При добавлении или удалении нуля ничего не меняется.
Главное, мы знаем, что чисел нам хватит для пересчета чего угодно. Мы также знаем, что это множество бесконечное. Кантор назвал это множество СЧЕТНЫМ и его мощность – мощностью счетного множества.
Мощность этого множества Кантор взял за эталон и стал сравнивать ее с мощностями других множеств.
Во-первых, он установил, что эта мощность больше мощности любого конечного множества (студентов, березок и т.п.).
Во-вторых, и это любопытно, он доказал, что многие бесконечные множества имеют ту же мощность (то же «количество» элементов), что и счетное. Один из самых поразительных примеров – это то, что множество целых положительных чисел имеет столько же элементов, сколько и множество целых четных положительных чисел! То есть они равномощны!
Действительно, запишем друг под другом:
1 2 3 4…
2 4 6 8…
Ясно, что обе последовательности имеют одинаковое количество элементов, поскольку любому числу первой, ВСЕГДА соответствует строго одно число второй последовательности. Так что вторая последовательность не может исчерпаться раньше первой. И наоборот!
Следовательно, эти множества равномощны!
Следовательно, здесь ЧАСТЬ РАВНА ЦЕЛОМУ !!!
Поскольку это доказано строго, то на последний спасительный аргумент – «так в жизни не бывает», можно еще раз, но уже более сурово ответить: «Вы просто жизни не видели! Точнее, вы никогда не видели в жизни бесконечность! И не увидите!». За свою непростую долгую жизнь человек может столкнуться даже с паровозом, а с бесконечностью – никогда! Даже в темноте.
Поэтому, что может быть и чего не может быть в мире бесконечностей не нам судить, основываясь лишь на житейском опыте!
Из бесконечного множества звезд (мощность которого тоже счетна) мы видим лишь их ограниченное конечное множество. На нарисованном отрезке прямой, содержащем бесконечное множество точек, мы видим конечное множество зерен грифеля, которым отрезок нарисован. Кстати, мы видим все это и многое другое сетчаткой глаза, содержащей конечное число палочек-колбочек. Конечным числом палочек-колбочек своего глаза никогда ничего бесконечного вы не увидите!…
Так что бесконечности вокруг нас существуют в «параллельном мире» по своим законам, которые теория множеств помогает изучать.
Мы уже сказали «во-вторых», но есть еще и «в-третьих» – и это в-третьих" – самое главное: великая теорема Кантора, которая уже упоминалась.
Дело в том, что если построить множество всех подмножеств конкретного множества, то всегда получите множество БОЛЬШЕ исходного.
Например, возьмем множество из 2-х элементов: РАЗ, ДВА (и обчелся). Подмножествами этого множества будут 4 множества(!):
1) РАЗ, ДВА – (любое множество подмножество самого себя)
2) РАЗ
3) ДВА
4) пустое – (т.е. «обчелся»).
Другой пример: А И Б (сидели на трубе)
Подмножествами этого множества из трех элементов будет 8 множеств:
1) А, И, Б
2) А, И
3) А, Б
4) И, Б
5) А
6) И
7) Б
8) пустое
Из четырех элементов получилось бы 16 элементов. И этот ряд можно бесконечно продолжить, как ряд степеней числа 2.
Так вот, Кантор и доказал, что если взять бесконечное множества счетной мощности, например, множество целых положительных чисел и построить (разумеется, умозрительно) множество, содержащее в качестве элементов все подмножества этого множества, то получим мощность БОЛЬШУЮ , чем счетная мощность. В принципе не существует способа пересчитать (пусть в бесконечности) такое множество. В нем всегда больше элементов. Эта новая большая мощность называется мощностью КОНТИНУУМА .
И снова житейский парадокс. Мощность континуума имеет, например, множество точек прямой или множество действительных чисел, что то же самое. Более того, любой отрезок числовой оси, даже такой малюсенький отрезок, как отрезок от 0 до 1, имеет мощность континуума, то есть на нем больше чисел, чем найдется чисел в счетном множестве. А раз этот отрезок имеет мощность континуума, как и вся (бесконечная) прямая и, естественно, любой ее отрезок, то можно сказать, что на отрезке от 0 до 1 ровно столько же точек, сколько на отрезке прямой от Земли до Юпитера.
