!— А что такое софизм? — спросила Единичка.Я поразился её невежеству. Но всё-таки решил ничего не объяснять до тех пор, пока сам не узнаю, что это такое.Неожиданно быстро стемнело, и все небо покрылось звёздами. Единичка как взглянула на это восхитительное зрелище, так и замерла. Она ведь впервые увидела звезды Южного полушария. Но я мигом разобрался во всех этих созвездиях. Потому что я не только математик, но и астроном. Ничего удивительного: ведь астрономия и математика — две самые древние и самые родственные науки.— Видишь, — сказал я Единичке, — четыре яркие звёздочки? Этому созвездию дали красивое название: «Зодиак». Волшебное созвездие! Одна из четырех звёзд называется «Проксима», что по-русски означает «Далёкая». Она и в самом деле самая далёкая от Земли звезда. Свет от неё идёт к нам миллиард лет. А ведь от Солнца свет доходит до нас через 8 секунд.Единичка стояла раскрыв рот и, по-моему, не слушала меня. Иначе она непременно стала бы возражать. Впрочем, возразить на это нечего.Нам, однако, было не до звёзд. Надо было устраиваться на ночлег, а на этом оазисе — ни одного дома, ни одной палатки, где можно укрыться от диких зверей, которые здесь водятся, наверное, в изобилии. Следовало немедленно приступать к постройке дома (благо деревьев здесь непочатый край) и закончить его до захода луны. Поэтому я решил не строить четырехстенного дома (это слишком долго), но и двухстенный меня не устраивал (это некрасиво). Стало быть, ничего не оставалось, как строить трехстенный дом. Спилив три дерева и обработав их стволы, мы с Единичкой сложили на земле треугольник. Фундамент был готов! Жаль, что все три ствола были разной длины, и треугольник получился разносторонний.Мы с Единичкой так устали, что достройку дома решили отложить на завтра, а пока что укрыться от диких зверей внутри нашего треугольника.И тут капризная Единичка заявила, что хочет иметь отдельную комнату, и потребовала, чтобы я перегородил наше жильё. Ну, против комфорта я никогда не возражаю. Поэтому мы срубили ещё одно деревце для перегородки. Теперь оставалось подумать, как перегородить треугольник, — Единичка хотела, чтобы обе комнаты имели одинаковую площадь.Она предложила поступить так: протянуть бревно из какой-нибудь вершины треугольника до середины противоположной стороны. Видимо, Единичка ещё не знала, что это значит провести медиану треугольника. Но какая же она чудачка! Ведь треугольник-то наш разносторонний! Поэтому медиана никак не может разделить его площадь пополам. Ведь полученные таким образом два треугольника не будут равными, значит, и площади у них разные!Я предложил другой, правильный способ. Раз мы хотим разделить площадь точно пополам, надо проложить бревно по средней линии треугольника. Но и тут мне пришлось объяснять, что средняя линия треугольника — это отрезок прямой, который соединяет середины каких-либо двух сторон треугольника.Единичка стала спорить и спорила до тех пор, пока не зашла луна. Стало так темно, что отличить медиану от средней линии не было уже никакой возможности. Поэтому мы улеглись спать в общей, большой «комнате» и проснулись, когда было уже совсем светло.Позавтракав, мы пошли осматривать остров. Он оказался действительно полным загадок.Началось с того, что Единичка заметила высоко на скале какие-то высеченные знаки. Она взяла мою подзорную трубу и стала читать вслух:— Два плюс один равно трём.Так вот в чём дело! Несомненно, перед нами был наскальный учебник арифметики древних народов! Я выхватил у Единички трубу и навёл её на то место, куда она смотрела. Но, представьте себе, я увидел там совсем не те числа, которые прочитала Единичка.Вместо 2+1=3, там было высечено: 10+1=11.Единичка, видно, как всегда, решила меня разыграть, и я очень обиделся.Она снова взяла трубу и стала читать другую надпись: 6+4=10.Я понял, что она продолжает меня поддразнивать, потому что на самом деле там было высечено не 6+4=10, а 110+100=1010.