы не видите, что над вами? Нельзя смотреть только под ноги, иногда не мешает и наверх поглядеть.
Мы подняли головы.
– Волейбольная сетка! – ахнул Сева.
В самом деле, над всей аллеей была натянута гигантская сетка.
– Опять вы сказали чепуху! – рассердился карликан. – При чём здесь волейбол? Это вам не игрушки! И там вовсе не сетка, молодой человек, а решето!
– Решето?! Что же через него просеивают?
– Числа! Числа просеивают!! – закричал карликан, потеряв всякое терпение. – Посмотрите, как их основательно перетряхивают! Всякие отходы, вроде составных чисел, проваливаются сквозь решето, и их отводят на правую сторону аллеи. А в решете остаются в самом чистом виде наши драгоценные, наши ненаглядные простые числа. Их бережно, по порядку расставляют по левую сторону аллеи. Посмотрите, не правда ли, они очаровательны? – растрогался он вдруг.
Ребята из вежливости покивали головами, хотя никто из них никакого очарования в простых числах не находил.
К счастью, в это время нас догнала верная Четвёрка с бантиком. Все шумно обрадовались.
– Какой злой старикан! – пожаловался Сева. – Только и делает, что ворчит…
– Что вы! – рассмеялась Четвёрка. – Самый добрый карликан во всём государстве! Просто он не любит это показывать. Но не стоит отвлекать старика от работы. Я сама вам всё расскажу.
Мы с удовольствием уселись на скамью. И Четвёрка с бантиком начала свой рассказ:
– Давным-давно люди заметили, что есть такие числа, которые никого, кроме самих себя, не признают. Ни на какое другое число, кроме себя, они не делятся. И делают исключение только для единицы. И то только потому, что это деление на них никак не отражается: после деления на единицу они остаются такими же, какими были прежде. Вот эти-то числа люди и назвали простыми, хотя не так. Просто найти их среди других. Более двух тысяч лет назад в Греции знаменитый математик Эратосфен придумал очень остроумный способ выискивать простые числа. Он предложил для этого применять особое решето, сквозь которое все ненужные числа будут просеиваться, а все нужные – простые – оставаться.
– Совсем как промывают золото, – сказал Олег. – Песок уходит, а золото остаётся.
– Прекрасное сравнение! – воскликнула Четвёрка. – Простые числа – это действительно наше золото. Итак, – продолжала она, – чудесное решето назвали решетом Эратосфена. Теперь посмотрим, как оно действует. Давайте запишем все числа, начиная с двойки, до…Впрочем, «до» я сказала не подумав. Ведь числам нет конца. Итак, расставим числа, начиная с двойки, по порядку:
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23 и так далее.
Такой ряд чисел называется натуральным рядом. Выбросим из этого ряда те числа, которые наверняка не являются простыми, то есть делятся не только на себя, но и на другие числа. Сперва отсеем числа, которые делятся на два. Какие это числа?
– Я знаю, – сказала Таня. – Все чётные числа делятся на два.
– Верно. Отсеем все чётные числа, кроме двойки, и тогда останется вот что:
2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41 и так далее.
Теперь отсеем все числа, которые делятся на три.
Это 6, 9, 12, 15, 18, 21… Но все чётные – 6, 12, 18… – мы уже раньше отбросили. Что же теперь останется в ряду? Вот что:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 35, 37, 41, 43, 47, 49, 53…
Видите, всё меньше и меньше остаётся составных чисел в решете.
А дальше выбросим все числа, которые делятся на пять, потом те, что делятся на семь… Так постепенно из ряда натуральных чисел будут выбывать составные числа и оставаться простые, то есть те, которые делятся только сами на себя и на единицу.
Теперь мы уже знаем очень много простых чисел.
Вот первые из них:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97…
Эти-то числа, как видите, и стоят на левой стороне аллеи.
– Очень просто! – заявил Сева. – Я дома тоже устрою такую аллею и выпишу все-все простые числа…
– Не торопитесь, – перебила его Четвёрка. – Это не так легко: выписать все простые числа. Ведь чем больше число, тем сложнее определить – простое оно или составное. Если бы мы знали, в каком порядке они следуют друг за другом, это было бы замечательно! К сожалению, никто ещё до сих пор этот порядок установить не сумел. То простые числа стоят совсем рядом, их тогда называют близнецами, то между двумя ближайшими простыми числами образуется огромное расстояние, и оно сплошь заполнено составными числами. Люди очень далеко прошли по этой аллее, они знают множество простых чисел, и всё-таки не все!