Здесь тоже часть равна целому, если и часть, и целое имеют мощность континуума. И все они одинаково больше числа звезд на небе или числа всевозможных алгоритмов…
Для бесконечностей существует очень простая арифметика, которая логически следует из предыдущих разговоров. Сложение двух счетных мощностей дает счетную мощность, а для континуумов – мощность континуума. При вычитании из мощности континуума счетной – в остатке мощность континуума. Но вот если вычитать из континуума континуум или из счетной мощности счетную – всякое может получиться в каждом конкретном случае. Тут запросто можно напрячься и придумать свои иллюстрации.
Однако, не все так просто. Бесконечность остается одной из ключевых категорий философии. И математика здесь подливает масла в огонь, показывая все новые грани этой проблемы. Тем более, если говорить не только о бесконечных, но и о бесконечных упорядоченных множествах. Впрочем, желающие могут почитать книжки об очень красивых вещах с немение красивыми романтическими названиями: «кардиналы и ординалы».
Лекция 3. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ
Говорят операции НАД множествами не потому, что они расположены «над» множествами, а просто так принято. Если НАД вашими волосами колдует парикмахер, это не значит, что результат его манипуляций окажется выше вашей прически. (Но берегитесь хирурга, который проводит операции над больными).
Основных операций всего три. Это меньше, чем в школьной арифметике. Хотя даже это множество операций несколько избыточное. Операции называются ОБ'ЕДИНЕНИЕ , ПЕРЕСЕЧЕНИЕ и ДОПОЛНЕНИЕ . Чем-то они напоминают школьные операции сложения, умножения и изменения знака. Но эта аналогия приблизительна и опасна, на то она и аналогия.
Начнем с исторической байки.
Аксель Иванович Берг – адмирал и академик, человек со взрывным характером, был одним из первых пропагандистов кибернетики в СССР, когда она еще официально считалась «продажной девкой капитализма». Дискретную математику тогда в технических вузах не изучали из-за полной ее практической бесполезности, а кибернетика уже начинала ею робко пользоваться.
Во время беседы с одним «журналистом по научной тематике», который утверждал, что теория множеств не только не нужна, но и не понятна простому советскому инженеру, Берг прервал беседу и приказал своему шоферу отвести их в ближайший детский садик.
В детском садике дети играли в большом песочнике. Других развлечений в послевоенных садиках было мало. Берг нарисовал в песочнике два больших частично пересекавшихся круга, как это делают со свадебными кольцами на открытках и машинах. (Для тех, кто со свадьбами в жизни не сталкивался, скажем, что с похожим перехлестом рисуют олимпийские кольца).
Далее он сказал: «Пусть в левый круг встанут все, кто любит манную кашу, а в правый – все, кто любит сливовый кисель!». Дети были горазды поесть (послевоенное время голодное), поэтому никто не остался равнодушно стоять в стороне и все забежали в нарисованные круги. Об'единение всех этих маленьких сладкоежек и есть операция об'единения теории множеств.
Но, поскольку почти все дети встали в то место, где круги наложились друг на друга, из-за любви к каше и киселю одновременно, то тем самым продемонстрировали понимание физического смысла операции пересечения двух множеств.
«Ну вот! Не знаю как инженеры, а дети понимают смысл операций над множествами!»,– сказал Берг…
Кстати, здесь роль универсума играл весь песочник.
То, что нарисовал на песке Берг, называют сейчас диаграммами Эйлера-Венна. А то, что находилось на песке за пределами каждого из кругов, было дополнением соответствующего множества, то есть множеством элементов универсума, не принадлежащих к числу любителей данного кушанья (там находились Берг с журналистом).
Если рассмотреть внимательно студенческую группу ух-004, то об'единение множества отличников и спортсменов даст множество под названием «слава группы ух-004». Принципиальное отличие об'единения множеств от школьного сложения не только в том, что студенты – это не числа и мы их не пересчитываем( ! ), но и в том, что студенты, которые одновременно отличники и спортсмены, будут учтены один раз. Так что запросто может оказаться, что отличников четыре, а спортсменов двадцать, но их об'единение под названием «слава группы ух-004» будет содержать всего двадцать два студента.