Насмешница покачала головой и сказала:— Ну разве может 110+100 равняться 1010? А вот 6+4 — это уж точно равно десяти!В самом деле, как может 110+100 равняться 1010? Видимо, древние математики ещё не научились как следует считать. Я сразу потерял интерес к этим наскальным нелепостям. Мы двинулись дальше и наткнулись на огромный камень с надписью:«Стой! Прежде чем продолжать путь, быстро выясни, делится ли это число на 11. Не выяснишь — лучше возвращайся назад!»А число было вот какое: семизначное! По краям стояли шестёрки, а между ними пять единиц: 6111116 — шесть миллионов сто одиннадцать тысяч сто шестнадцать.Единичка тут же принялась делить это число на 11. Но я только улыбнулся. Зачем делить, если известен простой признак делимости числа на 11? Надо сложить все цифры, стоящие на нечётных местах, затем то же проделать с цифрами, стоящими на чётных местах, и если суммы одинаковы, будьте уверены, что число на 11 делится.Итак, на нечётных местах в числе 6111116 стоят: 6, 1, 1 и снова 6, что в сумме составляет 14 (6+1+1+6=14). А вот начётных местах стоят три единицы, они в сумме дают число 3. Но ведь 14 не равно трём, значит, все число на 11 делиться не должно. Тут и проверять нечего!Но Единичка… Ах эта Единичка! Она утверждала, что у неё число на 11 разделилось и что 6111116, делённое на 11, равно 555556.— Чепуха! — возразил я. — Не может быть! Оно не должно делиться.— А вот и разделилось, — настаивала Единичка. — Попробуйте сами.Но я только рукой махнул… Вскоре мы подошли к пещере. Вход в неё был такой крошечный, что в него и пролезть трудно. Но Единичка мигом всунула в него голову и закричала:— Ой, как там темно! Я ничего не вижу! Вот так история! Как же мы будем двигаться в полной темноте? Но тут я увидел над входом объявление, от которого сразу повеселел: ПЕЩЕРА ОСВЕЩАЕТСЯ ЭЛЕКТРИЧЕСТВОМ АВТОМАТИЧЕСКИ,если вы правильно ответите на следующий вопрос.
Напишите два десятизначных числа, из которых каждое содержит все десять цифр. Одно из них должно быть наибольшим из возможных, а второе — наименьшим.Сущие пустяки! Я тут же написал наибольшее десятизначное число, состоящее из всех десяти цифр, — сперва цифру 9, аза ней все подряд в обратном порядке: 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1 и 0. Так я получил наибольшее число: девять миллиардов восемьсот семьдесят шесть миллионов пятьсот сорок три тысячи двести десять. Большего числа из десяти цифр не составить. Ну, а с наименьшим дело обстояло ещё проще. Надо было только написать те же цифры в обратном порядке: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Я так и поступил, но… лампочка в пещере почему-то не зажглась.— А это потому, — вмешалась неугомонная Единичка, — что у вас получилось не десяти-, а девятизначное число. Ведь цифра нуль перед числом ровно ничего не значит!Что ж, на этот раз она оказалась права. Я немедленно переставил нуль на конец числа: 1234567890. Да будет свет! Но света не было. Очевидно, авария на электростанции. Так мы в пещеру и не попали. Я расстроился, а тут ещё Единичка (хорош Пятница!) стала приставать со своими вопросами. Ей, видите ли, понадобилось узнать, сколько вообще можно написать десятизначных чисел из всех десяти цифр!Этот вопрос требует длительного вычисления. Думаю, что на него может ответить только быстродействующая вычислительная машина. А так как я забыл её захватить, придётся Единичке подождать, пока я вычислю сам. ШЕСТОЕ ЗАСЕДАНИЕ КРМ должно было состояться за городом. Рано утром члены клуба собрались у пригородных касс Казанского вокзала. Отправиться решили на 42-й километр, где, по сведениям Севы, раскинулся большой сосновый бор.— Отлично! Будет где заблудиться! — сразу же сообразил Нулик.То же самое с ещё большим основанием мог бы сказать Пончик. Во время нашей прогулки он всё время куда-то исчезал, а потом неожиданно вылетал из-за какого-нибудь куста, держа в зубах то пустую консервную банку, то оторванную подмётку. Нулика эти находки раздражали: ему никак не удавалось почувствовать себя на необитаемом острове.