К двадцати с небольшим годам Гёдель стал штатным сотрудником математического факультета, но вместе со своими коллегами нередко участвовал в заседаниях Венского кружка — группы философов, собиравшихся для обсуждения наиболее значительных проблем современной логики. Именно в тот период у Гёделя сложились идеи, подорвавшие самые основания математики.
В 1931 году Гёдель опубликовал свою работу «?ber formal unentscheidbare Satze der Principia Mathematica und verwandter Systeme» 5, в которой содержались его так называемые теоремы о неразрешимости. Когда весть о теореме Гёделя достигла Америки, великий математик Джон фон Нейман тотчас же заменил часть своего курса о программе Гильберта обсуждением революционной работы Гёделя.
Гёдель доказал, что попытка создания полной и непротиворечивой математической системы — задача заведомо невыполнимая. Идеи Гёделя можно кратко сформулировать в двух утверждениях.
Первая теорема о неполноте
Если аксиоматическая теория непротиворечива, то существуют теоремы, которые не могут быть ни доказаны, ни опровергнуты.

Вторая теорема о неполноте
Непротиворечивость теории не может быть доказана теми методами, которые в ней формализуются.
По существу, первая теорема Гёделя утверждает, что какая бы система аксиом ни использовалась, всегда найдутся вопросы, на которые математика не сможет найти ответ, — полнота недостижима. Что еще хуже, вторая теорема Гёделя утверждает, что математики никогда не смогут быть уверены в том, что их выбор аксиом не приведет к противоречию, — непротиворечивость никогда не может быть доказана. Гёдель показал, что программа Гильберта неосуществима.
Через несколько десятилетий в своей книге «Портреты по памяти» Бертран Рассел описывал свое впечатление от открытия Гёделя так: «Я жаждал определенности так же, как другие жаждут обрести религиозную веру. Мне казалось, что найти определенность в математике можно с большей вероятностью, чем где-нибудь еще. Но я обнаружил, что многие математические доказательства, которые, в соответствии с ожиданиями моих учителей, мне надлежало принять за истинные, обременены ошибками и что, если определенность действительно может быть обнаружена в математике, то произойдет это в новой области математики с более надежными основаниями, чем те, которые считались надежными прежде. По мере того, как работа продвигалась, мне постоянно приходила на ум басня о слоне и черепахе. Построив слона, на котором мог покоиться математический мир, я обнаружил, что слон нетвердо стоит на ногах, и приступил к построению черепахи, которая удержала слона от падения. Но черепаха оказалась не более надежной, чем слон, и после двадцати с лишним лет напряженнейшего труда я пришел к заключению, что нет ничего, что я бы не сделал, дабы придать математическому знанию непоколебимость».
Вторая теорема Гёделя утверждает, что невозможно доказать непротиворечивость аксиом, но это не обязательно означает, что аксиомы противоречивы. Многие математики все еще верят в глубине сердца, что их математика останется непротиворечивой, но не могут это доказать. Через много лет выдающийся специалист по теории чисел Андре Вейль заметил: «Бог существует потому, что математика непротиворечива, а дьявол существует потому, что мы не можем доказать это».
В действительности, и формулировка и доказательство теорем неполноты Гёделя крайне сложны. Например, строгая формулировка первой теоремы неполноты имеет следующий вид:
Каждому ?-непротиворечивому рекурсивному классу ? формул соответствует такой рекурсивный класс ? знаков r, что ни ? Gen r, ни Nеg(Gеn r ) не принадлежит Flg(k ) (где ? — свободная переменная класса r ).
К счастью, подобно тому, как история с библиотекарем помогает понять парадокс Рассела, первую теорему о неполноте Гёделя можно проиллюстрировать на другой логической аналогии, которая принадлежит Эпимениду и известна под названием парадокса критянина, или парадокса лжеца. Эпименид был критянином, который воскликнул:
Я лжец!
