– выпалила девочка в полном восторге. – Смешно, смешно, смешно!
– Не то слово, – возразил Главный терятель. – Восхитительно! Не зря я мечтаю об этой книге, не зря приобрёл билет лотереи…
Я осторожно поинтересовался, почему он думает, что выиграет именно эту книгу? Но, по его словам, иначе и быть не может. Уж раз он что задумал, так оно непременно сбудется…
– В том случае, если мы восстановим номер билета, – напомнил я, – но этого никогда не случится, пока вы наконец не расскажете, при каких обстоятельствах билет потеряли…
– При самых таинственных, – отвечал он, заговорщицки понизив голос. – Сперва он был, а потом его не стало.
– И это всё? – изумился я.
– Всё. Впрочем, нет. Не следует забывать, что пропал ещё и номер. И это несмотря на то, что я изучал его целых два дня.
Последнее замечание настроило меня на лирический лад. Дело в том, что я постоянно мудрю с числами. Изучаю номера телефонов, встречных машин, сберкасс и произвожу с ними всевозможные манипуляции. Перемножаю цифры, складываю и всегда подмечаю забавные закономерности. Похоже, Главный терятель был тоже не чужд этому увлечению, и мы с ним добрых полчаса проболтали о своих находках. Пртом мне пришло в голову, что человек, два дня изучавший номер билета, должен бы запомнить хоть какие-то его приметы, но надежда моя тотчас лопнула. Если Главный терятель и запомнил, так только то, что номер был записан цифрами.
Я уж собирался объявить дело безнадёжным, но вовремя сообразил, что забытое число можно восстановить с помощью ассоциаций. Этот надёжный приём не раз выручал меня как раз в таких затруднительных случаях.
Разумеется, речь не об ассоциации футболистов или шахматистов. Я имею в виду чудесное свойство нашего ума. Допустим, вы должны были купить молока и… забыли. Но тут начинает мяукать ваш голодный котёнок, и вы сразу вспоминаете про молоко. По ассоциации.
Да, ассоциации – это прекрасно! Подобно Главному терятелю, я тоже сочинил про них песенку и не преминул её спеть, благо она оказалась кстати. Правда, голоса у меня – никакого, но в наши дни это никому не помеха. Ведь теперь песни не поют, а нашёптывают. Поэтому я взял гитару и бодро зашептал:
Всё забывать мы мастаки
И всё терять горазды:
Тетрадки, кепки, гребешки.
Закладки, скрепки, ремешки,
Очки, платки, и кошельки,
И уйму чисел разных.
Но что б ни потеряли вы,
Надежде цену знайте,
И уж, конечно, головы,
Само собою, головы.
Ни в коем разе головы
При этом не теряйте.
Открыть мне удалось закон
(Прошу не сомневаться!):
Найти вам всё поможет он,
Вернуть вам всё поможет он,
Припомнить всё поможет он,
Закон ассоциаций!
– Значит, так, – сказал я без всякой паузы, как только песня была дошёптана, – что мы имеем на сегодняшний день? С одной стороны, мы имеем потерянное число и никакой надежды его восстановить, поскольку пострадавший не помнит ни одной его приметы, а без примет – какой розыск? С другой стороны, у нас есть мощное «вспоминательное» устройство, именуемое «ассоциациями», которое, однако, выражаясь научно, нуждается в энергичных поощрительных мерах. В переводе на общечеловеческий язык это означает вот что: под лежачий камень вода не течёт. Ассоциации капризны. Они приходят не тогда, когда их ждут, а когда им самим вздумается. Стало быть, надо их дразнить, будоражить, теребить – словом, всячески приваживать. Как вы думаете, что отсюда следует?
– Отсюда следует, что мы немедленно отправляемся гулять, – перебила меня девочка.
Вот чего я не ждал! Гулять? Да ещё в такую погоду?
Но тут оказалось, что дождь давно перестал. Что за окном сияет яркое солнце. И листва на деревьях такая свежая, такая сочная, что съесть её хочется. И тротуары до того промыты, что хоть босиком по ним шлёпай…
Словом, всё шло к тому, что мы отправляемся на охоту за ассоциациями, иными словами, начинаем увлекательную игру. Хотя по правилам этой игры нам всё же кое-чего не хватало. Одной небольшой, но важной детали. Одной маленькой точки. И точку эту поставила девочка.
– Леди и джентльмены, – сказала она торжественно, обращаясь, как видно, не только к нам, но и к себе самой, – нам выпала честь найти важное утерянное число и стать участниками сыскной операции. Для этого у нас есть всё. Главный пострадавший, именуемый также Главным терятелем. Главный сыщик – он же Главный находитель. Главная ищейка по прозвищу Пуся. И наконец, Главный секретарь, который обязуется записывать по дороге всё, достойное внимания.