— И зачем только я перечитал вчера «Робинзона Крузо»! — сетовал президент. — Зачем переименовал Пончика в Пятницу!В конце концов новоиспечённого Пятницу привязали к дереву, и мы занялись разбором главы, которую успели прочитать дорогой.— По ошибкам Магистра огонь! — скомандовал Сева. — Слово предоставляется мне. Первая ошибка состоит в том, что, обратившись к астрономии, Магистр попал пальцем в небо. Ведь Зодиак вовсе не созвездие, а совокупность двенадцати созвездий. Они образуют небесный пояс, по которому Солнце путешествует в течение года. Вернее, нам кажется, что оно путешествует. И в каждом из двенадцати созвездий оно задерживается примерно один месяц. А «зодиак» по-гречески значит «звериный круг».— Ой! — обрадовался Нулик. — Прямо небесный зоопарк!— Ничего удивительного, — объяснил Сева. — В древности людям казалось, что некоторые созвездия напоминают то льва, то рыбу, то скорпиона… Отсюда и названия: Овен (то есть баран), Телец, Рак, Лев, Скорпион, Рыбы…— А в каком из созвездий Зодиака находится звезда Проксима? — спросила Таня.— В том-то и дело, что ни в каком, — усмехнулся Сева. — Проксима входит в созвездие Центавра, которое не имеет к Зодиаку никакого отношения.— А Центавр — тоже зверь? — спросил Нулик.— Как тебе сказать… — замялся Сева, — наполовину. Были такие существа в древнегреческой мифологии: центавры — иначе кентавры. Торс у кентавра человеческий, а всё остальное — лошадиное.— Гибрид, — сказал Нулик.— Вот в созвездии этого гибрида и находится маленькая, еле заметная звёздочка Проксима. Вероятно, поэтому Магистр сказал, что она самая далёкая. На самом деле Проксима среди звёзд — наша ближайшая соседка. Недаром «проксима» по-гречески и значит «ближайшая». И свет от неё идёт к нам не миллиарды лет, как утверждал Магистр, а всего примерно четыре с четвертью года.Нулик только свистнул.— Вот так «ближайшая»! Сколько же до неё километров?— А ты сосчитай, — поддразнила Таня. — Как известно, свет за одну секунду пробегает 300000 километров . Сколько же километров проделает он за четыре с четвертью года?— Для сравнения не мешает тебе знать, — добавил Сева, — что от Солнца до нас всего каких-нибудь 150 миллионов километров, и свет пробегает этот путь за 8 минут.— Вот именно, за 8 минут, — подхватила Таня, — а не за 8 секунд, как думает наш рассеянный математик…— Не пора ли нам, однако, приземлиться и перейти к разбору Магистрова дома, — вмешался Олег.— Не успел человек построить дом, а его уже разбирают, — сострил Нулик.Таня засмеялась:— Кто ж виноват, что бедный строитель запутался в трех соснах?— Что — в трех! Он даже в двух запутался, — добавил Сева, никогда не упускавший возможности скаламбурить. — Ведь Магистр утверждает, что можно построить не только трехстенный, но и двухстенный дом.— К счастью, он отказался от своей мысли, — сказала Таня, — поэтому займёмся наконец трехстенным домом. Единичка, конечно, была права, когда говорила, что именно медиана, а не средняя линия, делит пополам площадь треугольника.— Медиана! Средняя линия! — негодовал Нулик. — Нельзя ли выражаться яснее?Таня подобрала несколько прутиков, выложила треугольник, а потом проложила прутик из одной вершины треугольника до середины противоположной стороны.— Вот это и есть медиана треугольника, — сказала она.— Ага, — сообразил Нулик, — выходит, таких медиан можно провести в треугольнике три, из каждой вершины по одной.— Правильно, — подтвердила Таня и тем же прутиком соединила середины двух сторон треугольника.— А это уж средняя линия! — догадался Нулик и тут же сам проложил две другие средние линии в треугольнике.— Как видишь, ничего трудного, — сказала Таня. — Тогда продолжим. Магистр спутал равные треугольники с равновеликими. Ведь равные треугольники, если их наложить один на другой, обязательно совпадут, а для равновеликих это совсем не обязательно. Обязательно у них должны быть равны только площади. А теперь. Нулик, думаю, ты и сам докажешь, что не средняя линия, а именно медиана делит треугольник на два равновеликих.Президент был польщён, но всё-таки отложил доказательство до другого раза. Он, видите ли, проголодался… Пончик, подтверждая тонкий намёк своего хозяина, жалобно заскулил…