Ясно, что пересечение этих множеств даст двух студентов, которые одновременно и отличники и спортсмены. Они, скорее всего, девушки, да еще и красавицы, но красота не использовалась здесь в качестве характеристики, по которой выделялись элементы этих множеств…
Когда у математиков появляются в руках об'екты, а у нас здесь раздолье – любые об'екты можно брать, и операции – а мы основную тройку тоже обозначили, то математики начинают говорить об АЛГЕБРЕ .
Алгебра множеств как небо и земля отличается от школьной, хотя есть некоторые аналогии. В алгебре множеств есть те же названия законов: КОММУТАТИВНЫЙ , АССОЦИАТИВНЫЙ и ДИСТРИБУТИВНЫЙ (перестановочный, сочетательный и распределительный). Первые два похожи как две капли воды, упавшие с неба на землю. А вот дистрибутивный закон имеет и аналог в школьной алгебре (выражаясь «по-школьному» произведение суммы есть сумма произведений), но имеет и уникальную версию. В теории множеств, если тоже сказать кратко, то пересечение с об'единением равно об'единению пересечений и ( ! ) об'единение с пересечением равно пересечению об'единений. Второе не имеет аналогии в школьной алгебре:"Сумма с произведением не равна произведению сумм".
Проиллюстрируем сказанное:
Коммутативный закон: Об'единение (пересечение) отличников и спортсменов равно об'единеию (пересечению) спортсменов и отличников.
Ассоциативный закон: От изменения порядка об'единения (пересечения) спортсменов, отличников и красавцев результат не меняется.
Дистрибутивный закон (только экзотическая версия): Об'единение красавцев с пересечением спортсменов и отличников равно множеству, в котором пересекаются об'единения красавцев и спортсменов с об'единеием красавцев с отличниками. (В условных обозначениях это было бы гораздо короче и нагляднее, но мы зареклись насчет формул).
Сложновато воспринимается на слух закон поглощения, который, однако, в ряде случаев позволяет упрощать теоретико-множественные конструкции. Пересечение отличников с об'единением отличников и спортсменов дает множество отличников. Или второй вариант. Об'единение отличников с пересечением отличников и спортсменов дает множество отличников. Тем не мение, если обдумать сказанное, и поразмахивать руками, то справедливость результатов очевидна.
Есть еще закон, название которого почему-то студентов забавляет – он им, видимо, что то-напоминает. А закон этот смело можно отнести к самым важным законам (свойствам). Это закон ИДЕМПОТЕНТНОСТИ . Об'единение (пересечение) множества спортсменов с множеством спортсменов дает множество спортсменов.
Очень по-французски звучит ЗАКОН Де Моргана : Дополнение об'единения отличников со спортсменами равно пересечению дополнения множества спортсменов с дополнением множества отличников. И второй вариант. Дополнение пересечения отличников со спортсменами равно об'единению дополнения множества спортсменов с дополнением множества отличников. За универсум (для дополнения) можно взять множество студентов группы (или университета, или мира – роли не играет). Возьмите реальных спортсменов с отличниками и убедитесь в справедливости закона.
Очень прост закон ДВОЙНОГО ДОПОЛНЕНИЯ . Дополнение дополнения множества спортсменов есть само множество спортсменов. Персонально для тех, кто успешно продирается через всю нашу словесную казуистику, можем сформулировать ближайшее следствие из этого закона. Дополнение дополнения дополнения множества спортсменов есть дополнение множества спортсменов.
Самыми экзотическими являются два закона: ПРОТИВОРЕЧИЯ и ИСКЛЮЧЕННОГО ТРЕТЬЕГО .
Противоречия: Пересечение множества спортсменов с дополнением множества спортсменов пусто. Действительно, коль скоро в дополнение множества спортсменов входят все остальные студенты неспортсмены, то у этого пересечения не может быть общих элементов.
Исключенного третьего: Об'единение множества спортсменов с дополнением множества спортсменов совпадает с рассматриваемым универсумом. Действительно, коль скоро в дополнение множества спортсменов входят все остальные студенты неспортсмены из универсума, то это об'единение как раз и составляет весь универсум.
Остается только высказать сожаление, что не все математики согласны с этими законами. Еще большее сожаление вызывает то, что у них на это есть весьма веские основания… Не менее веские, чем у сторонников законов.