Тут она извлекла из сумки блокнот с шариковой ручкой, подняла его, как для присяги, и поклялась честно и бесстрашно выполнять свой сыскной долг. Мы с Главным терятелем последовали её примеру. Пуся выдал напоследок сдвоенное «тяв-тяв». И новоявленная сыскная группа ринулась на свою числоразыскательную операцию.
ЧАШКА ЧАЯ, ДЕСЯТЬ ФИШЕК
Мы вышли из Стола находок и остановились в нерешительности. Куда идти? Если бы речь шла о пропавшем слоне, всё было бы ясно. На слоновьи ассоциации следует охотиться в Африке. Или в Индии. Или, на худой конец, в местном зоопарке. Другое дело – ассоциации числовые. Они могут возникнуть где угодно, по той простой причине, что числа – всюду.
Вот улица. У неё две стороны. На обеих – дома. Все они пронумерованы. На одной стороне – номера чётные, на другой – нечётные. И что это, если не числа? Или другой пример: дом. Стар он или нов, мал или велик, низок или высок – в любом случае у него есть окна, двери, лестницы, ступеньки и, уж конечно, не меньше одного этажа. Всё это опять-таки легко пересчитать.
То же самое можно сказать о любом без исключения предмете. Или растении. Или живом существе. Даже таком крохотном, как Пуся, у которого есть короткие лапы, хвост, чудесные уши с кисточками, мокрый холодный нос, любопытные пуговки-глаза, свежий розовый язык, острые белые зубки и, наконец, чёрная лохматая шёрстка, состоящая из шелковистых волосков. Сосчитать их, правда, вряд ли удастся – разве что электронно-вычислительной машиной…
Да, прав был великий математик Лобачевский! Поистине, нет ничего на свете, чего нельзя было бы выразить числами. И раз числовые ассоциации могут возникнуть всюду, почему бы нам не отправиться в парк? По крайней мере, совместим приятное с полезным… Но в том то и дело, что парка в Энэмске нет. Почему? Да потому, что весь он от начала до конца – чудесный громадный парк.
Сами понимаете, что выбор маршрута в таких условиях – дело нелёгкое, и мы тотчас заспорили. Положение сложилось почти такое, как в известной басне Ивана Андреевича Крылова, где лебедь рвётся в облака, рак пятится назад, а щука тянет в воду. С той разницей, что в нашей компании был и щенок. Он-то и решил исход дела! Солнце, зелень, промытый дождём воздух – всё это привело его в восторг, и, не обращая на нас ни малейшего внимания, он помчался вперёд, оглашая улицу радостным тявканьем. Мы, естественно, помчались за ним и вскоре очутились у небольшого уютного павильона с заманчивой вывеской: «Чашка чая, десять фишек».
Тут Пуся остановился как вкопанный, а девочка, наоборот, нетерпеливо заплясала на месте и заявила, что ей страсть как хочется чаю с печеньем. Пришлось объяснить, что фишки – не печенье, а жетончики с цифрами и что в павильоне, но-видимому, играют в какую-то числовую игру.
– Вот и прекрасно, – обрадовалась она. – Мы с Пусей будем пить чай, вы (это она мне!) – играть в числовую игру, а Главный терятель – подстерегать ассоциации.
– Благодарю вас, – иронически расшаркался Главный терятель, – очень, очень вам признателен.
Как я и предполагал, в павильоне действительно играли в числовую игру, и даже не в одну, а во многие. Хотя все они, так или иначе, были связаны с девятью цифрами десятичной системы счисления – той самой, которой мы с вами пользуемся. Но не ошиблась и девочка, когда думала, что фишки – это печенье. Здешние фишки и впрямь выпекают в кондитерской. Все они круглые, ароматные, румяные, только вместо рисунка на них цифры. По одной на каждой. Раздают их при входе в целлофановых пакетиках. В каждом пакетике набор из десяти сдобных кругляшек с цифрами от нуля до девятки включительно. Получив такой набор, посетитель занимает место у большого стола и раскладывает свои фишки на чистой бумажной салфетке.
Вы, конечно, хотите знать, где же обещанный чай? Не торопитесь. Чай подадут позже, когда игра окончится. И по-моему, это очень предусмотрительно. Ведь если чай принести сразу, все тут же позабудут об игре и через минуту от фишек ничего не останется. Потому что фишки с чаем – это вам не фишки всухомятку! Да и чай после задачи – это не чай до задачи. Сознание честно выполненного долга делает его вдвое… нет, втрое вкуснее.