Мы извлекли из рюкзаков свои припасы и принялись за еду.Что может быть приятнее завтрака в лесу? Ты сидишь на земле, в неудобной позе, ешь холодные сосиски, запиваешь лимонадом прямо из бутылки, а над тобой качаются зелёные ветки и вовсю заливается птичья самодеятельность…«Но лесенка кончается, ведь есть всему конец…» Так, кажется, поётся в известной детской песне? Перерыв кончился, заседание возобновилось.Нам предстояло разобраться в самом запутанном вопросе — о наскальных надписях, которые Магистр читал так, а Единичка почему-то этак. Кто же из них был прав?На этот раз объяснять пришлось мне.— Вся штука в том, что Магистр и Единичка читали наскальные числа в разных системах счисления. Магистр — в десятичной, а Единичка — в двоичной, то есть так, как было нужно.— И как только она догадалась? — удивился Сева.— На то она и Единичка, — ответил я, не моргнув глазом.— А что прикажете делать нам, простым смертным?— Хорошо, — сжалился я. — Давайте разберёмся. По-моему, сами названия говорят о том, что в десятичной системе участвуют все десять цифр, а в двоичной — только две. Как мы записываем числа в десятичной системе? Мы разбиваем их на разряды. Разряд единиц, разряд десятков, сотен, тысяч и так далее. При этом каждый следующий разряд в десять раз больше предыдущего. Вот, например, число 425. Что это такое? Это сумма пяти единиц, двух десятков и четырех сотен. Значит, это число можно написать и так: 4*100 + 2*10 + 5 = 425.
А если вспомнить, что 100 равно десяти в квадрате, десять равно десяти в первой степени и, наконец, единица равна десяти в нулевой степени (ведь всякое число в нулевой степени равно единице), то число 425 может быть записано итак: 4*10^2 + 2*10^1 + 5*10^0 = 425.
Точно так же записываются числа в двоичной системе, только место десятков здесь занимают двойки в тех же степенях. Так, число, которое в десятичной системе читается как десять, в двоичной читается как два. Ведь в этой системе 10 = 1*2^1 + 0*2^0, то есть двум.
А число 110 в десятичной системе не что иное, как 6в двоичной системе: 110 = 1*2^2 + 1*2^1 + 0*2^0, то есть шести.
Ну, а теперь вы и сами разберётесь в разночтениях Магистра и Единички.— Забавная система, — сказал Сева.— Не только забавная, но и полезная. Ты ведь уже знаешь, что двоичная система принята в большинстве быстродействующих счётных машин.— Это и я знаю, — обрадовался Нулик. — Нуль означает «нет», а единица — «да»…Впрочем, президент не стал вдаваться в подробности. Он решил записать число 29 в двоичной системе и добился-таки своего, написал: 11101.В самом деле: 11101 = 1*2^4 + 1*2^3 + 1*2^2 + 0*2^1 + 1*2^0, а это в сумме даёт 29.Ребята наперебой стали переводить числа из одной системы в другую. Похоже, этому не было бы конца, если бы Олег не вернул чересчур увлекающихся клубменов к их основной деятельности.— Оказывается, — сказал он, — Магистр не совсем безнадёжен. Он ещё не забыл признака делимости чисел на 11. Но и тот запомнил не до конца. Он отделил цифры, стоящие в числе на нечётных местах, от цифр, стоящих на чётных. При этом суммы их оказались разными. Из этого Магистр заключил, что число на 11 не делится. А ему надо было вычислить разность между этими двумя суммами. Ведь если эта разность делится на 11, то и все число непременно тоже разделится на 11.— Проверим, — сказал Сева по примеру Нулика. — Число, которое Магистр прочитал на камне, — 6111116. Сумма цифр на нечётных местах 6+1+1+6 равна 14, а сумма цифр начётных местах 1+1+1 равна трём. Разность между 14 и 3 равна 11. Ну, а уж 11 на 11 обязательно разделится. Стало быть, и все число на 11 делится. 6111116 : 11 = 555556.