Несогласные себя называют КОНСТРУКТИВИСТАМИ или ИНТУИЦИОНИСТАМИ .
Согласным же ничего не осталось, как назвать самих себя КЛАССИКАМИ … С чем не согласны несогласные.
Лекция 4. СООТВЕТСТВИЯ, ОТОБРАЖЕНИЯ, ОТНОШЕНИЯ
Алгеброй далеко не исчерпывается все то, что можно сделать с множествами…
В математике, как и в жизни, различные об'екты могут чему-то соответствовать или не соответствовать. Находиться меж собой в определенных отношениях или наоборот – не находится. И основой формализации, если угодно – математизации, здесь также служат множества.
То есть между множествами могут устанавливаться различные СООТВЕТСТВИЯ и ОТНОШЕНИЯ . Более того (а серьезные математики может быть даже сказали бы «прежде всего»), множества нередко могут ОТОБРАЖАТЬСЯ друг в друг друга и даже в самих себя…
Человек может соответствовать профессии, зарплата соответствовать должности, наказание – преступлению, оценка – знаниям.
Глядя на многочисленные примеры вокруг мы замечаем, что для определения конкретного соответствия надо определить два множества: множество (область) определения и множество (область) значений. А также определить «пары соответствий». Например, область определения – группа ух-005, сдающая экзамен; область значений – отл, хор, уд, неуд – множество оценок. И множество пар Иванов – отл, Петров – хор, Сидоров – отл. А Хведоров – не явился. Вот вам и готовое соответствие.
Соответствия обладают свойствами.
1. В данном случае соответствие НЕ-ВСЮДУ-ОПРЕДЕЛЕННОЕ , поскольку для Хведорова в этом соответствии нет пары. (Даже если бы мы написали в ведомости Хведоров – н/я, то это все равно бы не попало в соответствие, поскольку «н/я» нет в множестве допустимых значений!). Если бы деканат своевременно исключил из ведомости Хведорова, как отчисленного, то это соответствие стало бы ВСЮДУ-ОПРЕДЕЛЕННЫМ
2. Соответствие ФУНКЦИОНАЛЬНО , поскольку каждому студенту соответствует не более одной оценки. Такое соответствие называют по-простому, ФУНКЦИЕЙ . В данном случае из-за Хведорова это не всюду определенная функция. Никакой разницы со школьной функцией кроме той принципиальной, что здесь аргументами и значениями могут быть не только числа, а любые об'екты. Кстати, не всем математикам нравится такое определение функции, хотя оно абсолютно строгое. Просто сказывается ревность к множествам с позиций некоторых других разделов математики.
Если бы за один экзамен студенты могли получать несколько оценок, то соответствие было бы НЕФУНКЦИОНАЛЬНЫМ . То есть не было бы функцией. (Оно было бы «многозначной [недетерминированной] функцией», но это уже другая математика). Да и в жизни так не бывает.
3. Данное соответствие НЕИН'ЕКТИВНО , поскольку отл получил более, чем один студент. Если бы Сидоров, из-за фатальной предрасположенности к несчастьям, получил не отл, а уд (или неуд), то соответствие было бы ИН'ЕКТИВНЫМ … Получение студентами олимпийских медалей за победу в беге на 100 метров было бы примером ин'ективного соответствия.
4. Данное соответствие НЕСЮР'ЕКТИВНО , поскольку на экзамене были использованы не все возможные оценки. На реальных экзаменах обычно бывает задействован весь возможный спектр оценок, поэтому это соответствие бывает «по жизни» СЮР'ЕКТИВНЫМ . Естественно, сюр'ективно в даный момент приобретение билетов на Витаса.
5. Соответствие, которое одновременно ВСЮДУ-ОПРЕДЕЛЕНО , ФУНКЦИОНАЛЬНО , ИН'ЕКТИВНО и СЮР'ЕКТИВНО называется БИЕКТИВНЫМ . Еще его называют ВЗАИМНО-ОДНОЗНАЧНЫМ , но так звучит менее красиво. Говорят, что самый убедительный пример биективного соответствия головы на плечах. Возьмите множество голов, множество плеч и убедитесь во всех четырех свойствах. Криминальные варианты не предлагать!