Я не обмолвился, назвав игру задачей. Здешние игры ничем от задач не отличаются. Нам, в частности, предложили вычислить, сколько натуральных чисел можно составить из десяти фишек. Задача полезная, и я предложил заняться ею сообща.
Прежде чем приступить к решению, мне захотелось проверить, хорошо ли усвоила девочка наши утренние беседы в Столе находок, и я спросил, что ей известно о натуральных числах.
– Натуральные числа – это печенье! – выпалила она.
На первый взгляд, ответ несуразный. Но на самом дело он недалёк от истины.
Натуральные числа – самые древние на земле. Они появились тогда, когда людям понадобилось сосчитать созданное натурой, то есть природой: коз, овец. Звериные шкуры. Плоды. Деревья. То, чем питались, прикрывали наготу, обогревались в стужу, торговали. Вернее, менялись. Потому что в те далёкие времена денег ещё не было. И с этой точки зрения печенье, да ещё перенумерованное, несомненно, относится к натуральным числам. Хотя вообще-то название это условно. Потому что числа обладают одной удивительной способностью.
Как правило, они появляются на свет, когда мы пересчитываем вполне определённые, или, как говорят, конкретные предметы, но потом от этих предметов отделяются, а лучше сказать – отвлекаются, и продолжают жить отвлечённой, совершенно самостоятельной жизнью. При этом происходят вещи необычайные, поразительные и для нас с вами далеко не безразличные. Числа помогают нам познавать мир. Благодаря им учёные обнаруживают доселе незримые планеты, открывают неизвестные законы, создают сложнейшие машины. Словом, отвлечённые числа сильнейшим образом влияют на конкретную действительность… Впрочем, об этом я девочке ещё не рассказывал. Почему? Да потому, что всему своё время. Так что вернёмся лучше к нашей задаче.
Первым её решил Главный терятель, хотя и неверно. Он рассуждал так: какое самое большое натуральное число можно составить из десяти цифр? Ясно, что десятизначное. А наибольшее десятизначное число равно десяти миллиардам без единицы: 9 999 999 999. Это-то и есть число всех натуральных чисел до десятизначных включительно.
К сожалению, Главный терятель не понял задачи. Ведь речь в ней вовсе не обо всех натуральных числах до десятизначных включительно, а лишь о тех, которые можно составить из десяти фишек! Не говорю уже о том, что среди этих десяти фишек всего одна девятка, а в его числе – десять…
– Вот что значит – начать не с того бока, – укоризненно вздохнул я.
– А мы начнём с того, – сказала девочка. – Как вы думаете, сколько однозначных натуральных чисел можно получить из десяти фишек?
– Смешно! – пожал плечами Главный терятель, который успел уже перенять любимое девочкино словечко. – Где десять однозначных фишек, там и десять однозначных чисел.
И тут под столом громко затявкал Пуся.
– Что это с ним? – забеспокоился Главный терятель. – По-моему, он кашляет.
– А по-моему, смеётся, – возразил я. – Наверное, заметил, что вы опять ошиблись. К вашему сведению: нуль к натуральным числам не относится. А потому однозначных натуральных чисел девять.
– Я же говорила, что Пуся – необыкновенная собака, – сказала девочка с гордостью. – Это она привела нас к истине.
– На то она и Главная ищейка! – заключил я и предложил записать наше первое достижение на бумажных салфетках.
Следующий вопрос, естественно, касался двузначных чисел, и Пусе пришлось опять хохотать, потому что Главный терятель повторил свою первую ошибку. Он рассуждал так: самое большое двузначное число – 99. Но в него входят 9 однозначных. Значит, всего двузначных 90. К сожалению, он не учёл, что среди этих девяноста имеется девять чисел с одинаковыми цифрами: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99. А по условию, цифры в числе могут быть только разные. И стало быть, двузначных натуральных чисел только восемьдесят одно.
Главного терятеля это озадачило.
– Позвольте, позвольте, – запальчиво сказал он, – когда я приобщил к натуральным числам нуль, мне заявили, что он к таковым не относится. Но ведь и среди двузначных натуральных есть девять чисел с нулём: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90. Выходит, их тоже надо вычесть.
Я думал, что теперь хохотать будет не только Пуся, но и девочка. Но, против ожидания, она жалостливо вздохнула.