– А может быть, дальше и нет ни одного простого числа? – усомнился Сева.
– Нет! Не может быть! – ответила Четвёрка. – Уже давным-давно один великий учёный, тоже грек, Эвклид, предшественник Эратосфена, доказал, что конца простым числам нет. Вот почему так озабочен наш добрый карликан! У него очень много дела. Только вчера в конце аллеи он увидел огромное простое число, а сегодня за этим числом стоит ещё большее: 170 141 183 460 469 231 731 687 303 715 884 105 727. А завтра, может, появится новое, если люди его вычислят. И так без конца. Есть отчего потерять голову. И говорить об этом тоже можно без конца… Давайте-ка лучше займёмся поисками бедного Нулика, – закончила свой рассказ Четвёрка.
– А мы как раз идём для этого в Рим, – сказал Сева.
– За Нуликом в Рим?! – удивилась Четвёрка. – Его там не может быть!
– А мы всё-таки пойдём! – упорствовал Сева.
– Как вам будет угодно! – согласилась наша проводница. – Желание гостя для нас закон.
…И совершенство
Мы свернули на маленькую улочку.
– Какая прелестная улица! – захлопала в ладоши Таня.
– Но это же улица Совершенства, – пояснила Четвёрка. – Здесь живут очень немногие числа. Но зато все они совершенные. Их так и зовут – совершенные числа. В отличие от простых, они-то уж обязательно делятся на всякие другие числа.
– Значит, они составные? – спросила Таня.
– Безусловно, составные. Но особенные. Совершенные числа равны сумме тех чисел, на которые делятся. Разумеется, кроме самих себя. Возьмём совершенное число – 6. На какие числа делится это число? На 1, на 2 и на 3. Теперь сложим эти три числа:
1 + 2 + 3 = 6
– Изумительно! – воскликнула Таня.
– Или вот другое совершенное число – 28, – продолжала Четвёрка. – Помните, какие у него младшие делители?
– Помним, – ответила Таня. – 1, 2, 4, 7 и 14.
– Сложите их:
1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.
– Здорово! – закричал Сева.
– Ага! – догадался Олег. – Значит, совершенные числа равны сумме всех своих младших делителей.
– Молодец! – похвалила Четвёрка.
– А много ли на этой улице совершенных чисел? – поинтересовался Сева.
– К сожалению, – сокрушённо вздохнула Четвёрка, – всего двадцать четыре: 6, 28, 496, 8 128, 130 816… Дальше они растут всё быстрее и быстрее, а вычислять их всё сложнее и сложнее. Эта улица только ещё заселяется. Если вам доведётся найти новое совершенное число, скажите ему, что здесь его ждут с нетерпением.
– Никогда не думал, что в Карликании так много интересных чисел, – задумчиво сказал Сева.
– Ах, это только малая крупица наших богатств! – с гордостью ответила Четвёрка. – Многим не хватает жизни, чтобы познакомиться со всеми. Вот, например, недалеко отсюда живут неразлучные друзья. Они так любят друг друга, что делятся всем, что имеют. Это числа 220 и 284. Они замечательны тем, что каждое из них равно сумме младших делителей другого. Какие делители у числа 284? 1, 2, 4, 71, 142. А у числа 220 делители: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110. Попробуем сложить делители каждого числа:
1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220,
1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284.
Вот почему эти числа называются дружественными.
Недаром знаменитый греческий математик Пифагор сказал: «Друг – это второе я!» – и при этом сослался на числа 220 и 284.
А ведь таких чисел-друзей много!
Тут завязался разговор о дружбе, о верности. И мы не заметили, как очутились за городом.
Развалины Рима
Мы шли довольно долго, пока наконец на холме не показался Рим. Он был окружён древними полуразрушенными крепостными стенами. Под ними находился ров, некогда наполненный водой, а теперь высохший и густо заросший сорными травами. Шаткий деревянный мост был поднят. Покосившиеся ворота заперты. Их охраняла дряхлая волчица.
– Здешние римляне утверждают, – не без юмора сказала Четвёрка, – что это прапрапраправнучка той самой волчицы, которая вскормила двух близнецов: Ромула и Рема – основателей древнего Рима.