1 2 3 4 5 6 7
Главное, мы знаем, что чисел нам хватит для пересчета чего угодно. Мы также знаем, что это множество бесконечное. Кантор назвал это множество СЧЕТНЫМ и его мощность – мощностью счетного множества.
Мощность этого множества Кантор взял за эталон и стал сравнивать ее с мощностями других множеств.
Во-первых, он установил, что эта мощность больше мощности любого конечного множества (студентов, березок и т.п.).
Во-вторых, и это любопытно, он доказал, что многие бесконечные множества имеют ту же мощность (то же «количество» элементов), что и счетное. Один из самых поразительных примеров – это то, что множество целых положительных чисел имеет столько же элементов, сколько и множество целых четных положительных чисел! То есть они равномощны!
Действительно, запишем друг под другом:
1 2 3 4…
2 4 6 8…
Ясно, что обе последовательности имеют одинаковое количество элементов, поскольку любому числу первой, ВСЕГДА соответствует строго одно число второй последовательности. Так что вторая последовательность не может исчерпаться раньше первой. И наоборот!
Следовательно, эти множества равномощны!
Следовательно, здесь ЧАСТЬ РАВНА ЦЕЛОМУ !!!
Поскольку это доказано строго, то на последний спасительный аргумент – «так в жизни не бывает», можно еще раз, но уже более сурово ответить: «Вы просто жизни не видели! Точнее, вы никогда не видели в жизни бесконечность! И не увидите!». За свою непростую долгую жизнь человек может столкнуться даже с паровозом, а с бесконечностью – никогда! Даже в темноте.
Поэтому, что может быть и чего не может быть в мире бесконечностей не нам судить, основываясь лишь на житейском опыте!
Из бесконечного множества звезд (мощность которого тоже счетна) мы видим лишь их ограниченное конечное множество. На нарисованном отрезке прямой, содержащем бесконечное множество точек, мы видим конечное множество зерен грифеля, которым отрезок нарисован. Кстати, мы видим все это и многое другое сетчаткой глаза, содержащей конечное число палочек-колбочек. Конечным числом палочек-колбочек своего глаза никогда ничего бесконечного вы не увидите!…
Так что бесконечности вокруг нас существуют в «параллельном мире» по своим законам, которые теория множеств помогает изучать.
Мы уже сказали «во-вторых», но есть еще и «в-третьих» – и это в-третьих" – самое главное: великая теорема Кантора, которая уже упоминалась.
Дело в том, что если построить множество всех подмножеств конкретного множества, то всегда получите множество БОЛЬШЕ исходного.
Например, возьмем множество из 2-х элементов: РАЗ, ДВА (и обчелся). Подмножествами этого множества будут 4 множества(!):
1) РАЗ, ДВА – (любое множество подмножество самого себя)
2) РАЗ
3) ДВА
4) пустое – (т.е. «обчелся»).
Другой пример: А И Б (сидели на трубе)
Подмножествами этого множества из трех элементов будет 8 множеств:
1) А, И, Б
2) А, И
3) А, Б
4) И, Б
5) А
6) И
7) Б
8) пустое
Из четырех элементов получилось бы 16 элементов. И этот ряд можно бесконечно продолжить, как ряд степеней числа 2.
Так вот, Кантор и доказал, что если взять бесконечное множества счетной мощности, например, множество целых положительных чисел и построить (разумеется, умозрительно) множество, содержащее в качестве элементов все подмножества этого множества, то получим мощность БОЛЬШУЮ , чем счетная мощность. В принципе не существует способа пересчитать (пусть в бесконечности) такое множество. В нем всегда больше элементов. Эта новая большая мощность называется мощностью КОНТИНУУМА .
И снова житейский парадокс. Мощность континуума имеет, например, множество точек прямой или множество действительных чисел, что то же самое. Более того, любой отрезок числовой оси, даже такой малюсенький отрезок, как отрезок от 0 до 1, имеет мощность континуума, то есть на нем больше чисел, чем найдется чисел в счетном множестве. А раз этот отрезок имеет мощность континуума, как и вся (бесконечная) прямая и, естественно, любой ее отрезок, то можно сказать, что на отрезке от 0 до 1 ровно столько же точек, сколько на отрезке прямой от Земли до Юпитера.