Заливисто залаял Пончик.— Шесть часов, — глубокомысленно заметил Нулик. — Он всегда лает в это время.— Не собака, а хронометр! — сказал Сева, взглянув на часы. — Пора возвращаться…Ребята быстро прибрали лужайку (не оставлять же после себя мусор!), и мы двинулись к станции.По дороге нам предстояло обсудить ещё один каверзный вопрос, который был задан Магистру при входе в пещеру: каковы наибольшее и наименьшее десятизначные числа, состоящие из всех 10 цифр?— На этот вопрос отвечу я, — сказал президент.Желание понятное: ведь камнем преткновения для Магистра на этот раз был нуль. Определяя наименьшее число, незадачливый математик подставлял нуль то в начало числа, то в конец, и все без толку. Нулик же поставил нуль тотчас же после единицы и получил искомое: 1023456789 — один миллиард двадцать три миллиона четыреста пятьдесят шесть тысяч семьсот восемьдесят девять. Лихо!— Могу не только наименьшее, но и наибольшее написать! — расхвастался президент. — Вот, пожалуйста: 9876543210…— Стоит ли? — возразил Олег. — Ведь это число и сам Магистр записал правильно. Лучше уж подсчитай, сколько вообще можно составить десятизначных чисел из всех десяти цифр.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Напишите два десятизначных числа, из которых каждое содержит все десять цифр. Одно из них должно быть наибольшим из возможных, а второе — наименьшим.Сущие пустяки! Я тут же написал наибольшее десятизначное число, состоящее из всех десяти цифр, — сперва цифру 9, аза ней все подряд в обратном порядке: 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1 и 0. Так я получил наибольшее число: девять миллиардов восемьсот семьдесят шесть миллионов пятьсот сорок три тысячи двести десять. Большего числа из десяти цифр не составить. Ну, а с наименьшим дело обстояло ещё проще. Надо было только написать те же цифры в обратном порядке: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Я так и поступил, но… лампочка в пещере почему-то не зажглась.— А это потому, — вмешалась неугомонная Единичка, — что у вас получилось не десяти-, а девятизначное число. Ведь цифра нуль перед числом ровно ничего не значит!Что ж, на этот раз она оказалась права. Я немедленно переставил нуль на конец числа: 1234567890. Да будет свет! Но света не было. Очевидно, авария на электростанции. Так мы в пещеру и не попали. Я расстроился, а тут ещё Единичка (хорош Пятница!) стала приставать со своими вопросами. Ей, видите ли, понадобилось узнать, сколько вообще можно написать десятизначных чисел из всех десяти цифр!Этот вопрос требует длительного вычисления. Думаю, что на него может ответить только быстродействующая вычислительная машина. А так как я забыл её захватить, придётся Единичке подождать, пока я вычислю сам. ШЕСТОЕ ЗАСЕДАНИЕ КРМ должно было состояться за городом. Рано утром члены клуба собрались у пригородных касс Казанского вокзала. Отправиться решили на 42-й километр, где, по сведениям Севы, раскинулся большой сосновый бор.— Отлично! Будет где заблудиться! — сразу же сообразил Нулик.То же самое с ещё большим основанием мог бы сказать Пончик. Во время нашей прогулки он всё время куда-то исчезал, а потом неожиданно вылетал из-за какого-нибудь куста, держа в зубах то пустую консервную банку, то оторванную подмётку. Нулика эти находки раздражали: ему никак не удавалось почувствовать себя на необитаемом острове.— И зачем только я перечитал вчера «Робинзона Крузо»! — сетовал президент. — Зачем переименовал Пончика в Пятницу!В конце концов новоиспечённого Пятницу привязали к дереву, и мы занялись разбором главы, которую успели прочитать дорогой.— По ошибкам Магистра огонь! — скомандовал Сева. — Слово предоставляется мне. Первая ошибка состоит в том, что, обратившись к астрономии, Магистр попал пальцем в небо. Ведь Зодиак вовсе не созвездие, а совокупность двенадцати созвездий. Они образуют небесный пояс, по которому Солнце путешествует в течение года. Вернее, нам кажется, что оно путешествует. И в каждом из двенадцати созвездий оно задерживается примерно один месяц. А «зодиак» по-гречески значит «звериный круг».— Ой! — обрадовался Нулик. — Прямо небесный зоопарк!— Ничего удивительного, — объяснил Сева. — В древности людям казалось, что некоторые созвездия напоминают то льва, то рыбу, то скорпиона… Отсюда и названия: Овен (то есть баран), Телец, Рак, Лев, Скорпион, Рыбы…— А в каком из созвездий Зодиака находится звезда Проксима? — спросила Таня.— В том-то и дело, что ни в каком, — усмехнулся Сева. — Проксима входит в созвездие Центавра, которое не имеет к Зодиаку никакого отношения.