– Смотрите, смотрите, – закричал Сева, – у них на башне гусь!
– Может быть, и это прапрапраправнук тех гусей, которые Рим спасли? – предположила Таня, с интересом рассматривая забавный флюгер.
– Как это гуси могли Рим спасти? – возмутился Сева.
– Очень просто, – ответил Олег. – Гуси загоготали как раз тогда, когда враги подобрались к спящему городу. Воины проснулись и прогнали неприятеля.
Мы с опаской подошли ко рву. По правде говоря, нас смущала волчица.
– Не бойтесь, – улыбнулась Четверка, – она уже давно никого не трогает.
И действительно, волчица широко раскрыла пасть и… зевнула.
В городе нас, очевидно, заметили. Из широкой щели в воротах выглянула и тотчас же скрылась какая-то тощая фигурка, похожая на спичку. Следом за ней стали высовываться другие спички.
Через некоторое время на башне показалась спичка с какой-то длинной трубой. Она приложила её ко рту, и… из трубы вылетели две перепуганные мышки. Послышались хриплые звуки, напоминающие рёв осла.
Вслед за этим с невероятным скрипом и скрежетом медленно опустился мост через ров – точь-в-точь древний старик, суставы которого срослись от долгой неподвижности.
Между тем за воротами происходила странная возня. Похоже было, что огромным ключом пытаются открыть ржавый замок, но это никак не удаётся.
Но вот ветхие петли не выдержали – ворота, так и не раскрывшись, плашмя упали на землю, и мы увидели большую площадь.
Сквозь каменные плиты пробивалась трава. На нас пахнуло запахом плесени и запустения.
– Ничего не поделаешь – древность! – вздохнул Сева. Но что это?
Из-за поворота показалась четвёрка полудохлых лошадей, тащившая весьма странное сооружение на двух огромных вихляющихся колёсах. По обе стороны этой развалюхи выстроились целые полчища спичек, охранявшие своего предводителя – старичка, повисшего на костылях. Его скрюченные подагрой ноги касались друг друга носками. Вся его нелепая фигура напоминала букву «М».
Старик обратился к нам с длинной, высокопарной речью на латинском языке, из которой мы поняли только, что нас приглашают войти в город.
– Идите, – сказала Четвёрка, – а я подожду вас здесь.
– Как, вы нас покидаете? – огорчились ребята.
– Лучше мне туда не ходить, – пояснила Четвёрка. – Римляне не любят жителей Арабеллы. Они нам завидуют. Люди мало пользуются римскими цифрами, а мы всегда нарасхват.
Мы вошли в город. Он был запущенный и бедный.
– Я-то думала, что мы увидим Колизей, – сказала разочарованно Таня, – гладиаторов, львов, а тут…
Сразу же выяснилось, что римляне не умеют говорить на нашем языке. Они засуетились и стали искать переводчика. Он у них был только один, и его никак не могли добудиться.
Наконец привели заспанную спичку, которая долго зевала. Это и был переводчик.
После многих церемоний, сопровождавших знакомство, Сева наконец задал самый главный вопрос:
– Нет ли у вас Нулика?
– Повторите, пожалуйста, ещё раз, – попросил переводчик. – Я не расслышал!
– Я спрашиваю: нет ли у вас Нулика?
Переводчик пренебрежительно усмехнулся:
– Какого Нулика? Вы, наверное, говорите о том маленьком кружочке, который неизвестно для чего живёт в Арабелле и ровно ничего из себя не представляет? Нет, нет, у нас нет нуликов! Они совершенно бесполезны.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Снова загудели моторы, и на площадь опустился многоместный самолёт. Из него стали выходить пассажиры. Они прижимали к глазам маленькие белые платочки.
Сразу же все на площади перестали смеяться и сделались грустными. Площадь Радостей превратилась в площадь Огорчений.
– Какое несчастье! Какое горе! – причитала какая-то Девятка, спускаясь по трапу. – Пропал, пропал бедный маленький Нулик. Утром на площади Добрых Напутствий с нами было сорок три нулика. Потом нас отправили в школу, в третий класс. Там было так хорошо, так весело! Школьники учились делить целые числа. Мы перебегали с парты на парту, из тетради в тетрадь. А потом, когда мы сели в самолёт, чтобы возвращаться домой, у нас оказалось только сорок два нулика! Один пропал. Какое горе!