Здесь тоже часть равна целому, если и часть, и целое имеют мощность континуума. И все они одинаково больше числа звезд на небе или числа всевозможных алгоритмов…
Для бесконечностей существует очень простая арифметика, которая логически следует из предыдущих разговоров. Сложение двух счетных мощностей дает счетную мощность, а для континуумов – мощность континуума. При вычитании из мощности континуума счетной – в остатке мощность континуума. Но вот если вычитать из континуума континуум или из счетной мощности счетную – всякое может получиться в каждом конкретном случае. Тут запросто можно напрячься и придумать свои иллюстрации.
Однако, не все так просто. Бесконечность остается одной из ключевых категорий философии. И математика здесь подливает масла в огонь, показывая все новые грани этой проблемы. Тем более, если говорить не только о бесконечных, но и о бесконечных упорядоченных множествах. Впрочем, желающие могут почитать книжки об очень красивых вещах с немение красивыми романтическими названиями: «кардиналы и ординалы».
Лекция 3. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ
Говорят операции НАД множествами не потому, что они расположены «над» множествами, а просто так принято. Если НАД вашими волосами колдует парикмахер, это не значит, что результат его манипуляций окажется выше вашей прически. (Но берегитесь хирурга, который проводит операции над больными).
Основных операций всего три. Это меньше, чем в школьной арифметике. Хотя даже это множество операций несколько избыточное. Операции называются ОБ'ЕДИНЕНИЕ , ПЕРЕСЕЧЕНИЕ и ДОПОЛНЕНИЕ . Чем-то они напоминают школьные операции сложения, умножения и изменения знака. Но эта аналогия приблизительна и опасна, на то она и аналогия.
Начнем с исторической байки.
Аксель Иванович Берг – адмирал и академик, человек со взрывным характером, был одним из первых пропагандистов кибернетики в СССР, когда она еще официально считалась «продажной девкой капитализма». Дискретную математику тогда в технических вузах не изучали из-за полной ее практической бесполезности, а кибернетика уже начинала ею робко пользоваться.
Во время беседы с одним «журналистом по научной тематике», который утверждал, что теория множеств не только не нужна, но и не понятна простому советскому инженеру, Берг прервал беседу и приказал своему шоферу отвести их в ближайший детский садик.
В детском садике дети играли в большом песочнике. Других развлечений в послевоенных садиках было мало. Берг нарисовал в песочнике два больших частично пересекавшихся круга, как это делают со свадебными кольцами на открытках и машинах. (Для тех, кто со свадьбами в жизни не сталкивался, скажем, что с похожим перехлестом рисуют олимпийские кольца).
Далее он сказал: «Пусть в левый круг встанут все, кто любит манную кашу, а в правый – все, кто любит сливовый кисель!». Дети были горазды поесть (послевоенное время голодное), поэтому никто не остался равнодушно стоять в стороне и все забежали в нарисованные круги. Об'единение всех этих маленьких сладкоежек и есть операция об'единения теории множеств.
Но, поскольку почти все дети встали в то место, где круги наложились друг на друга, из-за любви к каше и киселю одновременно, то тем самым продемонстрировали понимание физического смысла операции пересечения двух множеств.
«Ну вот! Не знаю как инженеры, а дети понимают смысл операций над множествами!»,– сказал Берг…
Кстати, здесь роль универсума играл весь песочник.
То, что нарисовал на песке Берг, называют сейчас диаграммами Эйлера-Венна. А то, что находилось на песке за пределами каждого из кругов, было дополнением соответствующего множества, то есть множеством элементов универсума, не принадлежащих к числу любителей данного кушанья (там находились Берг с журналистом).
Если рассмотреть внимательно студенческую группу ух-004, то об'единение множества отличников и спортсменов даст множество под названием «слава группы ух-004». Принципиальное отличие об'единения множеств от школьного сложения не только в том, что студенты – это не числа и мы их не пересчитываем( ! ), но и в том, что студенты, которые одновременно отличники и спортсмены, будут учтены один раз. Так что запросто может оказаться, что отличников четыре, а спортсменов двадцать, но их об'единение под названием «слава группы ух-004» будет содержать всего двадцать два студента.