– Бедный! – сказала она, сочувственно глядя на Главного терятеля. – Неужели вы забыли, какая разница между числами и цифрами? Когда речь шла об однозначных числах, вы имели в виду нуль как число. Теперь мы перешли к двузначным, и в этом случае нуль уже не число, а цифра, означающая, что в разряде пусто…
Нет, до чего милая девочка! Недаром я к ней привязался. Не только весёлая, не только смышлёная, но и добрая. А доброта – великая сила. За примером недалеко ходить. Дружеское сочувствие подействовало на Главного терятеля самым благотворным образом, и он совершенно неожиданно для нас. а также для себя самого выдал весьма дельное замечании.
– Смотрите-ка, – сказал он, – натуральных двузначных чисел – восемьдесят одно. Но что такое 81? Это же 9, умноженное на 9…
– Очень кстати замечено, – похвалил я.
– Почему кстати? – поинтересовалась девочка.
– Сейчас поймёшь. Ведь мы как раз переходим к трёхзначным числам… А это вам не двузначные.
– Уж конечно, – поддакнул Главный терятель. – Во-нервых, их гораздо больше.
А во-вторых? – поинтересовался я. – Не знаете? Во-вторых, среди двузначных чисел попадаются такие, что состоят из двух одинаковых цифр. А среди трёхзначных сверх того есть ещё и такие, что состоят из трёх одинаковых. В числе 552 – две одинаковые цифры, а в числе 555 – три. Так что…
– Так что считать нам не пересчитать, – подхватила девочка.
– Но угадала, засмеялся я. – Так что необходимо найти правило, которое поможет нам и не считать и не пересчитывать. И для этого вернёмся немного обратно. Сколько у нас однозначных чисел? Девять. Теперь подумаем, как из количества однозначных чисел получить количество двузначных? Очевидно, для этого придётся к каждому однозначному числу последовательно приставлять по одной из оставшихся фишек. Начнём с единицы. Сперва приставим к ней 0…
– Затем – единицу, – подсказал Главный терятель.
При этих словах Пуся опять засмеялся, а девочка сказала, что единицы у нас уже нет: ведь к ней-то мы и приставляем оставшиеся фишки и получаем при этом вот что: 10, 12, 13, 14, 15. 16, 17, 18, 19.
– Вот вам и все двузначные числа, начинающиеся с единицы, – подытожил я. – Нетрудно заметить, что их девять. Далее то же проделываем с однозначным числом 2 и получаем ещё девять двузначных чисел: 20, 21, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29…
– Как интересно! – загорелась девочка. – Теперь то же самое проделаем с числом 3, потом с числом 4…
– Но зачем? – возразил я, – Ведь мы уже заметили, что из каждого однозначного числа получается девять двузначных. И так как всего однозначных чисел 9, нам остаётся лишь помножить 9 на 9. Вот почему так кстати оказалось замечание нашего дорогого Главного терятеля. Ведь именно он подметил, что 81 – это 9, умноженное на 9…
Главный терятель вспыхнул от удовольствия и немедленно сделал ещё один шаг по пути прогресса. Он вдруг понял, как тем же способом узнать число трёхзначных чисел. Для этого, по его мнению, число двузначных следует помножить на восемь. Почему? Да потому, что на каждое двузначное число из десяти фишек пошло две. Стало быть, свободными остались восемь. Таким образом, число трёхзначных можно представить так: 9x9x8.
Мы уже хотели двинуться дальше, но тут девочка вспомнила о своих секретарских обязанностях и пожелала занести наши достижения в блокнот. Для удобства она записала их столбиком:
Однозначные – 9
Двузначные – 9 X 9
Трёхзначные – 9 X 9 X 8
После этого она вдруг задумалась, потом вскочила, завертелась на одной ножке и завопила на весь павильон:
– Ура! Задача решена! Сейчас нам дадут чаю!
– Спокойно, спокойно, – уговаривал я, – ты же ещё ничего не объяснила…
Но она возразила, что тут и объяснять нечего. И так ясно, что чем больше значность, тем меньше число оставшихся фишек. Когда мы перейдём к вычислению четырёхзначных, их уже будет 7, пятизначных – 6, шестизначных – 5 и так далее, и так далее. И потому записать это следует так:
Однозначные – 9
Двузначные – 9x9
Трёхзначные – 9X9X8
Четырёхзначные – 9x9x8x7
Пятизначные – 9x9x8x7X6
Шестизначные – 9x9x8x7x6X5
Семизначные – 9x9x8x7x6x5x4
Восьмизначные – 9x9x8x7x6x5X4x3
Девятизначные – 9x9X8x7x6x5X4x3x2
Десятизначные – 9x9x8x7x6x5x4x3x2x1
– Восхитительно!