– Это мой сыночек пропал! – заголосила знакомая толстая Восьмёрка. Она уже успела пересмотреть всех прибывших нуликов. – Почему я не поехала с ним? Что я буду без него делать?
– Может быть, он ещё вернётся? Может быть, он сел по ошибке в другой самолёт? – утешали бедную маму.
– А может быть, – сказала наша Четвёрка с бантиком, – он и не уезжал отсюда? Он у вас такой баловник! Утром при посадке спрятался, а потом убежал в кино.
– Нет, скорее всего, – предположила какая-то Единица, – на футбольный матч.
– А может быть, он в цирке делает двойное сальто? – сказала крошка Двойка.
– Бедный мой сыночек! Где ты сейчас? – не унималась мама-Восьмёрка.
– Успокойтесь, – сказала Четвёрка, – найдётся ваш Нулик. Утро вечера мудренее. Если он не появится сегодня, завтра перевернём всё Арифметическое государство и найдём его обязательно.
В это время объявили о прибытии самолёта с малышами. Четвёрка озабоченно пересчитала своих питомцев и облегчённо вздохнула. Они оказались целы и невредимы.
Все вместе мы возвращались обратно. По дороге малыши наперебой рассказывали о своих приключениях.
Мы дошли до Числовой площади, где пожелали друг другу спокойной ночи и расстались.
Так закончился наш первый день в Карликании.
День второй
Простота…
Проснувшись утром, мы обнаружили, что Сева исчез. Так как все знали его непоседливый характер, никто не стал особенно беспокоиться.
Мы были правы. Через некоторое время он прибежал огорчённый: Нулик так и не нашёлся!
Сева нарочно встал пораньше, чтобы разузнать в городе о пропавшем малыше.
– Давайте сразу же после завтрака отправимся на поиски, – предложила Таня.
– Верно! – обрадовался Сева. – Я слышал, в Карликании есть какое-то местечко. Называется Рим.
– Почему – местечко? Рим – это город, он в Италии, – сказала Таня.
– В Италии один Рим, а в Карликании другой! – отрезал Сева.
– Рим – древнее государство, – сказал Олег. – Его уже давно не существует, а вот остатки Рима, наверное, сохранились здесь.
Я слушал, не вмешиваясь в разговор. Сева спросил меня:
– Не попал ли Нулик в Рим?
– Он не мог туда попасть, – ответил я, – ему там совершенно нечего делать.
– Почему вы знаете?! – кипятился Сева. – Искать – так всюду.
– Ну что ж, я не прочь, – согласился я. – Кстати, познакомимся с обитателями этого «местечка».
Мы пересекли Числовую площадь, прошли кусочек Автоматической улицы и свернули налево.
Перед нами была бесконечная аллея. У входа в неё сидел старый-престарый карликан и смотрел в телескоп.
– Не видно, опять не видно… – бормотал он себе под нос.
– Чего не видно? – заинтересовался Сева. – Дайте мне взглянуть. Может быть, я увижу.
– Ну как же вы можете увидеть то, чего не видно? Не видно конца! Ещё только вчера я заметил в самом конце аллеи огромнейшее число и подумал: «Ну вот, теперь всё. Дальше ничего не может быть». А сегодня взглянул: за тем числом ещё число, да больше вчерашнего!
– А что это за число? – спросила Таня.
– Так вам сразу и объясняй! Какие прыткие! Лучше пройдитесь по этой аллее и глядите во все глаза. Может быть, тогда и поймёте. Может быть!… – И старый ворчун уткнулся в свой телескоп.
Мы пошли по левой стороне аллеи и вдруг услышали команду:
– По порядку номеров ра-а-а-ассчитайсь!
– Это что же, утренняя перекличка? – спросил Сева.
Стоящие по левую сторону числа стали выкрикивать:
– Два, три, пять, семь, одиннадцать, тринадцать…
Голоса становились всё глуше, уходя вдаль.
– Это уже не порядок, а беспорядок номеров, – заметила Таня.
Однако числа называли себя точно в той последовательности, в какой они стояли:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37 и так далее.
– Что за сумасшедшие числа? – недоумевал Сева.