Ясно, что пересечение этих множеств даст двух студентов, которые одновременно и отличники и спортсмены. Они, скорее всего, девушки, да еще и красавицы, но красота не использовалась здесь в качестве характеристики, по которой выделялись элементы этих множеств…
Когда у математиков появляются в руках об'екты, а у нас здесь раздолье – любые об'екты можно брать, и операции – а мы основную тройку тоже обозначили, то математики начинают говорить об АЛГЕБРЕ .
Алгебра множеств как небо и земля отличается от школьной, хотя есть некоторые аналогии. В алгебре множеств есть те же названия законов: КОММУТАТИВНЫЙ , АССОЦИАТИВНЫЙ и ДИСТРИБУТИВНЫЙ (перестановочный, сочетательный и распределительный). Первые два похожи как две капли воды, упавшие с неба на землю. А вот дистрибутивный закон имеет и аналог в школьной алгебре (выражаясь «по-школьному» произведение суммы есть сумма произведений), но имеет и уникальную версию. В теории множеств, если тоже сказать кратко, то пересечение с об'единением равно об'единению пересечений и ( ! ) об'единение с пересечением равно пересечению об'единений. Второе не имеет аналогии в школьной алгебре:"Сумма с произведением не равна произведению сумм".
Проиллюстрируем сказанное:
Коммутативный закон: Об'единение (пересечение) отличников и спортсменов равно об'единеию (пересечению) спортсменов и отличников.
Ассоциативный закон: От изменения порядка об'единения (пересечения) спортсменов, отличников и красавцев результат не меняется.
Дистрибутивный закон (только экзотическая версия): Об'единение красавцев с пересечением спортсменов и отличников равно множеству, в котором пересекаются об'единения красавцев и спортсменов с об'единеием красавцев с отличниками. (В условных обозначениях это было бы гораздо короче и нагляднее, но мы зареклись насчет формул).
Сложновато воспринимается на слух закон поглощения, который, однако, в ряде случаев позволяет упрощать теоретико-множественные конструкции. Пересечение отличников с об'единением отличников и спортсменов дает множество отличников. Или второй вариант. Об'единение отличников с пересечением отличников и спортсменов дает множество отличников. Тем не мение, если обдумать сказанное, и поразмахивать руками, то справедливость результатов очевидна.
Есть еще закон, название которого почему-то студентов забавляет – он им, видимо, что то-напоминает. А закон этот смело можно отнести к самым важным законам (свойствам). Это закон ИДЕМПОТЕНТНОСТИ . Об'единение (пересечение) множества спортсменов с множеством спортсменов дает множество спортсменов.
Очень по-французски звучит ЗАКОН Де Моргана : Дополнение об'единения отличников со спортсменами равно пересечению дополнения множества спортсменов с дополнением множества отличников. И второй вариант. Дополнение пересечения отличников со спортсменами равно об'единению дополнения множества спортсменов с дополнением множества отличников. За универсум (для дополнения) можно взять множество студентов группы (или университета, или мира – роли не играет). Возьмите реальных спортсменов с отличниками и убедитесь в справедливости закона.
Очень прост закон ДВОЙНОГО ДОПОЛНЕНИЯ . Дополнение дополнения множества спортсменов есть само множество спортсменов. Персонально для тех, кто успешно продирается через всю нашу словесную казуистику, можем сформулировать ближайшее следствие из этого закона. Дополнение дополнения дополнения множества спортсменов есть дополнение множества спортсменов.
Самыми экзотическими являются два закона: ПРОТИВОРЕЧИЯ и ИСКЛЮЧЕННОГО ТРЕТЬЕГО .
Противоречия: Пересечение множества спортсменов с дополнением множества спортсменов пусто. Действительно, коль скоро в дополнение множества спортсменов входят все остальные студенты неспортсмены, то у этого пересечения не может быть общих элементов.
Исключенного третьего: Об'единение множества спортсменов с дополнением множества спортсменов совпадает с рассматриваемым универсумом. Действительно, коль скоро в дополнение множества спортсменов входят все остальные студенты неспортсмены из универсума, то это об'единение как раз и составляет весь универсум.
Остается только высказать сожаление, что не все математики согласны с этими законами. Еще большее сожаление вызывает то, что у них на это есть весьма веские основания… Не менее веские, чем у сторонников законов.