— А Центавр — тоже зверь? — спросил Нулик.— Как тебе сказать… — замялся Сева, — наполовину. Были такие существа в древнегреческой мифологии: центавры — иначе кентавры. Торс у кентавра человеческий, а всё остальное — лошадиное.— Гибрид, — сказал Нулик.— Вот в созвездии этого гибрида и находится маленькая, еле заметная звёздочка Проксима. Вероятно, поэтому Магистр сказал, что она самая далёкая. На самом деле Проксима среди звёзд — наша ближайшая соседка. Недаром «проксима» по-гречески и значит «ближайшая». И свет от неё идёт к нам не миллиарды лет, как утверждал Магистр, а всего примерно четыре с четвертью года.Нулик только свистнул.— Вот так «ближайшая»! Сколько же до неё километров?— А ты сосчитай, — поддразнила Таня. — Как известно, свет за одну секунду пробегает 300000 километров . Сколько же километров проделает он за четыре с четвертью года?— Для сравнения не мешает тебе знать, — добавил Сева, — что от Солнца до нас всего каких-нибудь 150 миллионов километров, и свет пробегает этот путь за 8 минут.— Вот именно, за 8 минут, — подхватила Таня, — а не за 8 секунд, как думает наш рассеянный математик…— Не пора ли нам, однако, приземлиться и перейти к разбору Магистрова дома, — вмешался Олег.— Не успел человек построить дом, а его уже разбирают, — сострил Нулик.Таня засмеялась:— Кто ж виноват, что бедный строитель запутался в трех соснах?— Что — в трех! Он даже в двух запутался, — добавил Сева, никогда не упускавший возможности скаламбурить. — Ведь Магистр утверждает, что можно построить не только трехстенный, но и двухстенный дом.— К счастью, он отказался от своей мысли, — сказала Таня, — поэтому займёмся наконец трехстенным домом. Единичка, конечно, была права, когда говорила, что именно медиана, а не средняя линия, делит пополам площадь треугольника.— Медиана! Средняя линия! — негодовал Нулик. — Нельзя ли выражаться яснее?Таня подобрала несколько прутиков, выложила треугольник, а потом проложила прутик из одной вершины треугольника до середины противоположной стороны.— Вот это и есть медиана треугольника, — сказала она.— Ага, — сообразил Нулик, — выходит, таких медиан можно провести в треугольнике три, из каждой вершины по одной.— Правильно, — подтвердила Таня и тем же прутиком соединила середины двух сторон треугольника.— А это уж средняя линия! — догадался Нулик и тут же сам проложил две другие средние линии в треугольнике.— Как видишь, ничего трудного, — сказала Таня. — Тогда продолжим. Магистр спутал равные треугольники с равновеликими. Ведь равные треугольники, если их наложить один на другой, обязательно совпадут, а для равновеликих это совсем не обязательно. Обязательно у них должны быть равны только площади. А теперь. Нулик, думаю, ты и сам докажешь, что не средняя линия, а именно медиана делит треугольник на два равновеликих.Президент был польщён, но всё-таки отложил доказательство до другого раза. Он, видите ли, проголодался… Пончик, подтверждая тонкий намёк своего хозяина, жалобно заскулил…
Мы извлекли из рюкзаков свои припасы и принялись за еду.Что может быть приятнее завтрака в лесу? Ты сидишь на земле, в неудобной позе, ешь холодные сосиски, запиваешь лимонадом прямо из бутылки, а над тобой качаются зелёные ветки и вовсю заливается птичья самодеятельность…«Но лесенка кончается, ведь есть всему конец…» Так, кажется, поётся в известной детской песне? Перерыв кончился, заседание возобновилось.Нам предстояло разобраться в самом запутанном вопросе — о наскальных надписях, которые Магистр читал так, а Единичка почему-то этак. Кто же из них был прав?На этот раз объяснять пришлось мне.— Вся штука в том, что Магистр и Единичка читали наскальные числа в разных системах счисления. Магистр — в десятичной, а Единичка — в двоичной, то есть так, как было нужно.— И как только она догадалась? — удивился Сева.— На то она и Единичка, — ответил я, не моргнув глазом.— А что прикажете делать нам, простым смертным?— Хорошо, — сжалился я. — Давайте разберёмся. По-моему, сами названия говорят о том, что в десятичной системе участвуют все десять цифр, а в двоичной — только две. Как мы записываем числа в десятичной системе? Мы разбиваем их на разряды. Разряд единиц, разряд десятков, сотен, тысяч и так далее. При этом каждый следующий разряд в десять раз больше предыдущего. Вот, например, число 425. Что это такое? Это сумма пяти единиц, двух десятков и четырех сотен. Значит, это число можно написать и так: 4*100 + 2*10 + 5 = 425.