Парадокс возникает, когда мы попытаемся определить, истинно или ложно утверждение Эпименида. Посмотрим, что произойдет, если предположить, что это утверждение истинно. Из истинного утверждения следует, что Эпименид лжец. Но мы приняли предположение о том, что он высказал истинное утверждение, и, следовательно, Эпименид не лжец. Мы приходим к противоречию.
Теперь предположим, что утверждение Эпименида ложно. Из ложности утверждения следует, что Эпименид не лжец. Но мы приняли предположение, что он высказал ложное утверждение. Следовательно, Эпименид лжец, и мы снова приходим к противоречию. Таким образом, что бы мы не предположили об истинности утверждения Эпименида, мы неизменно приходим к противоречию. Следовательно, утверждение Эпименида не истинно и не ложно.
Гёдель нашел новую интерпретацию парадокса лжеца и ввел понятие доказательства. Результатом его новаций стало следующее утверждение:
Это утверждение не имеет никакого доказательства.
Если бы это утверждение было ложным, то оно было бы доказуемым, но это противоречило бы самому утверждению. Следовательно, во избежание противоречия, утверждение должно быть истинным. Но это утверждение не может быть истинным в силу самого утверждения (о котором мы теперь знаем, что оно должно быть истинным).
Поскольку Гёделю удалось записать это утверждение в математических обозначениях, он смог доказать, что в математике существуют утверждения, которые истинны, но истинность их не может быть доказана, — так называемые неразрешимые утверждения. Для программы Гильберта это было смертельным ударом.
Открытия в области квантовой физики во многом оказались схожи с этой работой Гёделя. За четыре года до того, как Гёдель опубликовал свою работу о неразрешимости, немецкий физик Вернер Гейзенберг открыл принцип неопределенности. Подобно тому, как Гёдель открыл предел, до которого математики могут доказывать свои теоремы, Гейзенберг обнаружил, что существует предел, до которого физики в принципе могут производить измерения свойств. Например, если они хотят измерить точное положение объекта, то скорость того же объекта им удастся измерить лишь со сравнительно большой погрешностью. Связано это с тем, что для измерения положения объекта последний необходимо «обстрелять» фотонами света, но для того, чтобы точно определить положение объекта, фотоны света должны обладать огромной энергией. Но если объект бомбардировать фотонами высокой энергии, то собственная скорость объекта будет испытывать сильнейшие возмущения и станет неопределенной. Следовательно, пытаясь точно определить положение объекта, физики вынуждены поступиться точным знанием его скорости.
Принцип неопределенности Гейзенберга проявляется только на атомных масштабах, когда измерения с высокой точностью приобретают решающее значение. Следовательно, значительная часть физики может продолжать развиваться по-прежнему, в то время как квантовые физики занимаются изучением глубоких вопросов относительно пределов знания. То же самое происходит и в мире математики. В то время как логики ведут доступные пониманию лишь посвященных дискуссии о неразрешимости, остальная часть математического сообщества продолжает свои исследования, не обращая внимание на то, что происходит у логиков. Хотя Гёдель доказал, что существуют некоторые недоказуемые утверждения, в математике существует предостаточно доказуемых утверждений, и его открытие не обесценило доказанных в прошлом теорем. Кроме того, многие математики были убеждены в том, что неразрешимые утверждения Гёделя существуют только в самых «темных» областях математики, находящихся где-то на ее периферии, и что такие неразрешимые утверждения, возможно, никогда не встретятся ни одному математику. Ведь Гёдель утверждал лишь, что такие утверждения существуют, но не привел ни одного из них в качестве примера. Но в 1963 году предсказанный Гёделем теоретический кошмар стал реальностью.
Пауль Коэн, двадцатидевятилетний математик из Стэнфордского университета, разработал метод, позволяющий проверять разрешимость того или иного вопроса. Метод Коэна работает в некоторых весьма специальных случаях, но тем не менее Коэн был первым, кому удалось обнаружить конкретные неразрешимые вопросы. Совершив это открытие, Коэн немедленно вылетел в Принстон. Он хотел, чтобы правильность его работы проверил сам Гёдель. К тому времени Гёдель был тяжело болен (диагноз медиков гласил: паранойя). Он лишь слегка приоткрыл дверь, вырвал из рук Коэна бумаги и захлопнул дверь. Через два дня Коэн получил приглашение в дом Гёделя на чай — знак того, что маэстро скрепил доказательство печатью своего авторитета. Особый драматизм ситуации придало то обстоятельство, что некоторые из неразрешимых вопросов занимают в математике центральное место. По иронии судьбы, Коэн доказал неразрешимость одной из двадцати трех проблем Гильберта — гипотезы континуума.