– Сами вы сумасшедшие! – возмутился старый карликан. – Да ещё и невежды. Неужели вы не прочитали надписи при входе?
– Нет, – растерялся Сева.
– Ведь это же аллея Простых Чисел! Поняли?
– А что такое простые числа?
– Посмотрите направо, – сказал карликан, – может быть, это прояснит вам мозги.
По правую сторону аллеи стояли совсем другие числа: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27 и так далее.
– Это как раз те числа, – сказала Таня, – которых недостаёт на левой стороне аллеи.
– А им туда нельзя! – захихикал карликан. – Это же составные числа, а не простые.
– Зачем же их здесь держат?
– У меня, кажется, начинает болеть печень от ваших нелепых вопросов! Разве вы не видите, что над вами? Нельзя смотреть только под ноги, иногда не мешает и наверх поглядеть.
Мы подняли головы.
– Волейбольная сетка! – ахнул Сева.
В самом деле, над всей аллеей была натянута гигантская сетка.
– Опять вы сказали чепуху! – рассердился карликан. – При чём здесь волейбол? Это вам не игрушки! И там вовсе не сетка, молодой человек, а решето!
– Решето?! Что же через него просеивают?
– Числа! Числа просеивают!! – закричал карликан, потеряв всякое терпение. – Посмотрите, как их основательно перетряхивают! Всякие отходы, вроде составных чисел, проваливаются сквозь решето, и их отводят на правую сторону аллеи. А в решете остаются в самом чистом виде наши драгоценные, наши ненаглядные простые числа. Их бережно, по порядку расставляют по левую сторону аллеи. Посмотрите, не правда ли, они очаровательны? – растрогался он вдруг.
Ребята из вежливости покивали головами, хотя никто из них никакого очарования в простых числах не находил.
К счастью, в это время нас догнала верная Четвёрка с бантиком. Все шумно обрадовались.
– Какой злой старикан! – пожаловался Сева. – Только и делает, что ворчит…
– Что вы! – рассмеялась Четвёрка. – Самый добрый карликан во всём государстве! Просто он не любит это показывать. Но не стоит отвлекать старика от работы. Я сама вам всё расскажу.
Мы с удовольствием уселись на скамью. И Четвёрка с бантиком начала свой рассказ:
– Давным-давно люди заметили, что есть такие числа, которые никого, кроме самих себя, не признают. Ни на какое другое число, кроме себя, они не делятся. И делают исключение только для единицы. И то только потому, что это деление на них никак не отражается: после деления на единицу они остаются такими же, какими были прежде. Вот эти-то числа люди и назвали простыми, хотя не так. Просто найти их среди других. Более двух тысяч лет назад в Греции знаменитый математик Эратосфен придумал очень остроумный способ выискивать простые числа. Он предложил для этого применять особое решето, сквозь которое все ненужные числа будут просеиваться, а все нужные – простые – оставаться.
– Совсем как промывают золото, – сказал Олег. – Песок уходит, а золото остаётся.
– Прекрасное сравнение! – воскликнула Четвёрка. – Простые числа – это действительно наше золото. Итак, – продолжала она, – чудесное решето назвали решетом Эратосфена. Теперь посмотрим, как оно действует. Давайте запишем все числа, начиная с двойки, до…Впрочем, «до» я сказала не подумав. Ведь числам нет конца. Итак, расставим числа, начиная с двойки, по порядку:
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23 и так далее.
Такой ряд чисел называется натуральным рядом. Выбросим из этого ряда те числа, которые наверняка не являются простыми, то есть делятся не только на себя, но и на другие числа. Сперва отсеем числа, которые делятся на два. Какие это числа?
– Я знаю, – сказала Таня. – Все чётные числа делятся на два.
– Верно. Отсеем все чётные числа, кроме двойки, и тогда останется вот что:
2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41 и так далее.
Теперь отсеем все числа, которые делятся на три.
Это 6, 9, 12, 15, 18, 21… Но все чётные – 6, 12, 18… – мы уже раньше отбросили. Что же теперь останется в ряду? Вот что:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 35, 37, 41, 43, 47, 49, 53…
Видите, всё меньше и меньше остаётся составных чисел в решете.
А дальше выбросим все числа, которые делятся на пять, потом те, что делятся на семь… Так постепенно из ряда натуральных чисел будут выбывать составные числа и оставаться простые, то есть те, которые делятся только сами на себя и на единицу.