А если вспомнить, что 100 равно десяти в квадрате, десять равно десяти в первой степени и, наконец, единица равна десяти в нулевой степени (ведь всякое число в нулевой степени равно единице), то число 425 может быть записано итак: 4*10^2 + 2*10^1 + 5*10^0 = 425.
Точно так же записываются числа в двоичной системе, только место десятков здесь занимают двойки в тех же степенях. Так, число, которое в десятичной системе читается как десять, в двоичной читается как два. Ведь в этой системе 10 = 1*2^1 + 0*2^0, то есть двум.
А число 110 в десятичной системе не что иное, как 6в двоичной системе: 110 = 1*2^2 + 1*2^1 + 0*2^0, то есть шести.
Ну, а теперь вы и сами разберётесь в разночтениях Магистра и Единички.— Забавная система, — сказал Сева.— Не только забавная, но и полезная. Ты ведь уже знаешь, что двоичная система принята в большинстве быстродействующих счётных машин.— Это и я знаю, — обрадовался Нулик. — Нуль означает «нет», а единица — «да»…Впрочем, президент не стал вдаваться в подробности. Он решил записать число 29 в двоичной системе и добился-таки своего, написал: 11101.В самом деле: 11101 = 1*2^4 + 1*2^3 + 1*2^2 + 0*2^1 + 1*2^0, а это в сумме даёт 29.Ребята наперебой стали переводить числа из одной системы в другую. Похоже, этому не было бы конца, если бы Олег не вернул чересчур увлекающихся клубменов к их основной деятельности.— Оказывается, — сказал он, — Магистр не совсем безнадёжен. Он ещё не забыл признака делимости чисел на 11. Но и тот запомнил не до конца. Он отделил цифры, стоящие в числе на нечётных местах, от цифр, стоящих на чётных. При этом суммы их оказались разными. Из этого Магистр заключил, что число на 11 не делится. А ему надо было вычислить разность между этими двумя суммами. Ведь если эта разность делится на 11, то и все число непременно тоже разделится на 11.— Проверим, — сказал Сева по примеру Нулика. — Число, которое Магистр прочитал на камне, — 6111116. Сумма цифр на нечётных местах 6+1+1+6 равна 14, а сумма цифр начётных местах 1+1+1 равна трём. Разность между 14 и 3 равна 11. Ну, а уж 11 на 11 обязательно разделится. Стало быть, и все число на 11 делится. 6111116 : 11 = 555556.
Заливисто залаял Пончик.— Шесть часов, — глубокомысленно заметил Нулик. — Он всегда лает в это время.— Не собака, а хронометр! — сказал Сева, взглянув на часы. — Пора возвращаться…Ребята быстро прибрали лужайку (не оставлять же после себя мусор!), и мы двинулись к станции.По дороге нам предстояло обсудить ещё один каверзный вопрос, который был задан Магистру при входе в пещеру: каковы наибольшее и наименьшее десятизначные числа, состоящие из всех 10 цифр?— На этот вопрос отвечу я, — сказал президент.Желание понятное: ведь камнем преткновения для Магистра на этот раз был нуль. Определяя наименьшее число, незадачливый математик подставлял нуль то в начало числа, то в конец, и все без толку. Нулик же поставил нуль тотчас же после единицы и получил искомое: 1023456789 — один миллиард двадцать три миллиона четыреста пятьдесят шесть тысяч семьсот восемьдесят девять. Лихо!— Могу не только наименьшее, но и наибольшее написать! — расхвастался президент. — Вот, пожалуйста: 9876543210…— Стоит ли? — возразил Олег. — Ведь это число и сам Магистр записал правильно. Лучше уж подсчитай, сколько вообще можно составить десятизначных чисел из всех десяти цифр.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12