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
– Не то слово, – возразил Главный терятель. – Восхитительно! Не зря я мечтаю об этой книге, не зря приобрёл билет лотереи…
Я осторожно поинтересовался, почему он думает, что выиграет именно эту книгу? Но, по его словам, иначе и быть не может. Уж раз он что задумал, так оно непременно сбудется…
– В том случае, если мы восстановим номер билета, – напомнил я, – но этого никогда не случится, пока вы наконец не расскажете, при каких обстоятельствах билет потеряли…
– При самых таинственных, – отвечал он, заговорщицки понизив голос. – Сперва он был, а потом его не стало.
– И это всё? – изумился я.
– Всё. Впрочем, нет. Не следует забывать, что пропал ещё и номер. И это несмотря на то, что я изучал его целых два дня.
Последнее замечание настроило меня на лирический лад. Дело в том, что я постоянно мудрю с числами. Изучаю номера телефонов, встречных машин, сберкасс и произвожу с ними всевозможные манипуляции. Перемножаю цифры, складываю и всегда подмечаю забавные закономерности. Похоже, Главный терятель был тоже не чужд этому увлечению, и мы с ним добрых полчаса проболтали о своих находках. Пртом мне пришло в голову, что человек, два дня изучавший номер билета, должен бы запомнить хоть какие-то его приметы, но надежда моя тотчас лопнула. Если Главный терятель и запомнил, так только то, что номер был записан цифрами.
Я уж собирался объявить дело безнадёжным, но вовремя сообразил, что забытое число можно восстановить с помощью ассоциаций. Этот надёжный приём не раз выручал меня как раз в таких затруднительных случаях.
Разумеется, речь не об ассоциации футболистов или шахматистов. Я имею в виду чудесное свойство нашего ума. Допустим, вы должны были купить молока и… забыли. Но тут начинает мяукать ваш голодный котёнок, и вы сразу вспоминаете про молоко. По ассоциации.
Да, ассоциации – это прекрасно! Подобно Главному терятелю, я тоже сочинил про них песенку и не преминул её спеть, благо она оказалась кстати. Правда, голоса у меня – никакого, но в наши дни это никому не помеха. Ведь теперь песни не поют, а нашёптывают. Поэтому я взял гитару и бодро зашептал:
Всё забывать мы мастаки
И всё терять горазды:
Тетрадки, кепки, гребешки.
Закладки, скрепки, ремешки,
Очки, платки, и кошельки,
И уйму чисел разных.
Но что б ни потеряли вы,
Надежде цену знайте,
И уж, конечно, головы,
Само собою, головы.
Ни в коем разе головы
При этом не теряйте.
Открыть мне удалось закон
(Прошу не сомневаться!):
Найти вам всё поможет он,
Вернуть вам всё поможет он,
Припомнить всё поможет он,
Закон ассоциаций!
– Значит, так, – сказал я без всякой паузы, как только песня была дошёптана, – что мы имеем на сегодняшний день? С одной стороны, мы имеем потерянное число и никакой надежды его восстановить, поскольку пострадавший не помнит ни одной его приметы, а без примет – какой розыск? С другой стороны, у нас есть мощное «вспоминательное» устройство, именуемое «ассоциациями», которое, однако, выражаясь научно, нуждается в энергичных поощрительных мерах. В переводе на общечеловеческий язык это означает вот что: под лежачий камень вода не течёт. Ассоциации капризны. Они приходят не тогда, когда их ждут, а когда им самим вздумается. Стало быть, надо их дразнить, будоражить, теребить – словом, всячески приваживать. Как вы думаете, что отсюда следует?
– Отсюда следует, что мы немедленно отправляемся гулять, – перебила меня девочка.
Вот чего я не ждал! Гулять? Да ещё в такую погоду?
Но тут оказалось, что дождь давно перестал. Что за окном сияет яркое солнце. И листва на деревьях такая свежая, такая сочная, что съесть её хочется. И тротуары до того промыты, что хоть босиком по ним шлёпай…
Словом, всё шло к тому, что мы отправляемся на охоту за ассоциациями, иными словами, начинаем увлекательную игру. Хотя по правилам этой игры нам всё же кое-чего не хватало. Одной небольшой, но важной детали. Одной маленькой точки. И точку эту поставила девочка.
– Леди и джентльмены, – сказала она торжественно, обращаясь, как видно, не только к нам, но и к себе самой, – нам выпала честь найти важное утерянное число и стать участниками сыскной операции. Для этого у нас есть всё. Главный пострадавший, именуемый также Главным терятелем. Главный сыщик – он же Главный находитель. Главная ищейка по прозвищу Пуся. И наконец, Главный секретарь, который обязуется записывать по дороге всё, достойное внимания.