Теперь мы уже знаем очень много простых чисел.
Вот первые из них:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97…
Эти-то числа, как видите, и стоят на левой стороне аллеи.
– Очень просто! – заявил Сева. – Я дома тоже устрою такую аллею и выпишу все-все простые числа…
– Не торопитесь, – перебила его Четвёрка. – Это не так легко: выписать все простые числа. Ведь чем больше число, тем сложнее определить – простое оно или составное. Если бы мы знали, в каком порядке они следуют друг за другом, это было бы замечательно! К сожалению, никто ещё до сих пор этот порядок установить не сумел. То простые числа стоят совсем рядом, их тогда называют близнецами, то между двумя ближайшими простыми числами образуется огромное расстояние, и оно сплошь заполнено составными числами. Люди очень далеко прошли по этой аллее, они знают множество простых чисел, и всё-таки не все!
– А может быть, дальше и нет ни одного простого числа? – усомнился Сева.
– Нет! Не может быть! – ответила Четвёрка. – Уже давным-давно один великий учёный, тоже грек, Эвклид, предшественник Эратосфена, доказал, что конца простым числам нет. Вот почему так озабочен наш добрый карликан! У него очень много дела. Только вчера в конце аллеи он увидел огромное простое число, а сегодня за этим числом стоит ещё большее: 170 141 183 460 469 231 731 687 303 715 884 105 727. А завтра, может, появится новое, если люди его вычислят. И так без конца. Есть отчего потерять голову. И говорить об этом тоже можно без конца… Давайте-ка лучше займёмся поисками бедного Нулика, – закончила свой рассказ Четвёрка.
– А мы как раз идём для этого в Рим, – сказал Сева.
– За Нуликом в Рим?! – удивилась Четвёрка. – Его там не может быть!
– А мы всё-таки пойдём! – упорствовал Сева.
– Как вам будет угодно! – согласилась наша проводница. – Желание гостя для нас закон.
…И совершенство
Мы свернули на маленькую улочку.
– Какая прелестная улица! – захлопала в ладоши Таня.
– Но это же улица Совершенства, – пояснила Четвёрка. – Здесь живут очень немногие числа. Но зато все они совершенные. Их так и зовут – совершенные числа. В отличие от простых, они-то уж обязательно делятся на всякие другие числа.
– Значит, они составные? – спросила Таня.
– Безусловно, составные. Но особенные. Совершенные числа равны сумме тех чисел, на которые делятся. Разумеется, кроме самих себя. Возьмём совершенное число – 6. На какие числа делится это число? На 1, на 2 и на 3. Теперь сложим эти три числа:
1 + 2 + 3 = 6
– Изумительно! – воскликнула Таня.
– Или вот другое совершенное число – 28, – продолжала Четвёрка. – Помните, какие у него младшие делители?
– Помним, – ответила Таня. – 1, 2, 4, 7 и 14.
– Сложите их:
1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.
– Здорово! – закричал Сева.
– Ага! – догадался Олег. – Значит, совершенные числа равны сумме всех своих младших делителей.
– Молодец! – похвалила Четвёрка.
– А много ли на этой улице совершенных чисел? – поинтересовался Сева.
– К сожалению, – сокрушённо вздохнула Четвёрка, – всего двадцать четыре: 6, 28, 496, 8 128, 130 816… Дальше они растут всё быстрее и быстрее, а вычислять их всё сложнее и сложнее. Эта улица только ещё заселяется. Если вам доведётся найти новое совершенное число, скажите ему, что здесь его ждут с нетерпением.
– Никогда не думал, что в Карликании так много интересных чисел, – задумчиво сказал Сева.
– Ах, это только малая крупица наших богатств! – с гордостью ответила Четвёрка. – Многим не хватает жизни, чтобы познакомиться со всеми. Вот, например, недалеко отсюда живут неразлучные друзья. Они так любят друг друга, что делятся всем, что имеют. Это числа 220 и 284. Они замечательны тем, что каждое из них равно сумме младших делителей другого. Какие делители у числа 284? 1, 2, 4, 71, 142. А у числа 220 делители: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110. Попробуем сложить делители каждого числа:
1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220,
1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284.
Вот почему эти числа называются дружественными.