Работа Гёделя, дополненная неразрешимыми проблемами Коэна, стала тревожным посланием всем математикам, профессионалам и любителям, которые продолжали свои попытки доказать Великую теорему Ферма. А что, если Великая теорема Ферма неразрешима?! А вдруг Пьер де Ферма заблуждался, когда утверждал, что располагает доказательством? Если так, то доказательство Великой теоремы Ферма может оказаться не просто трудным, а невозможным. Если Великая теорема Ферма неразрешима, то математики столетиями пытались найти доказательство, которое не существует.
Интересно заметить, что если бы Великая теорема Ферма оказалась неразрешимой, то отсюда следовало бы, что она истинна. Причина заключается в следующем. Великая теорема Ферма утверждает, что уравнение
xn + yn = zn
при n , б?льших 2, не имеет решений в целых числах. Если бы Великая теорема Ферма оказалась ложной, то доказать ее было бы можно, предъявив решение (контрпример). Это означало бы, что Великая теорема Ферма разрешима. Итак, если бы теорема была ложной, то это противоречило бы ее неразрешимости. Но если бы Великая теорема Ферма была истинной, то столь определенный способ ее доказательства не обязательно существовал бы, т. е. она могла бы быть неразрешимой. Следовательно, может оказаться, что Великая теорема Ферма истинна, но не существует способа доказать ее.
Из любопытства
Заметка на полях «Арифметики» Диофанта, сделанная рукой Пьера де Ферма, породила одну из самых трудных головоломок в истории математики. Несмотря на триста лет блистательных провалов и предположение Гёделя о том, что возможно, охота идет за несуществующим доказательством, проблема Ферма по-прежнему неудержимо привлекала некоторых математиков. Великая теорема Ферма была математической сиреной, манившей гениев только для того, чтобы вдребезги разбить их надежды. Всякий математик, решивший заняться Великой теоремой Ферма, рисковал напрасно потратить свои наиболее активные годы. Но тот, кому удалось бы совершить решающий прорыв, вошел бы в историю, как человек, нашедший решение самой трудной задачи в мире.
Великая теорема Ферма захватила помыслы поколений математиков по двум причинам. Во-первых, ими двигало неудержимое желание продемонстрировать свое превосходство. Великая теорема Ферма была неоспоримым критерием, и всякий, кто сумел бы ее доказать, добился бы успеха там, где потерпели неудачу Коши, Эйлер, Куммер и многие другие математики. Подобно тому, как сам Ферма получал величайшее удовольствие от решения задач, ставивших в тупик его современников, тот, кому удалось бы найти доказательство Великой теоремы Ферма мог бы порадоваться тому, что сумел решить проблему, которая несколько веков возвышалась неприступной крепостью перед математическим сообществом. Во-вторых, каждый, кому удалось бы ответить на вызов Ферма, мог бы испытать чувство неслыханного удовлетворения от того, что сумел решить труднейшую головоломку. Восторг, получаемый от решения сложнейшей проблемы теории чисел, доступной только пониманию посвященных, мало чем отличается от простой радости от решения тривиальных головоломок Сэма Лойда. Один математик как-то поведал мне, что удовольствие, получаемое им от решения математических проблем, имеет много общего с удовольствием, получаемым от решения кроссвордов. Заполнение последних пустых клеточек особенно трудного кроссворда всегда приносит удовлетворение — но какую же радость должен испытывать тот, кто после многих лет безуспешных попыток решить головоломку, которую до него не удавалось решить никому в мире, все-таки сумел найти решение.