Тут она извлекла из сумки блокнот с шариковой ручкой, подняла его, как для присяги, и поклялась честно и бесстрашно выполнять свой сыскной долг. Мы с Главным терятелем последовали её примеру. Пуся выдал напоследок сдвоенное «тяв-тяв». И новоявленная сыскная группа ринулась на свою числоразыскательную операцию.
ЧАШКА ЧАЯ, ДЕСЯТЬ ФИШЕК
Мы вышли из Стола находок и остановились в нерешительности. Куда идти? Если бы речь шла о пропавшем слоне, всё было бы ясно. На слоновьи ассоциации следует охотиться в Африке. Или в Индии. Или, на худой конец, в местном зоопарке. Другое дело – ассоциации числовые. Они могут возникнуть где угодно, по той простой причине, что числа – всюду.
Вот улица. У неё две стороны. На обеих – дома. Все они пронумерованы. На одной стороне – номера чётные, на другой – нечётные. И что это, если не числа? Или другой пример: дом. Стар он или нов, мал или велик, низок или высок – в любом случае у него есть окна, двери, лестницы, ступеньки и, уж конечно, не меньше одного этажа. Всё это опять-таки легко пересчитать.
То же самое можно сказать о любом без исключения предмете. Или растении. Или живом существе. Даже таком крохотном, как Пуся, у которого есть короткие лапы, хвост, чудесные уши с кисточками, мокрый холодный нос, любопытные пуговки-глаза, свежий розовый язык, острые белые зубки и, наконец, чёрная лохматая шёрстка, состоящая из шелковистых волосков. Сосчитать их, правда, вряд ли удастся – разве что электронно-вычислительной машиной…
Да, прав был великий математик Лобачевский! Поистине, нет ничего на свете, чего нельзя было бы выразить числами. И раз числовые ассоциации могут возникнуть всюду, почему бы нам не отправиться в парк? По крайней мере, совместим приятное с полезным… Но в том то и дело, что парка в Энэмске нет. Почему? Да потому, что весь он от начала до конца – чудесный громадный парк.
Сами понимаете, что выбор маршрута в таких условиях – дело нелёгкое, и мы тотчас заспорили. Положение сложилось почти такое, как в известной басне Ивана Андреевича Крылова, где лебедь рвётся в облака, рак пятится назад, а щука тянет в воду. С той разницей, что в нашей компании был и щенок. Он-то и решил исход дела! Солнце, зелень, промытый дождём воздух – всё это привело его в восторг, и, не обращая на нас ни малейшего внимания, он помчался вперёд, оглашая улицу радостным тявканьем. Мы, естественно, помчались за ним и вскоре очутились у небольшого уютного павильона с заманчивой вывеской: «Чашка чая, десять фишек».
Тут Пуся остановился как вкопанный, а девочка, наоборот, нетерпеливо заплясала на месте и заявила, что ей страсть как хочется чаю с печеньем. Пришлось объяснить, что фишки – не печенье, а жетончики с цифрами и что в павильоне, но-видимому, играют в какую-то числовую игру.
– Вот и прекрасно, – обрадовалась она. – Мы с Пусей будем пить чай, вы (это она мне!) – играть в числовую игру, а Главный терятель – подстерегать ассоциации.
– Благодарю вас, – иронически расшаркался Главный терятель, – очень, очень вам признателен.
Как я и предполагал, в павильоне действительно играли в числовую игру, и даже не в одну, а во многие. Хотя все они, так или иначе, были связаны с девятью цифрами десятичной системы счисления – той самой, которой мы с вами пользуемся. Но не ошиблась и девочка, когда думала, что фишки – это печенье. Здешние фишки и впрямь выпекают в кондитерской. Все они круглые, ароматные, румяные, только вместо рисунка на них цифры. По одной на каждой. Раздают их при входе в целлофановых пакетиках. В каждом пакетике набор из десяти сдобных кругляшек с цифрами от нуля до девятки включительно. Получив такой набор, посетитель занимает место у большого стола и раскладывает свои фишки на чистой бумажной салфетке.
Вы, конечно, хотите знать, где же обещанный чай? Не торопитесь. Чай подадут позже, когда игра окончится. И по-моему, это очень предусмотрительно. Ведь если чай принести сразу, все тут же позабудут об игре и через минуту от фишек ничего не останется. Потому что фишки с чаем – это вам не фишки всухомятку! Да и чай после задачи – это не чай до задачи. Сознание честно выполненного долга делает его вдвое… нет, втрое вкуснее.