Несогласные себя называют КОНСТРУКТИВИСТАМИ или ИНТУИЦИОНИСТАМИ .
Согласным же ничего не осталось, как назвать самих себя КЛАССИКАМИ … С чем не согласны несогласные.
Лекция 4. СООТВЕТСТВИЯ, ОТОБРАЖЕНИЯ, ОТНОШЕНИЯ
Алгеброй далеко не исчерпывается все то, что можно сделать с множествами…
В математике, как и в жизни, различные об'екты могут чему-то соответствовать или не соответствовать. Находиться меж собой в определенных отношениях или наоборот – не находится. И основой формализации, если угодно – математизации, здесь также служат множества.
То есть между множествами могут устанавливаться различные СООТВЕТСТВИЯ и ОТНОШЕНИЯ . Более того (а серьезные математики может быть даже сказали бы «прежде всего»), множества нередко могут ОТОБРАЖАТЬСЯ друг в друг друга и даже в самих себя…
Человек может соответствовать профессии, зарплата соответствовать должности, наказание – преступлению, оценка – знаниям.
Глядя на многочисленные примеры вокруг мы замечаем, что для определения конкретного соответствия надо определить два множества: множество (область) определения и множество (область) значений. А также определить «пары соответствий». Например, область определения – группа ух-005, сдающая экзамен; область значений – отл, хор, уд, неуд – множество оценок. И множество пар Иванов – отл, Петров – хор, Сидоров – отл. А Хведоров – не явился. Вот вам и готовое соответствие.
Соответствия обладают свойствами.
1. В данном случае соответствие НЕ-ВСЮДУ-ОПРЕДЕЛЕННОЕ , поскольку для Хведорова в этом соответствии нет пары. (Даже если бы мы написали в ведомости Хведоров – н/я, то это все равно бы не попало в соответствие, поскольку «н/я» нет в множестве допустимых значений!). Если бы деканат своевременно исключил из ведомости Хведорова, как отчисленного, то это соответствие стало бы ВСЮДУ-ОПРЕДЕЛЕННЫМ
2. Соответствие ФУНКЦИОНАЛЬНО , поскольку каждому студенту соответствует не более одной оценки. Такое соответствие называют по-простому, ФУНКЦИЕЙ . В данном случае из-за Хведорова это не всюду определенная функция. Никакой разницы со школьной функцией кроме той принципиальной, что здесь аргументами и значениями могут быть не только числа, а любые об'екты. Кстати, не всем математикам нравится такое определение функции, хотя оно абсолютно строгое. Просто сказывается ревность к множествам с позиций некоторых других разделов математики.
Если бы за один экзамен студенты могли получать несколько оценок, то соответствие было бы НЕФУНКЦИОНАЛЬНЫМ . То есть не было бы функцией. (Оно было бы «многозначной [недетерминированной] функцией», но это уже другая математика). Да и в жизни так не бывает.
3. Данное соответствие НЕИН'ЕКТИВНО , поскольку отл получил более, чем один студент. Если бы Сидоров, из-за фатальной предрасположенности к несчастьям, получил не отл, а уд (или неуд), то соответствие было бы ИН'ЕКТИВНЫМ … Получение студентами олимпийских медалей за победу в беге на 100 метров было бы примером ин'ективного соответствия.
4. Данное соответствие НЕСЮР'ЕКТИВНО , поскольку на экзамене были использованы не все возможные оценки. На реальных экзаменах обычно бывает задействован весь возможный спектр оценок, поэтому это соответствие бывает «по жизни» СЮР'ЕКТИВНЫМ . Естественно, сюр'ективно в даный момент приобретение билетов на Витаса.
5. Соответствие, которое одновременно ВСЮДУ-ОПРЕДЕЛЕНО , ФУНКЦИОНАЛЬНО , ИН'ЕКТИВНО и СЮР'ЕКТИВНО называется БИЕКТИВНЫМ . Еще его называют ВЗАИМНО-ОДНОЗНАЧНЫМ , но так звучит менее красиво. Говорят, что самый убедительный пример биективного соответствия головы на плечах. Возьмите множество голов, множество плеч и убедитесь во всех четырех свойствах. Криминальные варианты не предлагать!
1 2 3 4 5 6 7