По этим же самым причинам Эндрю Уайлс оказался околдованным волшебными чарами Великой теоремы Ферма: «Те, кто занимаются чистой математикой, любят вызов. Они в восторге от нерешенных проблем. Когда Вы занимаетесь математикой, Вами овладевает это великое чувство. Вы начинаете с проблемы, которая представляет для вас полную загадку. Вы не можете ее понять — настолько она сложна, Вы не имеете ни малейшего понятия о том, как к ней подступиться. Но вот, наконец, Вам удается решить ее, и Вас охватывает непередаваемое ощущение ее красоты, изящества и соразмерности деталей и целого. Самыми коварными следует считать те задачи, которые кажутся простыми, но на самом деле оказываются необычайно трудными. Великая теорема Ферма — самый прекрасный пример такого рода проблем. Она выглядит так, будто доказательство должно существовать, и к тому же обладает особенной загадочностью: Ферма утверждал, что нашел ее доказательство».
Математика находит многочисленные приложения в науке и технике, но не они служат главным стимулом развития. Ученых вдохновляет радость открытия. Г. Г. Харди в своей книге «Апология математика» попытался объяснить эту особенность науки и оправдать свою деятельность чистого математика:
«Я только хочу сказать, что если шахматная задача, грубо говоря, «бесполезна», то столь же бесполезна и значительная часть самой лучшей математики… Я никогда не делал ничего «полезного». Ни одно из моих открытий ни на йоту не изменило (и вряд ли изменит), прямо или косвенно, в лучшую или в худшую сторону, прелести мира. Если судить по практическим меркам, то ценность моей математической жизни равна нулю, но в любом случае вне математики она и вовсе бессодержательна. У меня только один шанс избежать вердикта полной бесполезности — если люди сочтут, что мне удалось создать нечто, достойное быть созданным. То, что я создал кое-что, не подлежит сомнению, — вопрос лишь в том, насколько ценно то, что я создал».
В основе стремления решить любую математическую проблему лежит главным образом любопытство, а наградой служит простое, но огромное удовлетворение. Математик Э.Ч. Титчмарш однажды сказал: «От того, что мы знаем, что некоторое число иррационально, нет никакой практической пользы, но если мы можем знать нечто, то не знать этого становится невыносимо».
В случае Великой теоремы Ферма недостатка в любопытстве не было. Работа Гёделя о неразрешимости внесла элемент сомнения в вопрос о том, разрешима ли проблема Ферма, но истинных фанатиков Великой теоремы Ферма это ничуть не разочаровало. Гораздо более разочаровывающим было то, что с 30-х годов математики исчерпали все имевшиеся у них методы, а новых методов появилось явно недостаточно.
Вторая мировая война обусловила гигантский скачок в развитии со времен изобретения логарифмической линейки. И следующим этапом в направлении доказательства теоремы Ферма стало развитие вычислительной техники и криптографии.
Подход с позиций грубой силы
Когда в 1940 году Г.Г. Харди заявил о том, что самая первоклассная математика в основном бесполезна, он тут же был вынужден добавить, что это не обязательно плохо: «Настоящая математика не оказывает влияния на ведение войн. Никто еще не открыл ни одного применения теории чисел в военных целях». Вскоре выяснилось, что Харди заблуждался.
В 1944 году Джон фон Нейман в соавторстве с Оскаром Моргенштерном написал книгу «Теория игр и экономическое поведение», в которой ввел придуманный им термин «теория игр». Фон Нейман попытался использовать математику для описания структуры игр и того, как люди играют в них. Он начал с шахмат и покера, а затем попытался построить модели более сложных игр — таких, как экономика. После второй мировой войны корпорация RAND оценила потенциал идей фон Неймана и пригласила его принять участие в разработке стратегии холодной войны. С той поры математическая теория игр стала основным средством, с помощью которого генералы проверяют разрабатываемые ими стратегии, рассматривая вооруженные конфликты как усложненный вариант шахматных партий. Простой иллюстрацией применения теории игр к анализу военных операций служит задача о труэли.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36