Я не обмолвился, назвав игру задачей. Здешние игры ничем от задач не отличаются. Нам, в частности, предложили вычислить, сколько натуральных чисел можно составить из десяти фишек. Задача полезная, и я предложил заняться ею сообща.
Прежде чем приступить к решению, мне захотелось проверить, хорошо ли усвоила девочка наши утренние беседы в Столе находок, и я спросил, что ей известно о натуральных числах.
– Натуральные числа – это печенье! – выпалила она.
На первый взгляд, ответ несуразный. Но на самом дело он недалёк от истины.
Натуральные числа – самые древние на земле. Они появились тогда, когда людям понадобилось сосчитать созданное натурой, то есть природой: коз, овец. Звериные шкуры. Плоды. Деревья. То, чем питались, прикрывали наготу, обогревались в стужу, торговали. Вернее, менялись. Потому что в те далёкие времена денег ещё не было. И с этой точки зрения печенье, да ещё перенумерованное, несомненно, относится к натуральным числам. Хотя вообще-то название это условно. Потому что числа обладают одной удивительной способностью.
Как правило, они появляются на свет, когда мы пересчитываем вполне определённые, или, как говорят, конкретные предметы, но потом от этих предметов отделяются, а лучше сказать – отвлекаются, и продолжают жить отвлечённой, совершенно самостоятельной жизнью. При этом происходят вещи необычайные, поразительные и для нас с вами далеко не безразличные. Числа помогают нам познавать мир. Благодаря им учёные обнаруживают доселе незримые планеты, открывают неизвестные законы, создают сложнейшие машины. Словом, отвлечённые числа сильнейшим образом влияют на конкретную действительность… Впрочем, об этом я девочке ещё не рассказывал. Почему? Да потому, что всему своё время. Так что вернёмся лучше к нашей задаче.
Первым её решил Главный терятель, хотя и неверно. Он рассуждал так: какое самое большое натуральное число можно составить из десяти цифр? Ясно, что десятизначное. А наибольшее десятизначное число равно десяти миллиардам без единицы: 9 999 999 999. Это-то и есть число всех натуральных чисел до десятизначных включительно.
К сожалению, Главный терятель не понял задачи. Ведь речь в ней вовсе не обо всех натуральных числах до десятизначных включительно, а лишь о тех, которые можно составить из десяти фишек! Не говорю уже о том, что среди этих десяти фишек всего одна девятка, а в его числе – десять…
– Вот что значит – начать не с того бока, – укоризненно вздохнул я.
– А мы начнём с того, – сказала девочка. – Как вы думаете, сколько однозначных натуральных чисел можно получить из десяти фишек?
– Смешно! – пожал плечами Главный терятель, который успел уже перенять любимое девочкино словечко. – Где десять однозначных фишек, там и десять однозначных чисел.
И тут под столом громко затявкал Пуся.
– Что это с ним? – забеспокоился Главный терятель. – По-моему, он кашляет.
– А по-моему, смеётся, – возразил я. – Наверное, заметил, что вы опять ошиблись. К вашему сведению: нуль к натуральным числам не относится. А потому однозначных натуральных чисел девять.
– Я же говорила, что Пуся – необыкновенная собака, – сказала девочка с гордостью. – Это она привела нас к истине.
– На то она и Главная ищейка! – заключил я и предложил записать наше первое достижение на бумажных салфетках.
Следующий вопрос, естественно, касался двузначных чисел, и Пусе пришлось опять хохотать, потому что Главный терятель повторил свою первую ошибку. Он рассуждал так: самое большое двузначное число – 99. Но в него входят 9 однозначных. Значит, всего двузначных 90. К сожалению, он не учёл, что среди этих девяноста имеется девять чисел с одинаковыми цифрами: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99. А по условию, цифры в числе могут быть только разные. И стало быть, двузначных натуральных чисел только восемьдесят одно.
Главного терятеля это озадачило.
– Позвольте, позвольте, – запальчиво сказал он, – когда я приобщил к натуральным числам нуль, мне заявили, что он к таковым не относится. Но ведь и среди двузначных натуральных есть девять чисел с нулём: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90. Выходит, их тоже надо вычесть.
Я думал, что теперь хохотать будет не только Пуся, но и девочка. Но, против ожидания, она жалостливо вздохнула.