Недаром знаменитый греческий математик Пифагор сказал: «Друг – это второе я!» – и при этом сослался на числа 220 и 284.
А ведь таких чисел-друзей много!
Тут завязался разговор о дружбе, о верности. И мы не заметили, как очутились за городом.
Развалины Рима
Мы шли довольно долго, пока наконец на холме не показался Рим. Он был окружён древними полуразрушенными крепостными стенами. Под ними находился ров, некогда наполненный водой, а теперь высохший и густо заросший сорными травами. Шаткий деревянный мост был поднят. Покосившиеся ворота заперты. Их охраняла дряхлая волчица.
– Здешние римляне утверждают, – не без юмора сказала Четвёрка, – что это прапрапраправнучка той самой волчицы, которая вскормила двух близнецов: Ромула и Рема – основателей древнего Рима.
– Смотрите, смотрите, – закричал Сева, – у них на башне гусь!
– Может быть, и это прапрапраправнук тех гусей, которые Рим спасли? – предположила Таня, с интересом рассматривая забавный флюгер.
– Как это гуси могли Рим спасти? – возмутился Сева.
– Очень просто, – ответил Олег. – Гуси загоготали как раз тогда, когда враги подобрались к спящему городу. Воины проснулись и прогнали неприятеля.
Мы с опаской подошли ко рву. По правде говоря, нас смущала волчица.
– Не бойтесь, – улыбнулась Четверка, – она уже давно никого не трогает.
И действительно, волчица широко раскрыла пасть и… зевнула.
В городе нас, очевидно, заметили. Из широкой щели в воротах выглянула и тотчас же скрылась какая-то тощая фигурка, похожая на спичку. Следом за ней стали высовываться другие спички.
Через некоторое время на башне показалась спичка с какой-то длинной трубой. Она приложила её ко рту, и… из трубы вылетели две перепуганные мышки. Послышались хриплые звуки, напоминающие рёв осла.
Вслед за этим с невероятным скрипом и скрежетом медленно опустился мост через ров – точь-в-точь древний старик, суставы которого срослись от долгой неподвижности.
Между тем за воротами происходила странная возня. Похоже было, что огромным ключом пытаются открыть ржавый замок, но это никак не удаётся.
Но вот ветхие петли не выдержали – ворота, так и не раскрывшись, плашмя упали на землю, и мы увидели большую площадь.
Сквозь каменные плиты пробивалась трава. На нас пахнуло запахом плесени и запустения.
– Ничего не поделаешь – древность! – вздохнул Сева. Но что это?
Из-за поворота показалась четвёрка полудохлых лошадей, тащившая весьма странное сооружение на двух огромных вихляющихся колёсах. По обе стороны этой развалюхи выстроились целые полчища спичек, охранявшие своего предводителя – старичка, повисшего на костылях. Его скрюченные подагрой ноги касались друг друга носками. Вся его нелепая фигура напоминала букву «М».
Старик обратился к нам с длинной, высокопарной речью на латинском языке, из которой мы поняли только, что нас приглашают войти в город.
– Идите, – сказала Четвёрка, – а я подожду вас здесь.
– Как, вы нас покидаете? – огорчились ребята.
– Лучше мне туда не ходить, – пояснила Четвёрка. – Римляне не любят жителей Арабеллы. Они нам завидуют. Люди мало пользуются римскими цифрами, а мы всегда нарасхват.
Мы вошли в город. Он был запущенный и бедный.
– Я-то думала, что мы увидим Колизей, – сказала разочарованно Таня, – гладиаторов, львов, а тут…
Сразу же выяснилось, что римляне не умеют говорить на нашем языке. Они засуетились и стали искать переводчика. Он у них был только один, и его никак не могли добудиться.
Наконец привели заспанную спичку, которая долго зевала. Это и был переводчик.
После многих церемоний, сопровождавших знакомство, Сева наконец задал самый главный вопрос:
– Нет ли у вас Нулика?
– Повторите, пожалуйста, ещё раз, – попросил переводчик. – Я не расслышал!
– Я спрашиваю: нет ли у вас Нулика?
Переводчик пренебрежительно усмехнулся:
– Какого Нулика? Вы, наверное, говорите о том маленьком кружочке, который неизвестно для чего живёт в Арабелле и ровно ничего из себя не представляет? Нет, нет, у нас нет нуликов! Они совершенно бесполезны.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10