– Бедный! – сказала она, сочувственно глядя на Главного терятеля. – Неужели вы забыли, какая разница между числами и цифрами? Когда речь шла об однозначных числах, вы имели в виду нуль как число. Теперь мы перешли к двузначным, и в этом случае нуль уже не число, а цифра, означающая, что в разряде пусто…
Нет, до чего милая девочка! Недаром я к ней привязался. Не только весёлая, не только смышлёная, но и добрая. А доброта – великая сила. За примером недалеко ходить. Дружеское сочувствие подействовало на Главного терятеля самым благотворным образом, и он совершенно неожиданно для нас. а также для себя самого выдал весьма дельное замечании.
– Смотрите-ка, – сказал он, – натуральных двузначных чисел – восемьдесят одно. Но что такое 81? Это же 9, умноженное на 9…
– Очень кстати замечено, – похвалил я.
– Почему кстати? – поинтересовалась девочка.
– Сейчас поймёшь. Ведь мы как раз переходим к трёхзначным числам… А это вам не двузначные.
– Уж конечно, – поддакнул Главный терятель. – Во-нервых, их гораздо больше.
А во-вторых? – поинтересовался я. – Не знаете? Во-вторых, среди двузначных чисел попадаются такие, что состоят из двух одинаковых цифр. А среди трёхзначных сверх того есть ещё и такие, что состоят из трёх одинаковых. В числе 552 – две одинаковые цифры, а в числе 555 – три. Так что…
– Так что считать нам не пересчитать, – подхватила девочка.
– Но угадала, засмеялся я. – Так что необходимо найти правило, которое поможет нам и не считать и не пересчитывать. И для этого вернёмся немного обратно. Сколько у нас однозначных чисел? Девять. Теперь подумаем, как из количества однозначных чисел получить количество двузначных? Очевидно, для этого придётся к каждому однозначному числу последовательно приставлять по одной из оставшихся фишек. Начнём с единицы. Сперва приставим к ней 0…
– Затем – единицу, – подсказал Главный терятель.
При этих словах Пуся опять засмеялся, а девочка сказала, что единицы у нас уже нет: ведь к ней-то мы и приставляем оставшиеся фишки и получаем при этом вот что: 10, 12, 13, 14, 15. 16, 17, 18, 19.
– Вот вам и все двузначные числа, начинающиеся с единицы, – подытожил я. – Нетрудно заметить, что их девять. Далее то же проделываем с однозначным числом 2 и получаем ещё девять двузначных чисел: 20, 21, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29…
– Как интересно! – загорелась девочка. – Теперь то же самое проделаем с числом 3, потом с числом 4…
– Но зачем? – возразил я, – Ведь мы уже заметили, что из каждого однозначного числа получается девять двузначных. И так как всего однозначных чисел 9, нам остаётся лишь помножить 9 на 9. Вот почему так кстати оказалось замечание нашего дорогого Главного терятеля. Ведь именно он подметил, что 81 – это 9, умноженное на 9…
Главный терятель вспыхнул от удовольствия и немедленно сделал ещё один шаг по пути прогресса. Он вдруг понял, как тем же способом узнать число трёхзначных чисел. Для этого, по его мнению, число двузначных следует помножить на восемь. Почему? Да потому, что на каждое двузначное число из десяти фишек пошло две. Стало быть, свободными остались восемь. Таким образом, число трёхзначных можно представить так: 9x9x8.
Мы уже хотели двинуться дальше, но тут девочка вспомнила о своих секретарских обязанностях и пожелала занести наши достижения в блокнот. Для удобства она записала их столбиком:
Однозначные – 9
Двузначные – 9 X 9
Трёхзначные – 9 X 9 X 8
После этого она вдруг задумалась, потом вскочила, завертелась на одной ножке и завопила на весь павильон:
– Ура! Задача решена! Сейчас нам дадут чаю!
– Спокойно, спокойно, – уговаривал я, – ты же ещё ничего не объяснила…
Но она возразила, что тут и объяснять нечего. И так ясно, что чем больше значность, тем меньше число оставшихся фишек. Когда мы перейдём к вычислению четырёхзначных, их уже будет 7, пятизначных – 6, шестизначных – 5 и так далее, и так далее. И потому записать это следует так:
Однозначные – 9
Двузначные – 9x9
Трёхзначные – 9X9X8
Четырёхзначные – 9x9x8x7
Пятизначные – 9x9x8x7X6
Шестизначные – 9x9x8x7x6X5
Семизначные – 9x9x8x7x6x5x4
Восьмизначные – 9x9x8x7x6x5X4x3
Девятизначные – 9x9X8x7x6x5X4x3x2
Десятизначные – 9x9x8x7x6x5x4x3x2x1
– Восхитительно!
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10